探知识本质之理 展说理课堂之美

刘文惠

数学的学习是一个知识框架不断建构和发展过程，而数学知识的内在联系和隐藏在数学知识背后的本质属性，则决定着是否能建立起合理的知识框架和知识脉络。在数学教学实践中，教师不但要教会学生掌握基本知识，还要引导学生寻求数学本质，探知识本质之理，展说理课堂之美。

一、理解知识本质，在知识的孕伏处寻理

教师不仅要让学生掌握数学知识，更要引导学生在知识的孕伏处入手，厘清知识的来龙去脉，寻找知识背后的道理，深入理解数学知识的本质。

以“循环小数”为例，笔者通过举例让学生发现两数相除的商是无限小数时，一定会出现循环。学生纷纷质疑：为什么两数相除的商是无限小数时必然会出现循环？问题的驱动推动他们迫不及待地进入新一轮的探究。笔者再出示1.6÷7，学生发现当余数分别依次出现2、6、4、5、1、3后，余数再一次出现了2，根据竖式中最后的余数2和十分位上的余数2相同，可推得商的下一位和百分位一样都是2;并继续推导出下一个余数和百分位上的余数一样，那就必然是6，从而知道商的下一位一定是8。如果继续往下除，必然接着依次出现余数4、5、1、3，商一定是接着出现5、7、1、4。这样，商的小数部分将会不断重复出现“285714”这组数字。学生通过讨论发现，若除数是7，余数只有0～6这七种可能。如果余数是0，商是有限小数;如果余数不是0，则1～6这六个数作为余数都出现过之后，六个数中必然还有某个数作为余数再次出现。而余数的重复出现必然导致商的循环。

教师进一步追问：“如果把除数改成其他数呢？例如78.6÷11也会出现这样的规律吗？”学生再一次进行探究，当余数出现5、6后，余数再一次出现了5，根据竖式中最后的余数5和十分位上的余数5相同，可推得商的下一位是4，并继续推导出下一个余数必然是6，从而知道商的下一位一定是5，如果继续往下除，一定是接着出现余数5、6，商重复出现4、5。学生发现把除数改成其他数也是一樣的道理，因为“余数一定比除数小”的规则依然适用，因此可能出现的余数只能是有限个，当有限个的余数都出现之后，必然还有某个数作为余数再次出现，只要余数出现重复，商就会出现循环。所以两数相除的商是无限小数时，必然会出现循环。

如此过程经历了从经验归纳到逻辑推理的转化，从一个例子扩展到一类例子，从举例说明上升到结论论证。在自主探究的过程中，学生面对一次又一次的困惑，学会在质疑中追问，认知逐渐逼近数学知识深处的道理。

二、把握知识本质，从知识的本源悟理

数学知识的本质呼唤讲道理的课堂。教学关键处，教师要舍得花时间让学生深入探究、深入思考，去追溯数学知识的本源，经历自主说理、辩理、明理的过程，领悟数学知识本质之理。

以“三角形的稳定性”为例，学生通过摆小棒的实验，知道了三角形具有稳定性。可是，学生还是不理解为什么三角形会有这样的稳定性。教学中，教师给学生提供了一个用木条制作的角的学具，在强烈探究欲望的驱动下，学生投入了新的实验探究。用两根木条制作成一个角，由于角的两条边可以随意旋转，所以角的大小可以任意的变大、变小。怎样可以让这个角的大小保持不变呢？实验中，学生发现可以用第三根木条把这两条边固定起来。第三条边（如图1中的边BC）越短，角1越小，第三条边越长，角1越大。如果第三条边的长度固定了，那么角1的大小就被固定了。学生很容易就发现同样的道理，对于角2来说，AC的长度固定了，角2的大小就不会改变了;对于角3来说，AB的长度固定了，角3的大小也就无法改变了。学生在教师的引导下，通过合作探究、自主说理，领悟到了三角形稳定性的本质属性，即在三角形ABC中，只要保证三条边长度不变，三个角的大小就分别被三条边固定了，三角形的形状和大小自然就不会再改变了。

三、挖掘知识本质，从规则的背后明理

在数学学习中，要让学生懂得数学规则的合理性和必要性，使学生从数学的视角切实知道它是什么，还要真正明白为什么。教师要敢于放手，让学生在深入探究的过程中完善思维，在反思质疑中深挖规则背后的知识本质，明确数学规定的合理性和必要性。

以“笔算除法”为例，对于笔算除法从高位除起这一法则学生已经达成共识。但是回顾之前的笔算学习，笔算加法、减法、乘法都是从个位算起，为什么笔算除法要规定从高位除起？很多学生提出困惑，笔算除法是否也可以从个位除起？课堂中教师不急于评价，放手让学生分组深入探究。有的学生尝试分小棒，以52÷2为例，如果从小单位分（如图2），要分三次小棒，也就是要进行三次除法运算，最后再把除的结果加起来。如果从大单位开始分（如图3），只要分两次小棒，也就是只进行了两次除法的运算。学生从平均分物的过程发现，从小单位分比从大单位分的过程麻烦（这在分数位更多的大数时会体现得更明显）。所以在平均分的时候，人们更愿意从大单位开始分，这就对应着除法竖式中的从高位算起。

有的学生通过举例发现，像369÷3、48÷4这样被除数每个数位上的数字都能被除数整除的除法，如果从个位算起，竖式书写并不会变得复杂。但是在除法竖式中，更多的是各数位上的数平均分后会出现不够分或者有剩余的情况。在这种情况下，从个位算起，竖式书写的过程比较复杂。学生还以441÷3为例（如图4），结合竖式过程有理有据地阐明道理。因为个位1除以3不够除，需要从十位退1，用11除以3商是3，余数2。余数2和十位上剩余的3一共32，再算32除以3又遇上了个位不够除的情况，需要从十位再“退1”，算12除以3商是4，接着百位上的4和十位上剩余的2合起来除以3，这时又遭遇了十位不够除的情况，需要从百位再“退1”……最后还要把几次除后所得的商相加。

学生通过辨析明白被除数的位数越多，从个位算起时遭遇较高位“退1”的步骤可能越多，计算的过程就更复杂，并且通过竖式也无法完美展现思维的全过程。而从高位算起，能完整地展现思考和计算的过程，学生对除法竖式中每一步表示的意义都非常明确。所以从竖式的书写格式来比较，从高位算起更简洁。

在课堂上，教师让学生从不同角度的说理、辩理，明白了不管是加法、减法和乘法的从个位算起，还是除法的从高位算起，它们的算理在本质上是一致的，都是先分后合，计数相同的计数单位，加上十进制原则，最后还要符合算法的一致性和简洁性原则。学生在追求数学核心价值的过程中，思维愈加深入。

（作者单位：福建省福州市长乐区海峡路小学 责任编辑：王振辉）