“样本点、样本空间和随机事件的表达”教学设计

邱瑶

摘  要：按照“情境问题—实例探究—抽象表征—建立概念—刻画深构—迁移应用”的模式展开，在每个环节充分暴露学生的思维，在理解上注重升华引领，在落实上注重规范表达，在问题探究上注重过程性.

关键词：有限样本空间;随机事件;抽象表征

一、教學内容解析

概率与统计是高中数学课程的四条主线之一. 概率为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法. 本节课作为高中概率的起始课，承载着“绪论”与“预备”的双重任务.

“绪论”即教材的章引言部分，主要介绍概率的研究对象. 概率是各类学科中唯一一门专门研究随机现象规律性的学科. 研究对象的特殊性决定了思维方法的特殊性，特别是如何看待和处理随机规律性，是其他学科中没有的.

“预备知识”包括样本点、样本空间、随机事件的概念. 这是概率论中最基本且重要的概念，新教材将其引入高中数学课程，使得学生能够更加准确、理性地认识随机现象. 例如，当给定一个试验时，其所有可能的基本结果（样本点）构成样本空间，各种随机事件都可以看成是样本空间的子集，概率也可以看成样本空间映射到实数集的一个“集函数”.

因此，本节课是在初中概率学习的基础上，进一步研究如何用数学语言准确刻画随机现象和随机事件. 引入样本点、样本空间的概念，将随机事件看成样本空间的子集，是利用集合语言对试验结果进行准确描述，相当于建立随机现象的数学模型，为后续类比集合的关系与运算理解事件的关系与运算，以及类比函数的研究路径研究概率奠定了基础.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：理解样本点、样本空间和随机事件的概念，会用集合语言表示一个试验的样本空间与随机事件.

二、教学目标设置

本节课教学目标设置如下.

（1）了解随机现象、随机试验的特征.

（2）理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点、样本空间的关系.

（3）能够准确、规范地写出实际情境中的样本空间、随机事件，提高抽象表征能力.

达成上述教学目标的标志如下.

达成目标（1）的标志：结合情境，感受到客观世界的不确定性，归纳概括出随机现象、随机试验的特征. 能够举出生活中随机现象的例子，初步运用随机的观念看待周围的事物，体会随机思想.

达成目标（2）的标志：经历随机现象数学化的过程，借助集合的语言和工具，抽象出样本点、样本空间的概念. 结合具体实例，用集合语言表示随机事件，结合事件发生的含义建构出随机事件的概念.

达成目标（3）的标志：能够结合树状图、列表，用适当的符号准确写出常见随机试验的样本空间.

三、学生学情分析

学生已有的认知基础包括初中的“概率初步”和上一章的“统计”，但是概率统计研究的是不确定性数学，其思想方法与确定性数学存在巨大差异. 要想建立起科学的概率统计思维，还需要经过长期学习.

本节课的样本点、样本空间、用集合定义随机事件是学生首次接触. 那么，为什么要用集合语言刻画随机现象和随机事件呢？学生对此可能会有疑问. 换言之，从初中描述性的概念到高中准确的数学表达，学生在理解上可能会有困难. 而起始概念的建立需要扎实到位，才能有利于后续的学习.

此外，面对一个实际情境，学生未必能够很好地表示出试验的样本空间、随机事件，主要表现在不知道选用什么样的符号和形式来表达样本点，这需要经过一定的训练和指导.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：用适当的符号（如数对、数串等）表达样本点;理解随机事件是样本空间的子集.

四、教学策略分析

通过创设情境、直观感知、抽象概括的过程，建构概念，并进行规范的表达，具体如下.

（1）结合丰富、典型的实例，加强学生对随机现象的随机性及随机性中表现出来的统计规律性的直观感知. 选择贴近学生实际生活的案例和概率论中的部分经典案例，分析其中的不确定性，以及随着观测次数的增加随机现象呈现出来的规律性.

（2）在抽象样本点的概念之前，先设计合适的试验（试验结果分别采用文字、字母、数字表示），让学生尝试表达试验结果. 得到概念后，再次强化文字、字母、数字三种形式的相互转化. 再借助例1（二维样本点）、例2（三维样本点）的训练，指导学生分析实际问题、选用恰当的符号形式，规范表达样本点、样本空间与随机事件，提高数学表征能力.

（3）注重知识的内在逻辑，从“随机现象、随机试验”到“样本点、样本空间”，再到“随机事件”，都做到过渡自然、衔接连贯，搭建清晰的知识网络. 按照“情境问题—实例探究—抽象表征—建立概念—刻画深构—迁移应用”的模式展开教学，设置问题串引导学生思考，让学生体会用集合语言表达随机事件更加准确、严谨、抽象，是将随机现象数学化的关键步骤，是后续研究的基础.

五、教学过程设计

1. 呈现问题情境，体验随机现象

问题1：从今天开始，我们学习“概率”，那么概率的研究对象是什么呢？

我们先来看几个例子.

（1）播放篮球比赛视频，让学生决策把球传给哪位球员. 出示该球员的投篮命中率. 引导学生认识到：一次投篮能否投中无法预知，但通过大量的统计分析可以大致估计进球的可能性.

（2）展示教师早上6：30左右从家去学校的路线图，学生预测教师从家去学校的路上需要的时间. 出示最近三周的统计表和直方图. 引导学生发现：教师每天上班所需时间无法提前预知，但通过大量的统计分析可以发现一定的分布规律.

（3）计算机模拟试验（图1）：用抽签法从全班随机抽取5名学生，谁会被抽到？如果大量重复抽取，会发现什么规律？

（4）现场摸球试验：让学生从装有一些红球和黑球的箱子中随机摸出一个，观察摸出的球的颜色. 指导学生思考：如何在不打开箱子的情况下，估计箱子中红球和黑球的比例？进行计算机模拟试验（图2）：有放回摸球多次，让学生观察规律.

（5）计算机模拟试验（图3）：抛掷一枚骰子，会掷出几点？如果大量重复抛掷，会发现什么规律？

追问1：这些现象的共同特征是什么？

学生归纳概括. 就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性;但在大量重复观测下，各个结果出现的频率却具有稳定性. 教师指出，这类现象叫做随机现象.

追问2：你还能举出随机现象的例子吗？

学生举例. 教师指出，大千世界充满了随机现象，如果我们能够掌握其中的规律，就可以更好地做出选择和决策. 利用数学方法研究随机现象的数量规律，就是概率的任务.

【设计意图】篮球投篮和到校所需时间这两个例子是受到很多随机因素干扰的真实的生活情境，既体现出随机现象的特点，又体现出利用概率进行决策的思想. 抽签、摸球和掷骰子这三个例子是概率论中的经典案例，通过计算机模拟试验及学生现场参与活动，让学生的思考更充分. 再通过学生自己举例，让学生用随机的思想看待周围的事物，感受随机现象的普遍性. 最后教师指出研究随机现象的必要性，揭示概率的研究内容.

2. 问题探究，抽象表征，形成概念

问题2：如何对随机现象展开研究？

学生在前面实例的基础上做出回答. 有一些随机现象（如上述抽签、掷骰子的例子），每个可能结果的概率可以通过理论计算得到;而有一些随机现象（如上述篮球投篮、到校所需时间、随机摸球的例子），则需要进行大量重复试验来统计分析，从而估计每个可能结果的概率.

教师给出随机试验的定义：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母[E]表示.

追问：随机试验具有哪些特点？

教师引导学生结合前面的例子，归纳出随机试验的特点：从结果上看，试验具有可知性（所有可能的结果明确可知）和随机性（事先不能确定出现哪一个结果）;从过程上看，试验具有可重复性（能够在相同条件下重复进行）.

【设计意图】在上一个环节丰富实例的基础上，归纳出随机试验的特点. 试验是我们探求未知世界的常用方法.

问题3：我们研究随机现象，进行随机试验，自然就要观测试验的所有可能结果. 那么，就应当先用某种方式对试验结果进行表示. 如何表示出下列三个试验的所有可能结果？试着多用几种方式.

[E1]：抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上.

[E2]：随机选择一个有新生儿的家庭，观察婴儿的性别.

[E3]：抛掷一枚骰子，观察朝上一面的点数.

将三个试验的所有可能结果填入下表.

学生讨论交流. 教师投影学生的表示方法，指出常用文字、字母、数字三种形式表示可能的结果. 在此基础上，抽象概括出样本点、样本空间的概念：我们把随机试验[E]的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间. 一般地，我们用[Ω]表示样本空间，用[ω]表示样本点. 现阶段只研究有限样本空间：如果一个随机试验有[n]个可能结果[ω1，ω2，…，ωn]，则称[Ω=ω1，ω2，…，ωn]为有限样本空间.

教师指出，利用集合的语言和工具来刻画试验的结果，引入样本点和样本空间的概念，实际上相当于建立了随机现象的数学模型，这是我们用数学方法研究随机现象的基础.

追问：以上述“[E3]：抛掷一枚骰子，观察掷出的点数”为例，你能规范地写出试验的样本空间吗？

师生共同总结、完善三种语言表达形式，规范书写格式，特别强调在用字母和数字形式表示时，要交代字母和数字的含义.

例1  抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.

投影学生的解答过程，师生共同评析：该试验的样本点是二维的，可以用数串或数对来表示;为了保证不重不漏，可以借助树状图来帮助列举;对比三种语言表述，从文字到字母再到数字，抽象化的程度逐步提高（采用0和1表示具有更多的好处，在今后的学习中会有所体会）.

教师出示例1的规范解答，师生共同总结书写格式：首先，要交代样本点的形式（如二维样本点可用数对[x，y]表示）;其次，对[x]和[y]进行“赋值”，如赋值[0]和[1]，交代数字所代表的意义;最后，规范写出样本空间.

【设计意图】样本点、样本空间的概念是本节课的重点，也是难点，因此设计了四个步骤来突破：尝试表示—建构概念—规范表示—强化提高.“尝试表示”的三个试验是有考量的，分别预设了文字（正面朝上，反面朝上）、字母（B表示男孩，G表示女孩）、数字（1，2，3，4，5，6）三种形式. 但实际上学生不一定这样表示，重要的是让学生有一个尝试的过程，也为下一步建构概念做铺垫. 因为从第一步到第二步本身也是从特殊到一般的抽象概括过程. 在有了樣本点、样本空间的概念之后，再回头来看刚才写的试验结果，重新进行规范的表达. 最后通过例1进行强化提高. 经过这四步，学生基本能够掌握样本点、样本空间的概念和表示.

3. 集合刻画，概念深构

问题4：仍以上述“[E3]：抛掷一枚骰子，观察掷出的点数”为例，思考：

（1）“掷出奇数点”是随机事件吗？

（2）“掷出的点数为[3]的倍数”是随机事件吗？

（3）如果用集合的形式来表示它们，如何表示？这些集合与样本空间有什么关系？

（4）运用样本点、样本空间的概念，如何看待和定义随机事件？

对于前两个问题，引导学生回忆初中所学随机事件的定义（在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件），那么上述两个事件显然是随机事件.

对于问题（3），引导学生思考这两个事件发生的含义，进行双向互推：当“掷出奇数点”时，意味着集合[1，3，5]中的一个样本点发生;反之，若集合[1，3，5]中的一个样本点出现，则意味着事件“掷出奇数点”发生. 因此，可以用集合[1，3，5]表示事件“掷出奇数点”. 第二个例子同理. 从而得出随机事件与样本点、样本空间的关系.

在以上问题的基础上，回答问题（4）：我们将样本空间[Ω]的子集称为随机事件，简称事件，一般用大写字母[A，B，C，…]表示. 在每次试验中，当且仅当事件[A]中某个样本点出现时，称为事件[A]发生.

追问：我们在学习数学概念时，往往要关注其中的特殊情形. 大家思考，样本空间的子集中有哪些比较特殊？

学生容易想到空集和样本空间自身. 教师引导学生，只包含一个样本点的事件也是比较特殊的，结合样本点的含义，这类事件应该叫基本事件. 结合初中所学，样本空间自身应该叫做必然事件，空集应该叫做不可能事件. 教师引导学生利用事件发生的含义进行解释，并让学生以掷骰子为例来举出必然事件和不可能事件，直观、正确地来理解这两个概念. 教师指出，必然事件和不可能事件是不具有随机性的，这里是将它们作为随机事件的两个极端情形，以方便统一处理.

【设计意图】随机事件是概率研究的核心概念之一，初中所学的随机事件的概念是描述性的，而高中阶段则用集合语言进行刻画，这是本节课的重点和难点. 本环节依托初中的知识基础设置问题串，分析具体实例，归纳出事件发生的含义，发现随机事件与样本点、样本空间的关系，从而重新建构随机事件的概念. 在此过程中，希望学生能够体会到数学概念螺旋式上升的过程，就像当初学习函数的概念一样. 最后，进一步对特殊情形进行说明. 至此，就完成了随机事件的数学表达.

4. 模型构建，迁移应用

例2  如图4，一个电路中有A，B，C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.

（1）写出试验的样本空间;

（2）用集合表示下列事件：

[M]= “恰好两个元件正常”;

[N]= “电路是通路”;

[T]= “电路是断路”.

投影学生的解答過程，师生共同评析：面对复杂的实际情境，要先分析试验的所有可能结果，然后选择恰当的符号形式，按照规范步骤写出样本空间. 例如，该题的试验结果可用三维数组表示，借助树状图可以更加直观、有序地写出所有可能结果. 再分析具体的随机事件，用集合表示出来.

追问：观察事件[N]和事件[T]的集合表示，你能发现什么？

学生容易发现两个集合互为补集，教师引导：后面我们将类比集合的关系与运算研究事件的关系与运算. 我们还会研究随机事件的概率，构建概率模型，最终解决实际问题.

【设计意图】考查学生面对复杂的现实情境能否准确写出试验的样本空间和随机事件，巩固所学知识，总结方法. 同时，借助该题的第（2）小题引出后续研究内容，大致构建本章的知识结构.

5. 回顾总结，提升能力

以思维导图的形式，师生一起回顾本节课所学的主要内容. 教师引导学生思考以下问题.

（1）如何得到随机现象、随机试验的特点？

（2）面对一个实际问题，如何准确写出试验的样本空间？

（3）初中已经学过随机事件的概念，为何高中还要学？两者有何不同？

学生总结、思考，并回答. 针对问题（1），教师引导学生体会研究数学对象的一般过程：情境背景—抽象本质—建构概念—数学表示—实际应用. 针对问题（2），引导学生回顾方法步骤，注意严谨表达. 针对问题（3），引导学生体会集合语言的准确性、严谨性、抽象性，并让学生带着这个问题继续学习后面的概率知识，将会有更深刻的体会.

【设计意图】对学习内容和学习方法进行总结、反思、升华，促进学生对本节课所学内容和方法的理解和认识.

6. 分层要求，拓宽视野

简单介绍概率的起源与应用.

布置作业：完成教材中本小节的练习题;查阅资料，了解更多概率论的起源与应用.

【设计意图】介绍概率的起源和应用，主要是为了渗透数学文化，让学生体会概率应用的广泛性，增加学生对这门学科的了解，从而调动学生对概率的兴趣和重视程度. 布置基础性练习作业是为了巩固学生的基础知识和基本技能.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.