数学思想在初中数学解题中的应用

【摘要】本文论述在初中数学解题中应用数学思想的策略，提出有效应用化归思想、整体思想、模型思想、函数方程思想及数形结合思想开展教学活动的建议，以帮助学生尽快找到解题思路，提升学生的解题能力及解题效率。

【关键词】初中数学 数学思想 有效应用

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）09-0141-02

数学思想是运用数学知识解决相关问题的重要指引。根据不同的数学题型，运用有针对性的数学思想，可使学生在解题过程中快速解答。因此，教师在教学初中数学知识时，既要做好基础知识的讲解，又要为学生传授常用的数学思想，围绕具体问题，展示数学思想的有效经验，启发学生更好地解题。

一、有效运用化归思想化难为易

化归思想是一种重要的解题思想，是指根据习题创设有效的情境，将相关问题进行巧妙地转化，化陌生为熟悉、化复杂为简单的一种数学思想。化归思想在中考试题中较为普遍，因此，在日常教学中教师要积极创设有效的教学情境，不断提高学生应用划归思想解答数学习题的意识与能力：一方面，教师要从整体上把握初中数学授课内容，认真汇总常用的化归思想方法，如换元法、特殊值法、构造法等，使学生牢固掌握扎实的理论知识，为更好地应用化归思想解答数学习题做好铺垫;另一方面，为使学生掌握运用化归思想解答数学习题的方法与技巧，使其能够具体问题具体分析，并沿着正确的方向化归，教师应注重做好相关习题的筛选，逐一为学生展示化归思想的具体应用。

如在教學“三角形全等”相关知识时，教师可在课堂教学中为学生讲解如下习题：已知ABC为等边三角形，M，N是边AC上的两点，且∠MBN=30°，设AM，MN，CN的长分别为m，x，n，则以m，x，n为边长的三角形是（  ）。A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定。该题考查学生的化归思想、三角形全等等知识点。要想判断以m，x，n为边长三角形的形状，需要将其转化到一个三角形之中，运用三角形相关知识进行判断。根据题意可将△ABM绕B点顺时针旋转60°得到△CBG，连接HN。显然容易得到AM=CH=m，又∵∠MBN=∠NBH=30°，MB=BH，则△MBN≌△HBN，则MN=NH=x，∠BCH=∠A=60°，而∠BCA=60°，∴∠HCN=120°，∴△NCH为钝角三角形，选择C项。通过该习题的讲解，使学生认识到在解决这类问题时可通过旋转图形、添加辅助线等方式对相关的几何题目进行化归、整理，以达到迅速求解的目的。

二、有效运用整体思想降低解题难度

整体思想是将问题的某一部分当作一个整体加以考虑的思想。在解答数学习题时有效地运用整体思想，可降低计算的繁琐程度，保证解题的正确性。为使学生更好地掌握整体思想，教师在向学生灌输整体思想的同时，应通过列举具体的事例，使其认识到究竟应将哪一部分作为一个整体进行考虑，需要具体问题具体分析（如可以将一个分式或若干分式看做一个整体）。同时，还应围绕具体的例题，为学生示范整体思想的具体应用，给学生留下充足的思考和讨论时间，总结运用整体思想解题的题型以及相关细节，让学生在听课的过程中能得以顿悟，进一步增强其应用整体思想解题的灵活性。

如在讲解代入求值的知识时，教师出示例题：已知方程x2+x-1=0的其中一根为m，则m3+2m2+2021的值为（  ）。A.2020 B.2021 C.2022 D.2023。该题考查学生灵活运用整体思想解答数学习题的能力。通过认真观察给出的方程，如使用求根公式求出m的具体值，然后将m的值带入多项式之中，计算较为繁琐，而且容易出错。而使用整体思想则可以大大简化解题过程，提高解题正确率。∵m是方程x2+x-1=0的其中一根，则m2+m-1=0，即，m2+m=1。m3+2m2+2021=m（m2+2m）+2021=m（m2+m+m）+2021=m（1+m）+2021=m2+m+2021=1+2021=2022，选择C项。通过该习题的展示与讲解可使学生认识到整体思想在解题中的便捷性，进而启发学生在解题时多次运用整体思想，直到问题圆满解决。

三、有效运用模型思想提高学以致用能力

运用数学知识解答实际问题时通常需要构建相关的数学模型。初中阶段涵盖的数学模型较多，如一次函数、二次函数、反比例函数模型等。教师在讲解初中数学习题时通过有效地运用模型思想，为学生展示相关习题的解答，可使学生认识到模型思想的重要性，进而更好地锻炼其学以致用的能力。为提高学生应用数学模型思想解题的意识与能力，教师在构建数学模型时要遵循一定的步骤，注重为学生详细地讲解数学模型的构建步骤，以及构建数学模型的注意事项，使学生认识到构建数学模型时应找到正确的自变量范围。此外，为使学生亲身体会运用模型思想解题的过程，教师还应注重为学生创设相关的问题情境，引导学生构建对应的数学模型进行求解。如在讲解二次函数的知识时，教师可出示如下习题：

如图1，学校准备修建一个一面靠墙中间带有一道篱笆的矩形花圃。其中墙的长度a为6米，现有篱笆长18米，若设AB=x米，花圃的面积为S平方米。（1）求S和x的函数关系式以及x的取值范围。（2）若BC的长不小于3米，该花圃的面积是否有最大值和最小值，若有求出最大值和最小值，若没有说明理由。

四、运用函数方程思想的转化迅速破题

函数与方程是联系紧密的数学知识点。在解答相关习题时通过两者的转化往往能够迅速地破题。为使学生掌握函数方程思想解答相关数学问题的技巧，教师应该在课堂上注重落实以下工作：一是讲解函数知识时应注重引导学生思考对应的方程，尤其借助函数图象，为学生深入地剖析方程的根与函数图象之间的关系，进而在学生的头脑中留下深刻的印象;二是为使学生能够实现函数与对应方程之间的灵活转换，掌握运用函数与方程思想解题的具体思路，教师应优选精讲相关的习题，并通过在课堂上与学生积极互动，营造生动活泼的课堂氛围，促使学生以高涨的热情投入到学习活动中，更好地理解函数与方程知识的本质，从而在以后的学习中遇到类似的习题时能够迅速找到破题思路。如在讲解二次函数图象知识时，教师可为其讲解如下习题：

五、运用数形结合思想直观展示数学参数

数形结合思想在解答初中数学习题中有着较高的使用率。通过运用该思想，能够直观地展示相关参数之间的关系，保证数学问题的顺利解答。为使学生掌握数形结合思想的有效应用，教师要为学生认真讲解初中阶段涉及的数学图形，使其明确数学图形表示的具体含义，掌握求解数学图形相关参数的方法，如使用两点坐标可求出两点之间的距离等。另外，教师还应结合具体教学内容做好例题的筛选，展示运用数形结合思想解题的思路。如在讲解圆的知识时，教师可以出示如下习题的解法：

综上所述，为使学生牢固地掌握数学思想，明确区分不同数学思想以及适用题型，并在解题时能够熟练应用，教师既要做好数学思想理论知识的讲解以及具体的解题示范，又要要求学生做好听课总结，在课下进行针对性地训练，不断积累数学思想的应用思路与技巧，促进数学解题水平以及成绩的显著提升。

【参考文献】

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[3]余云洲.相互渗透，交叉作用——初中数学教学中数形结合思想的应用探析[J].教育现代化，2019（6）.

[4]朱青.数形结合思想在初中数学课堂教学中的应用探析[J].亚太教育，2019（9）.

【作者简介】陈娟（1980— ），女，广西岑溪人，大学本科学历，一级教师，研究方向为初中数学教育教学。

（责编 林 剑）