一道高考题错误解法的反思

冯世伟

摘 要：排列组合是高中数学中相对独立部分，其中立体几何模型中的涂色问题是师生反映较难的部分，对学生分析问题、解决问题能力要求较高.由于题目变化多端，结构复杂，思考过程容易出错，解答思路灵活，答案检验和纠错困难，本文以排列组合问题的一个错误解法为例，分析排列组合中涂色问题的常见认知错误，研究其产生错误的原因，找到解决问题的思路.

关键词：排列组合;常见错误;分类讨论;立体几何

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）13-0009-02

在讲排列组合复习课时，学生A拿着资料问我下面的一道题：

题目 某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图1所示的6个点A，B，C，A1，B1，C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.

此题是高考理科填空题第16题 （重庆卷），这是一道“染色”问题与立体几何结合的综合试题，当时就给学生如下分析：由条件知点A处有4种选择，点B处有3种选择，点C处有2种选择，从而点A1处有3种选择，点B1处与点A处的灯泡可以同色，也可以异色，故点B1处也有3种选择，点C1处只有1种选择，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216（种）方法.看数据与答案相符，当时还有点沾沾自喜的“成就感”.在第二天上课时我就将此题在班里讲了一下.

学生B说：“老师，您的解題思路有问题”.

我当时持有怀疑的心理，为了鼓励学生B，我还是说：“请你说说错误之处”.

学生B说：“在A，B，C指定了的染色方法后，A1，B1的“任意性”，可导致最终只使用了三种颜色的情况出现”.

对呀！题目要求每种颜色的灯泡都至少用一个，我向同学们说：我知道，我错了！究竟错在何处呢，为什么我的思路所得数据又和答案“如此完美的相符”呢？同学们发现了老师的错误，真是激情高涨，为了能尽快地纠正老师的错误，当时在班内就热火朝天地讨论开了.

题意分析

这是一道“染色”问题与立体几何结合的综合试题，解题时抓住题意，“同一条线段两端的灯泡不同色”，同时要注意“每种颜色都要使用”的限制.

解析 先确定A，B，C处的颜色，有A34种，第四种颜色的灯的安装位置有C13种（例如放在C1处），其余两处分两种情况：若A1， B同色，则B1处有2个选择，若A1， B不同色，由于A1处已确定，则B1处仅有1个选择.所以共有A34C13（2+1）=216种不同的方法.这才是正确的解法.

解法研究

“棱的两端不同色”的条件大家都会注意到，而“四种颜色都要使用”的条件，往往容易忽略或使用不好.解法的示范揭示出：底面三角形的顶点必不同色，故可整体处理为A34种.以下即可从另一底面上“必有一点为第四种颜色”出发，经过分类讨论（化朦胧为清晰）得出答案.这里讨论是不可避免的.

提供另外一种思路供大家探究：用四种颜色染六个点，必有两个是同色的;统一底面上的点不能同色，而同色的两点必分处于两个底面，故不会有三点同色，故六个点依题设染色时，必有两组“双点”同色和另外两个单点与其它点均不同色，于是可依“先组合后排列”的原则，先分析两组同色的“双点”的取法，并将同色的“双点”视为一点，再做全排列.同色的“双点”连线必为侧面对角线，且两条对角线没有公共的端点（即棱台的顶点），故取两组的方法数为C26-6（C26中的“6”指侧面有6条对角线;“-6”是减去“虽不在同一侧面，却有公共端点——棱台顶点的6组对角线”）;也可以分类：侧面6条对角线中异面的组数为2C23种，相交（并非有公共顶点）的为3种.总之，两种同色点的取法共有C26-6=2C23+3=9种.将同色的两点视为一个点，问题变为以四种颜色涂四个点，共有A44种方法，于是原题的答案就是9A44=216种.

错解 由条件知点A处有4种选择，点B处有3种选择，点C处有2种选择，从而点A1有3种选择，B1处与点A处的灯泡可以同色，也可以异色，故点B1处也有3种选择，点C1处只有1种选择，由乘法原理共有4×3×2×3×3=216（种）方法.

错解分析

错误1：在指定了A，B，C的染色方法后，A1，B1的“任意性”可导致最终只使用了三种颜色的情况出现.

错误2：染A1固然有3种方法，但只有A1与B同色时，B1才有3种方法，否则就只有2种.

错误3：对于A1，B1的不同染色，C1的染法不总是唯一确定的，如，A1与B1中有一个是第四种颜色，另一个与C同色时，C1有两种染法（与A或B同色）.

几处错误“交织”在一起，既有“增根”（不是重复，而是不符合题意），又有“丢根”，而且何处“增”多少，何处“丢”多少，已难于用简短的语言交代清楚.“难能可贵的”是，其得数与正确答案相同！这正是该错误的隐蔽之处.错解之错是思路之错，不可容忍，答案的“一致”仅仅是题设的数据造成的巧合，在数据改变之后，以这样的错误思路解题势必铸成大错，这也是危害所在，解这类问题，直接“分步”的过程中，不分类讨论几乎是不可能的.

题目延伸

如果颜色种数有变化，错误的思路体现的错误就很明显，最显然的一种情况，用足给定的六种颜色三棱台标有字母的六个顶点，自然是A66种方法，若用足给定的五种颜色染三棱台标有字母的六个顶点，方法有多少种？

正解 染A，B，C有A35种方法，余下的两种颜色染A1，B1，C1中的两点有A23种方法，余下的一个点与和它共棱的三个点不同色，其余两色任选有C12种.故有A35A23C13=A56种方法.

错解 六个点选五个点染不同颜色有A56种方法，余下的一个点与和它共棱的三个点不同色，其余任选有C12种，故有A56C12=2A56种.

分析 恰好重复了一倍，理由是“余下的点”可能在上底面，也可能在下底面，这两种只考虑一种（即是正解）.都考虑当然重复一倍，尽管不是有意的，但这种思维的“随意性”有害，应引以为戒.其实也可以如下分析：六个点中必有两点同色（连线为侧面对角线），于是将“两点视为一点”的方法有C16种，然后全排列有A55种，故共有C16A55=A66=A56种.

下面看一道数学联赛题（1995年高中数学联赛）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是多少？

方法1 以颜色为主分类讨论

第一类用3种不同颜色时，第一步选色染A，第二步从剩余4种颜色任选两种染E，B，C，D四点，此时只能对角点可分别同色，故有C15C24C12=60种;

第二类用4种不同颜色，先从5种颜色选一种色染A;再从剩余4种颜色任选两种染E，B且颜色可交换有A24种;再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有C15A24C12C12=240种.

第三类用5种颜色染色有A55=120种，由加法原理得不同的涂色方法数共有60+240+120=420种.

方法2 以区域为主分步计数（可以以相邻颜色最多的区域开始）

第一步先涂A，有5种，第二步再涂D（与A不同色）有4种，第三步涂E（与A，B不同色）有3种，此时只剩2种颜色染B，C，对角点可同色，C，A同色时，B与A（C），E不同色有3种;C，A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种选择的颜色，从而C，D染色有1×3+2×2，由乘法原理共有60×7=420种.

推广1 用5种颜色将n棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有五种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是an=15[3n-1+（-1）n-2];

推广2 用m（m≥4）种颜色将n（n≥3）棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色.如果只有m种颜色可供使用，那么不同的染色方法总数是an=m（m-2）（m-2）n-1+（-1）n.

解题反思

错解给了我们反思的机会，让我们更加深刻地认识到排列组合的本质内涵，分类计数原理（加法计数原理）和分步计数原理（乘法计数原理）是解决排列组合问题的最根本的方法.

参考文献：

[1]陈鸿斌，贾丽红.一道高考题求解错误的调查研究[J].中学数学研究，2019（05）：7-9.

[2]孙世林.一道高考题的解法探究、变式及反思[J].中學数学教学参考，2017（07）：48-50.

[3]范方兵.素养导向下一道高考试题的解法探究[J].中国数学教育，2018（22）：52-55.

[责任编辑：李 璟]