例谈数据一般化方法的应用

摘 要：本文以模（高）考题或競赛题为引例，将数据一般化，从而找到隐藏在考题中的圆锥曲线性质，并给出证明.

关键词：数据一般化;圆锥曲线;定点;定值

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0048-02

引例1 （高二第26届“希望杯”赛20）已知抛物线C：y2=4x，A（4，4），动点Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=43，则直线PQ过定点D，点D的坐标是.

一、将数据一般化，探究定点坐标的表达式

性质1 已知抛物线C：y2=2px，定点A（a，b）∈C，动点Px1，y1∈C，Qx2，y2∈C，若kAP+kAQ=γγ≠0，则直线PQ过定点Db22p-2bγ，2pγ-b.

证明 y21=2px1，y22=2px2，b2=2pa，

kPQ=y1-y2y1+y2y1-y22p=2py1+y2，

∴kAP=2py1+b，kAQ=2py2+b，

2py1+b+2py2+b=γ，

∴2p2b+y1+y2=γ[b2+by1+y2+y1y2]，

∴y1y2+b-2pγy1+y2=4bpγ-b2①

直线PQ：y-y1=2py1+y2x-x1，

∴y1+y2y-y1y2=2px②

①+②得y1+y2y+b-2pγ=2px-b22p+2bγ，所以直线PQ过定点D b22p-2bγ，2pγ-b.

引例2 （2013晋中名校联考）已知点Ax1，y1，Bx2，y2是抛物线y2=4x上相异两点，且满足x1+x2=2，①略②若AB的垂直平分线交x轴于点M，求三角形AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程.

二、将数据一般化，探究三角形面积最大值的表达式

性质2 已知点Ax1，y1，Bx2，y2是抛物线y2=2px上相异两动点，且满足x1+x2=m，则AB的垂直平分线交x轴于定点M，且S△AMBmax=293pm+p3.

解法一 设AB中点Nx0，y0，y21=2px1，y22=2px2，∴y1+y2y1-y2=2px1-x2，

kAB=py0，AB的中垂线：y-y0=-y0px-x0，

∴xM=x0+p=m2+p，是定值.

y-y0=py0x-x0，y2=2px

消y，得p2y20x2-2p2x0y20x+y20+p2x20y20-2px0=0，

x1+x2=m，x1x2=y0-px0y02p2y20=1p2y40-2px0y20+p2x20

=14p24y40-4pmy20+m2p2，

AB=

1+p2y20[m2-1p24y40-4pmy20+p2m2]

=1+p2y20[4y20p2pm-y20]

d=p2y0+y01+p2y20，SΔ=12·2pp2+y20pm-y20

=12pp2+y02p2+y202pm-2y20

≤12p[p2+y20+p2+y20+2pm-2y203]3

=12p[2pm+p3]3=293pm+p3

所以S△max=293pm+p3.

解法二 由解法一得

Mm2+p，0，设Ay212p，y1，By222p，y2

S△=12

m2+p 0 1y212p y1 1y222p y2 1

=12m2+py1+y21y22p-y1y222p-m2+py2

=12m2+py1-y2+y1y22py1-y2

=12y1-y2m2+p+y1y22p.

S2△=142pm-2y1y2m2+p+y1y22p2

=p2m-y1y2pm2+p+y1y22pm2+p+y1y22p

≤p2[m-y1y2p+m2+p+y1y22p+m2+p+y1y22p3]3

=p22m+p33.

所以S△max=293pm+p3.

引例3 （2013江西，文）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=32，a+b=3.

①求椭圆C的方程，②如图A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线DA交BP于点M，证明：2kMN-kBP为定值.

三、将数据一般化，探究定值的几何意义

性质3 椭圆C：x2a2+y2b2=1，如图A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线DA交BP于点M，则：2kMN-kBP为定值.

证明 设Pacosθ，bsinθ，y=bax+b，y=bsinθacosθ-1x-a，消y，basinθcosθ-1-1x=b1+sinθcosθ-1

Masinθ+cosθ-1sinθ-cosθ+1，2bsinθsinθ-cosθ+1，

直线DP：y=bsinθ-1acosθx+b，

∴Nacosθ1-sinθ，0，kBP=bsinθacosθ-1，

kMN=2bsinθsinθ-cosθ+1asinθ+cosθ-1sinθ-cosθ+1-acosθ1-sinθ

=2bsinθ1-sinθ2asinθ1-cosθ-sinθ=b1-sinθa（1-sinθ-cosθ）

2kMN-kBP=ba21-sinθ1-sinθ-cosθ-sinθcosθ-1

=ba1+1-sinθ+cosθ1-sinθ-cosθ-sinθcosθ-1=ba

为定值.此定值是直线AD的斜率.即kAD，kMN，kBP成等差数列.

下面的题目留给读者练习

强化训练

请读者将题目中的数据一般化，从而找到隐藏在题中的圆锥曲线性质，并给出证明.

题目 （2013辽宁六校联考）已知 A-2，0，B2，0，kPA·kPB=-34，

①求动点P的轨迹C的方程;

②设MN是曲线C上任意两点，且AM-AN=AM+AN，问直线MN是否恒过某定点？若是，求出定点坐标;否则，说明理由.

数据一般化的思维方法有利于培养思维的深刻性，有利于摒弃题海战术，有利于提高学习效率，在解析几何领域大有用武之地，希望本文对培养学生数学兴趣、提高师生数学核心素养方面能有所帮助.

参考文献：

[1]刘新飞，刘大鹏.对有心圆锥曲线一组性质的研究[J].中学数学研究（ 华南师范大学版），2019（01）：31-32.

[2]杜志建.2014新编高考题库数学（理科）[M].延吉：延边教育出版社，2014：310-338.

[责任编辑：李 璟]