从“乘1法”到待定系数法

谢贤祖

摘 要：“乘1法”是用基本不等式求最值的一种常用方法，但这种方法只局限于“乘”，解题思路会受到限制，改进成“用1法”后解题方向会开阔很多，还可以升级成“用n法”、待定系数法，在解决最值问题时可以为我们指明方向.

关键词：不等式;最值;待定系数

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0013-03

一、问题起源

在基本不等式的教学过程中，想必所有老师都会给学生训练下面的题1.相信很多老师和笔者一样，都向学生展示过如下的操作过程：原式=a+b1a+1b=2+ba+ab，然后再使用基本不等式就可以轻松求出最小值.很多参考书，包括笔者自己，都把这一操作取名为“乘1法”.随着做题经验的累积，笔者发现“乘1法”这一称呼会限制学生的解题思路，会让人形成思维定势，看到下面的题1或与之类似的题目，就只想到使用“乘法”，导致学生不会灵活变通.当然，也有很多老师和参考书会把这一操作取名为“1的代换”或者“1的妙用”，笔者认为都比“乘1法”要更好，所以干脆取名为“用1法”，至于1可以怎么用，下面从易到难，举例说明.

题1 （乘1法）已知a，b∈R+，a+b=1，求1a+1b的最小值.

题2 （代1法）已知a，b∈R+，a+b=1，求2a+1b的最小值.

分析把1=a+b代入分子中的常数，得2a+1b=2a+2ba+a+bb=3+2ba+ab，再使用基本不等式即可求出最小值.

题3 （造1法）已知a，b∈R+，a+b=2，求1a+1b的最小值.

分析把条件变成1=a2+b2，制造出1，再用题2的“代1法”或“乘1法”即可.

题4 （造1法）已知a，b∈R+，a+3b=5ab，求3a+4b的最小值.

分析这道题是2012年浙江文科第9题，很多参考书或各类模拟题都有类似的考法，当学生学完“乘1法”后，笔者给很多学生做过，结果很不理想，发现极少数学生能想得到.其实只需主动制造出1，把条件变成35a+15b=1，再用“乘1法”即可.这里可以给学生强调一个思想：多题一解，把陌生的新题转化为似曾相识的旧题，再用之前的解题经验（乘1法）去解决.转化的关键便是主动变形出“1”.

题5 （加1法）x∈0，π2，求916sin 2x+116cos 2x的最小值.

原式=916sin 2x+sin 2x+116cos 2x+cos 2x-1≥2916+2116-1=1，

当且仅当916sin 2x=sin 2x，116cos 2x=cos 2x，

即sinx=32，cosx=12时等号成立.

评注这道题考查得更加隐蔽，没有直接给出条件“1”，所以需要我们主动利用sin 2x+cos 2x=1来帮忙解题，最终使基本不等式得以使用，值得注意的是要验证取等条件，确保使用两次基本不等式后等号可以同时成立.下面再看一个“加1法”的升级版.

题6 （加n法）x∈0，π2，求94sin 2x+14cos 2x的最小值.

如果还像题5一样直接使用“加1法”：94sin 2x+sin 2x+14cos 2x+cos 2x-1，则应该满足94sin 2x=sin 2x，即sin 2x=32，显然不合理，所以要改进做法，笔者暂且称之为“加n法”，其实就是待定系数版的基本不等式.还是借助sin 2x+cos 2x=1，先引入n.

原式=94sin 2x+nsin 2x+14cos 2x+ncos 2x-n，为了保证取等条件可以同时满足，需保证94sin 2x=nsin 2x，14cos 2x=ncos 2x，即sin 2x=32n，cos 2x=12n，所以

32n+12n=1，解得n=4.于是可以将求最小值的过程简洁的整理如下.

∵94sin 2x+4sin 2x+14cos 2x+4cos 2x-4

≥294sin 2x·4sin 2x+2-4，

∴94sin 2x+14cos 2x的最小值为4.

二、扩展延伸

由前面的例题展示，可以发现“用1”法的具体使用方向可以是：加、减、乘、除、代、造，尤其是“加n法”，其实就是待定系数版的基本不等式，更是解决竞赛不等式的利器.在遇到用基本不等式求最值的陌生题目，条件有出现“1”时，我们都可以尝试一下这些解题方向，不应该只局限于“乘1法”，遇到困难再切换方法.其实“1”可以去到目标式子里的任何位置，只要对我们的解题有简化作用，都可以尝试一下，下面继续举例说明.

题7 （代1法）正数a，b满足8a2+1b=1，则a+b的最小值为.

分析 a+b=a·1+b=a·8a2+1b+b=8a+ab+b≥338a·ab·b=6，

当且仅当8a=ab=b，即a=4，b=2时，a+b取得最小值6.

评注 正如前文总结，“1”可以去到目标式子里的任何位置，只要对我们的解题有简化作用，如果一种方法遇到困难，我们需要继续调整策略，直至解题成功.下面再看一个用“代1法”來分析不等式的例子.

题8（安振平问题5687）a，b≥0，a+b=1，求证：a2+ba+b2+74ab≤1.

分析 ∵a2+ba+b2+74ab-1

=a2+ba+baa+b+b2+74ab-1

=a2+b2+ab 2+74ab-1

=a+b 2-ab 2+74ab-1

=1-ab 2+74ab-1

=abab-14

≤aba+b2 2-14

=0.

评注“1”可以去到目标式子里的任何位置，把“1”代入不等式中的一次项是为了实现“齐次化”，使得不等式的各项次数统一，容易化简.

题9 （加n法）x∈0，π2，求8sinx+1cosx的最小值.

受到前面题6的启发，可以考虑使用“加n法”.

原式

=nsin 2x+4sinx+4sinx+ncos 2x+12cosx+12cosx-n

≥3316n+33n4-n，

为了满足取等条件，需保证nsin 2x=4sinx且ncos 2x=12cosx，结合sin 2x+cos 2x=1

解得n=552，

代入3316n+33n4-n，便可求得8sinx+1cosx的最小值为55.

题10 （2007年湖北预赛）x∈0，π2，求2254sin 2x+2cosx的最小值.

分析 ∵nsin 2x+2254sin 2x+ncos 2x+1cosx+1cosx-n≥15n+33n-n，

為了满足取等条件，需保证nsin 2x=2254sin 2x且ncos 2x=1cosx，结合sin 2x+cos 2x=1解得n=64，代入5n+33n-n可知2254sin 2x+2cosx的最小值为68.

题11 （2018北大自招）正数a，b满足a+b=1，则1a+27b3的最小值为.

分析 原式=1a+27b3+na+b-n=1a+na+27b3+nb3+nb3+nb3-n，

为了能够使用多元均值不等式，且满足取等条件，需要保证1a=na，27b3=nb3，a+b=1同时成立，联立方程解得n=3+132 4，因为原式≥2n+44n3-n，代入求得1a+27b3的最小值为47+13132.

三、方法升级

前面的例题，笔者更多的是展示“加n法”，而且都是往缩小的方向使用平均值不等式，其实待定系数法的思想（也叫“平衡系数法”）在不等式中的应用很广泛，不应该只局限于前文所展示的这些方法.下面举例说明，继续发散思维，希望对读者有所帮助.

题12 （2017世界团体锦标赛）a，b>0，a+2b=1，则a+ab的最大值为.

先待定系数a+ab=a+na·bn≤a+na2+b2n=1+n2a+b2n，为了能够利用条件a+2b=1，使1+n2a+b2n为定值，要保证1+n2：12n=12，解得n=6-22.

代入1+n2a+2b，得该式的值为2+64，即为a+ab的最大值.

题13 （2015清华领军计划）a，b>0，2a+b=2，求a+a2+b2最小值.

待定系数法还可以用到柯西不等式中.设x，y>0且x2+y2=1，

由柯西不等式得

a+a2+b2=a+x2+y2a2+b2

≥a+ax+by=1+xa+yb

为了能够使用条件2a+b=2，使得1+xa+yb为定值，令1+x：y=2：1，结合x2+y2=1，

解得x=35，y=45，

代入a+a2+b2≥1+xa+yb=452a+b=85.

所以a+a2+b2最小值为85.

四、总结反思

通过前面这一系列从易到难的例题展示，我们可以总结“用1法”的具体使用方向是：加、减、乘、除、代、造等等，还有待定系数法的作用更是强大，可以为我们解决最值问题指明方向，但一定要小心确认一下取等条件是否合理，以上的每道例题笔者都亲自计算确认无误，限于篇幅，验证取等条件的过程被笔者舍去，读者可以自行验证.

参考文献：

[1]李胜宏.平均值不等式与柯西不等式 [M].上海：华东师范大学出版社，2012.

[2]蔡玉书.一些不等式的证明方法 [J].中等数学，2007（07）：13-17.

[责任编辑：李 璟]