圆周角定理求角“四结合”

刘家良

纵观全国各地以圆为载体求角大小的中考试题，多以圆周角定理的应用为核心，并结合其他相关知识来考查，下面举例介绍.

O

[一、结合等腰三角形性质]

等腰三角形的两腰为半径，顶角是圆心角.

例1（2020·江苏·淮安）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是（ ）.

A. 54° B. 27° C. 36° D. 108°

分析：△ABO是等腰三角形，∠ABO是它的一个底角. 欲求∠ABO的度数，只需求∠AOB的度数，根据圆周角定理知∠AOB = 2∠ACB=108°.

解：∵∠ACB=54°，∴∠AOB=2∠ACB=108°.∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO [=] [12]（180° - ∠AOB）=36°. 故选C.

点评：观察、发现同弧所对的圆周角、圆心角，会用等边对等角是解题的两个关键点.

[二、结合垂径定理、“三个量”的关系]

过圆心垂直于弦的直径，是垂径定理的条件，同圆中的弧、弧所对的弦及弧所对的圆心角这三个量中若有一组量相等，则其余两组量分别相等.

例2（2020·湖北·荆门）如图2，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，则∠BOC的度数为（ ）.

A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°

分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是∠AOC = ∠BOC. 由圆周角定理得∠AOC = 2∠APC = 56°，进而得∠BOC的度数.

解：连接OA，如图2. 在⊙O中，∵OC⊥AB，∴[AC] = [BC]，∴∠AOC = ∠BOC.

由圆周角定理，得∠AOC = 2∠APC=56°，∴∠BOC=56°.

故选D.

点评：通过垂径定理和“三个量”的关系，就将所求角和已知角间接地转化到同一条弧所对的圆心角和圆周角上了.

[三、结合切线性质]

见切线，想垂直. 求与切线相关的角也要与圆周角定理“打成一片”.

例3（2020·黑龙江·哈尔滨）如图3，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC = 35°，则∠ABO的度数为（ ）.

A. 25° B. 20° C. 30° D. 35°

分析：由AB为⊙O的切线，得AB⊥OA. 所以欲求∠ABO的度数，需求∠AOB的度数，而∠AOB的度数可根据圆周角定理求得.

解：∵AB为圆O的切线，∴AB⊥OA，即∠OAB=90°.

∵∠ADC=35°，∴∠AOB=2∠ADC=70°，∴∠ABO=90° - ∠AOB=20°.

故选B.

点评：由圆的切线性质得垂直是解题的切入点.

[四、结合圆内接四边形性质定理]

由圆内接四边形想到其对角互补.

例4（2020·黑龙江·牡丹江）如图4，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD. 若[AC] = [BC]，∠BDC=50°，则∠ADC的度数是（ ）.

A. 125° B. 130°   C. 135° D. 140°

分析：四边形ABCD内接于⊙O，所以欲求∠ADC的度数，需求∠ABC的度数.由[AC] = [BC]，得AC = BC，进而得∠ABC = ∠CAB. 由同弧所对的圆周角相等得∠CAB = ∠BDC=50°，则∠ABC=50°问题得解.

解：连接AC，如图4，∵∠CAB，∠BDC都为[BC]所对圆周角，∴∠CAB = ∠BDC=50°. ∵[AC] = [BC]，∴AC = BC，∴∠ABC=∠CAB=50°. ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC = 180° - ∠ABC = 130°.

故选B.

点评：由“四边形ABCD内接于⊙O”想到四边形ABCD对角互補是解题关键.