一道2020年高考圆锥曲线试题的探究与推广

摘 要：本文对2020年高考（北京卷）圆锥曲线试题进行探究，并将椭圆中发现的一般性结论推广到其它圆锥曲线中.

關键词：椭圆;动直线;中点

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0004-02

一、问题的提出

2020年高考（北京卷）第20题是求值问题，该试题如下：

试题 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（-2，-1），且a=2b.

（1）求椭圆C的方程;

（2）过点B（-4，0）的直线l与椭圆C交于M，N，直线MA，NA分别交直线x=-4于点P，Q.求PBBQ的值.

略解 （1）椭圆C的方程为x28+y22=1.

（2）如图1，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+4），

由y=k（x+4），x28+y22=1，消去y化简，得

（4k2+1）x2+32k2x+64k2-8=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=-32k24k2+1，x1x2=64k2-84k2+1，

直线AM：y+1=y1+1x1+2（x+2），令x=-4，得点P的纵坐标yP=-x1-2y1-4x1+2，

同理，得点Q的纵坐标yQ=-x2-2y2-4x2+2，

∴yP+yQ=-x1-2y1-4x1+2+-x2-2y2-4x2+2.

把y1=k（x1+4），y2=k（x2+4）代入上式化简，得

yP+yQ=-（4k+2）[x1x2+3（x1+x2）+8]x1x2+2（x1+x2）+4，

∵x1x2+3（x1+x2）+8=64k2-84k2+1+3·-32k24k2+1+8=0，

∴yP+yQ=0，则PBBQ=1.

在这道试题中，椭圆C是给定的椭圆，点A、B分别是椭圆C、x轴上的特殊点，通过计算发现点B为PQ的中点.如果椭圆C是任意的椭圆，点A、点B分别是椭圆C、x轴上的任意点，是否仍然有对任意过点B的直线l，都使得点B为PQ的中点这一结论呢？

问题 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，点A（x0，y0）在椭圆C上，过点B（m，0）（m≠x0）的动直线l与椭圆C交于M，N，直线MA，NA分别交过点B且垂直于x轴的直线于点P，Q.当且仅当点A、B的坐标满足怎样的关系时，点B为PQ的中点？

二、问题的探究

当直线l垂直于x轴且与椭圆有交点时，点P，Q即为M，N，点B为PQ的中点.

当直线l不垂直于x轴时，设动直线l的方程为y=k（x-m），联立y=k（x-m），x2a2+y2b2=1，消去y并整理，得（a2k2+b2）x2-2ma2k2x+a2k2m2-a2b2=0，

设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=2ma2k2a2k2+b2，x1x2=a2k2m2-a2b2a2k2+b2.①

直线AM的方程为y-y0=y1-y0x1-x0（x-x0），令x=m，得点P的纵坐标为yP=y0+y1-y0x1-x0（m-x0），同理，点Q的纵坐标为yQ=y0+y2-y0x2-x0（m-x0），则yP+yQ=2y0+（m-x0）（y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0），

对任意动直线l，要使点B为PQ的中点，即对任意实数k，要使yP+yQ=0，

∵m-x0≠0，2y0，m-x0为常数，

∴y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0的值必须为定值，

∵y1=k（x1-m），y2=k（x2-m），

∴y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0

=2kx1x2-（km+kx0+y0）（x1+x2）+2kmx0+2x0y0x1x2-x0（x1+x2）+x02，

将①式代入上式化简，得

y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=2y0a2（x0-m）k2+2b2（mx0-a2）k+2x0y0b2a2（m-x0）2k2+b2（x02-a2），②

由于②式中分母没有k的一次项，要使y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0的值为定值，②式中分子的k的一次项系数必须为0，即mx0=a2.

当mx0=a2时，y1-y0x1-x0+y2-y0x2-x0=2x0y0[a2（x02-a2）k2+x02b2]（x02-a2）[a2（x02-a2）k2+x02b2]=2x0y0x02-a2，

则yP+yQ=2y0+（a2x0-x0）·2x0y0x02-a2=0.

接下来我们研究，当mx0=a2时，直线AB与椭圆C的位置关系：

因为点A（x0，y0）在椭圆C：x2a2+y2b2=1上，所以椭圆C在点A处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1，令y=0，得x=a2x0.

当mx0=a2时，m=a2x0，点B的坐标为（a2x0，0），

此时直线AB与椭圆C相切.

因此，我们得到结论：

结论1 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，点A（x0，y0）在椭圆C上，过点B（m，0）（m≠x0）的动直线l与椭圆C交于M，N，直线MA，NA分别交过点B且垂直于x轴的直线于点P，Q.当且仅当mx0=a2，即直线AB为椭圆C的切线时，点B为PQ的中点.

在结论1中，点B在x轴上，如果点B在y轴上，可以得出下面的结论，证明过程略.

结论2 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1，点A（x0，y0）在椭圆C上，过点B（0，m）（m≠y0）的动直线l与椭圆C交于M，N，直线MA，NA分别交过点B且垂直于y轴的直线于点P，Q.当且仅当my0=b2，即直线AB为椭圆C的切线时，点B为PQ的中点.

在圆中，经研究也有类似的结论：

结论3 已知圆C：x2+y2=r2，点A（x0，y0）在圆C上，过点B（m，0）（m≠x0）的动直线l与圆C交于M，N，直线MA，NA分别交过点B且垂直于x轴的直线于点P，Q.当且仅当mx0=r2，即直线AB为圆C的切线时，点B为PQ的中点.

三、问题的推广

如果曲线C为双曲线或抛物线，经研究也有类似的结论：

结论4 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，点A（x0，y0）在双曲线C上，过点B（m，0）（m≠x0）的动直线l与双曲线C交于M，N，直线MA，NA分别交过点B且垂直于x轴的直线于点P，Q.当且仅当mx0=a2，即直线AB为双曲线C的切线时，点B为PQ的中点.

结论5 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1，点A（x0，y0）在双曲线C上，过点B（0，m）（m≠y0）的动直线l与双曲线C交于M，N，直线MA，NA分别交过点B且垂直于y轴的直线于点P，Q.当且仅当my0=-b2，即直线AB为双曲线C的切线时，点B为PQ的中点.

结论6 已知抛物线C：y2=2px，点A（x0，y0）在抛物线C上，过点B（m，0）（m≠x0）的动直线l与抛物线C交于M，N，直线MA，NA分别交过点B且垂直于x轴的直线于点P，Q.当且仅当m+x0=0，即直线AB为抛物线C的切线时，点B为PQ的中点.

上面三个结论的证明与结论1的证明类似，证明过程略.

参考文献：

[1]喻秋生.一道2019年高考圆锥曲线试题的探究与发现[J].中学数学研究，2019（15）：12-13.

[责任编辑：李 璟]