在问题解决中走出方程应用的误区

王妍

【摘要】小学生在之前用字母表示数等知识的基础上学习方程这部分的知识，认识并理解方程的意义以及性质，并将这部分知识应用于解决实际问题，然而学生在解决实际问题的过程中出现了不少问题，出现新旧知识的矛盾冲突。本文旨在帮助学生解决实际问题中出现的问题，更加深刻地理解方程的意义，并更好地应用。

【关键词】方程 问题解决 应用

苏教版数学五年级下册第一单元安排的内容就是简易方程。在这个单元学生认识了方程的含义，等式的性质，还学会了解简易方程的方法，在此基础上还安排了列方程解决实际问题的内容。学生在学习基本的方程知识的基础上，将这部分知识用于解决日常生活中遇到的实际问题。虽然书本上对于方程的定义作出了一定的解释，然而在利用这个定义去解决实际问题的过程中，学生出现了不少的问题。不过在解决这些问题的过程中，学生能够深刻地体会方程的意义，丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展数学素养，并为后面进一步学习代数知识以及其他学科知识打下了重要的基础。接下来，笔者以这一课例来进行深入研究。

【教学片段一】

出示：商店进了一批羽毛球，卖了69个，还剩31个，这一批羽毛球有多少个？

师：想一想，这道题要求什么？

生：求这一批羽毛球一共有多少个。

师：怎样列方程解决这个问题呢？生：可以设这一批羽毛球一共有x个，根据卖出的数量+

还剩的数量=一共的数量，列出方程：69+31=x。

师：在列出的这道方程中，这个未知数可以去掉吗？如果去掉的话影响求解吗？

生：可以去掉，对解这道题毫无影响，同样能计算出羽毛球的数量。

师：所以说像69+31=x这样的方程不能体现列方程解决实际问题的特点，所以一般不这样列方程。

师：还可以怎样来列方程解答呢？

生：设这一批羽毛球一共有x个，根据一共的数量一卖出的数量一还剩的数量，列出方程：x-69=31。然后根据等式的性质来进行解答。

师：这样列出的方程中的未知数x可以去掉吗？如果去掉影响计算吗？

生：不可以去掉，去掉的话就不是一道完整的算式了。更没法通过等式的性质来进行求解。

生：还可以设这一批羽毛球一共有x个，根据一共的数量一还剩的数量一卖出的数量这组相等关系来列方程，列出的方程为：x-31=69。

师：下面的这两种列方程的方法和第一种方法相比，你有什么发现吗？

生：第一种列方程的方法，虽然未知数参与了列式，但在实际的计算过程中毫无作用，都可以省略，也不会影响这道题的求解。本质上这就是算术方法，直接求出这批羽毛球一共有多少个。

生：后两种列式的方法，未知数是不可以去掉的，去掉的话就不是一个完整的算式了，然后再根据等式的性质求出未知数的值。

从同学们的发言中，我们可以看出来，既然要求列方程解决这个实际问题，我们列出的算式就得体现用方程解决实际问题的特点，不能仅仅是形式上看起来像是方程，实际本质上却是直接计算的方法。而且这也体现出了不同的思维方式，直接计算的话，就是利用已知条件直接求出未知数，这是逆向思维。而列方程来进行求解，是未知数也参与列式，根据等量关系列出方程并求出未知数，这是顺向思维。顺向思维更有利于去解决复杂的问题，降低解决问题的难度。张奠宙教授就对算术方法和方程方法的区别做过这样的比喻：“比如我们要过河，到达河的对岸，算术方法就是依据现有的条件摸着石头过河，而方程方法则是在河的此岸和彼岸拉一条绳子，建立关系，然后顺着绳子到达对岸。”

【教学片段二】

在做书本上的这一道练习题时，班上又出现了不同的声音。题目是这样的：猎豹是世界上跑得最快的动物，时速能达到110千米，比猫的最快时速的2倍还多20千米。猫的最快时速是多少千米？

师：除了2x+20=110，还可以怎样来列方程？

生：（110-20）÷x=2

生：（110-20）÷2=x

师：不考虑计算的难易程度，你觉得上面的几个方程，你最喜欢哪一种，哪一种你感觉很别扭？谈谈你的看法。

生：方程（110-20）÷2=x看起来都不像是方程了，这个未知数x好像都能去掉了，可有可无。

师：去掉这个x，这道算式还能继续算下去吗？

生：这个x就是我们要求的数，如果把这个未知数去掉的话，根本不影响计算，可以看出这个方程其实不是真正意义上的方程，只是看起来像是方程，而这个未知数在上面就是一个形式，对解题毫无影响。本质上还是运用算术的方法进行计算。

师：那另外的两个方程呢？是不是也可以去掉方程中的未知数x呢？这个未知数还是可有可無的吗？

生：在这道方程2x+20=110中，如果去掉x的话，方程就变成了2+20=110了，就不是一个正确的算式了，更不要说再进行计算了。

生：（110-20）÷x=2，也是不可以去掉未知数x的，如果去掉的话，也就不是一道完整的算式了，也没法进行计算了。

师：从刚刚的三道算式的对比中，我们发现虽然我们列的都是方程，都是含有未知数的等式，而且都是符合题意的，但是并不是所有含有未知数的等式都能体现列方程解决实际问题的特点。由此可见，方程中的未知数不仅要参与列式，还得要参与计算。而像我们列出的（110-20）÷2=x这道算式，未知数x实际上毫无作用，就是一个摆设，不参与运算，它的解题思路实际上还是算术方法。

师：通过上面的比较过程，你对方程又有了什么新的认识吗？

生：我发现，方程不仅必须有未知数参与列式，而且这个未知数还得参与计算。

师：现在我们来思考一下，x=9是不是方程？

生：x=9并不是真正意义上的方程，虽然这个等式中含有未知数，但是这个未知数并没有参与计算，所以只能说这个是方程的解。

师：那S=ah，这是平行四边形的面积公式，你觉得这个是方程吗？

生：当知道平行四边形的底和高的时候，要求面积时，如果把面积看成未知数，那列出的等式就不是方程了。例如平行四边形的底是5cm，高是10cm，面积用未知数x来表示的话，方程就列为x=5×10。

生：如果知道底和面积求高时，这样列出的等式就可以看作是方程了。或者知道高和面积求底时，也可以看作是方程。

生：不管求哪一个未知量，这都是一道等式，是等量关系。但是根据求的未知数的不同，有时候是不能看作方程的。

师：随着我们学习的深入，我们对方程的含义又有了更深层次的认识和理解。由此可见，我们数学书上对于方程的定义还不是很全面，具有一定的局限性。并不是含有未知数的等式都叫方程。通过今天的学习，我们知道，真正意义上的方程必须得满足两个条件：一是未知数一定要参与列式，二是未知数得参与计算。像x=9，S=ah这样表示出的等式，实际上只是长得像方程，而实际上并没有体现方程计算解决问题的特点，所以它们并不是真正意义上的方程。

由于刚接触方程，许多学生的思维仍然没有转变过来，在解决问题的过程中仍然使用算术的方法来解题，实际上就是没有在头脑中把思维从算术的方法转到方程的方法中来，没有体会到方程解决问题的优越性。后续可以通过一些练习，帮助学生区别列式计算和列方程的关系，切实体会算术解法需要思路逆向，需要多加思索，理清解题思路，需要依靠已知条件去求解未知条件。而列方程解決问题，是把要求的数字当成一个已经存在的且具体的一个数值（用字母x来表示），根据题目中给出的数量间的相等关系列出方程，进而进行求解，思路简单并且顺畅，只需要顺着题目给出的条件进行思考，顺向思维，能降低解决复杂问题的难度，提高解决问题的能力。

不过想要正确地列出方程，还得充分理解题目给出的条件，找到题目中数量间的相等关系，只有找准相等关系才能根据它来列出方程。此外，还得找准谁才是未知数。如果题目中求解两个量，未知数没有找准就会加大解方程的难度，使学生在解题时遇到更多的困难。还有可能出现虽然方程列式正确，但是方程的解不对这样的情况。

在问题解决中应让学生不断认识方程的意义，更加全面地去理解方程的意义，从而能够准确地利用方程的知识去解决问题，化难为易，真正把方程的知识学透彻，便于解决实际问题。