同构函数在解决高考压轴题中的应用

张春华

摘 要：笔者从事高中数学教学已近三十年，在近些年对全国各地高考题函数类题的研究中发现，利用同构式函数思想解决较为复杂的函数问题经常被用到.所谓同构函数即左右形式相当，一边一个变量，取左或者取右去构造函数.尽管函数问题千变万化，但每种问题都可以归属于某种类型，掌握每种类型问题的解决方法，从而应对各种复杂的函数问题.

关键词：同构函数;双变量;指对混合

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0042-02

如何去构造一个同构函数，常用的同构函数形式又有哪些？本文试图通过以双变量和指对混合两类问题的分析，探索如何构造同构函数，以提高学生解题能力，掌握高考数学中解决函数压轴题的一种途径.

一、双变量地位等同问题

2020年的高考可以看出，新高考注重了数学素养的考查，尤其是创新思维.这种题型一般含有两个变量，通过变形整理可将两个变量分别移到不等式或等式两侧，构造出同一个函数取两个不同变量时的函数值大小问题，进而转化为函数单调性问题.这种双变量问题在高考题中频繁出现，下面举例分析.

例1 （2020全国高考二卷理科数学11题）若2x-2y<3-x-3-y，则（）.

A.ln（y-x+1）>0 B.ln（y-x+1）<0

C.lnx-y>0D.lnx-y<0

解析 将不等式移项变形为2x-2y<3-x-3-y，构造函数f（t）=2t-3-t，由其为单调递增函数知x<y，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果，A正确，B错误;∵x-y与1的大小不确定，故C、D无法确定，所以选A.

例2 （2020全国一卷理科数学12题）若2a+log2a=4b+2log4b，则（）.

A.a>2b B.a<2b

C.a>b2D.a<b2

解析 条件等式两边结构类似，构造函数f（x）=2x+log2x，则f（x）为增函数，由选项可知只需要比较f（a）和f（2b），f（a）和f（b2）大小即可.

利用f（a）=2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，可得f（a）-f（2b）=log212<0

而f（a）-f（b2）=22b-2b2-log2b，b取不同值结果不同，因此选B.

例3 （2010高考辽宁卷理科数学21题）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1

（1）讨论函数f（x）的单调性;

（2）设a<-1，如果对任意x1，x2∈（0，+SymboleB@），|f（x1）-f（x2）≥4|x1-x2|，求a的取值范围.

解析 （1）略;

（2）所证不等式f（x1）-f（x2）≥4x1-x2含绝对值，所以由（1）问可知，当a≤-2时，f（x）单调递减，故只需要知道x1，x2的大小即可去掉绝对值.不妨设x2>x1，所证不等式去掉绝对值后为f（x2）-f（x1）≥4x2-4x1，

即f（x2）-4x2≥f（x1）-4x1，发现不等式两侧为关于x1，x2的同构式，故可以将同构式构造成函数g（x）=f（x）+4x，将问题转化为g（x）=f（x）+4x单调递减求参数a的范围问题.

二、指对混合问题

在解决指数函数与对数函数的混合不等式恒成立求参数范围或证明指对不等式时，如果使用参变分离、隐零点代换等方法，都避免不了复杂计算，有时效果也不一定好，而使用同构法会达到意想不到的效果.

如何构造同构函数呢？一般情况下含ex和lnx的函数，主要是统一化为左边或化为右边构造同构式.同构式需要构造这样一个母函数，这个函数既能满足指数与对数互化，又能满足单调性和最值易求等特点，因此常见的同构形式大多为y=xlnx，y=xex，或其同族函数.经过同构变形，再结合复合函数的单调性，可以快速解决证明不等式、恒成立求参数的取值范围等问题.

构造同构函数通常有三种基本模式：

（1）积型

aea≤blnb三种同构方式

同左：aea≤（lnb）elnb…f（x）=xex同右：ealnea≤blnb…f（x）=xlnx取对：a+lna≤lnb+ln（lnb）…f（x）=x+lnx

（2）商型

eaa<blnb三种同构方式

同左：eaa≤elnbnb…f（x）=exx同右：ealnea<blnb…f（x）=xlnx取对：a-lna<lnb-ln（lnb）…f（x）=x-lnx

（3）和差型

ea±a>b±lnb二种同构方式

同左：ea±a>elnb±lnb…f（x）=ex±x同右：ea±lnea>b±lnb…f（x）=x±lnx

其中x=elnx=lnex在变形构造同构式中起着重要作用.

例4 （2018高考全国一卷文科数学21题）已知函数f（x）=aex-lnx-1.

（1）设x=2是fx的极值点，求a，并求f（x）的单调区间;

（2）证明：当a≥1e时，f（x）≥0.

解析 （1）略;

（2）当a≥1e時，f（x）≥exe-lnx-1，由于f（x）关于a是递增的，所以只需将a缩小为1e，转化为证明exe-lnx-1≥0即可，由exe-lnx-1≥0两边同乘ex构造积得xex≥exlnex即xex≥elnexlnex.

令g（x）=xex，由g′（x）=ex（x+1）>0知g（x）为增函数，又易证x≥lnex=lnx+1，所以g（x）≥g（lnex），即xex≥elnexlnex成立，故当a≥1e时，f（x）≥0.

例5 （2014高考新课标一卷理科数学21题）设函数f（x）=aexlnx+bex-1x，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=e（x-1）+2.

（1）求a，b;

（2）证明：f（x）>1.

解析 （1）a=1;b=2，详细解答略.（2）本题如果直接求导，将非常复杂，不妨采用同构函数的方法.

由（1）知，f（x）=exlnx+2ex-1x，要证f（x）>1，即证exlnx+2xex-1>1.把这个式子按照同构方式两边同乘xe-x并移项得xlnx-xe-x>-2e，再进一步对-2e进行拆分，得同构式xlnx+1e>-（-xe-x+1e），即xlnx+1e>-（e-xlne-x+1e）.

两边结构相似但是右边有负号，因此构造函数g（x）=xlnx+1e，再证明g（x）+g（e-x）>0.显然

g（x）≥0，并且当且仅当x=1e时等号成立，又因为g（e-x）=0时x=1，取等条件明显不一致，所以g（x）+g（e-x）>0，即f（x）>1.

综上，通过双变量和指对混合两类高考真题的分析，我们发现同构式思想对于解决这两类问题有规律可循，而且平时各类模拟试题中屡见不鲜，只要大胆尝试，把握其中的规律，解决这类问题堪称秒杀！

参考文献：

[1]陈国林，冠桂宴.追踪高考导数涉及的证明问题[J].数理化解题研究（高中版），2016（12）：14-15.

[责任编辑：李 璟]