一类含(p,q)-Kirchhoff型双调和方程组的多解性研究

张 琪，缪 清

(云南民族大学 数学与计算机科学学院,云南 昆明 650500)

主要研究包含(p,q)-Kirchhoff型方程组

(1)

(M)存在2个正常数m0,m1，对于所有的t≥0有m0≤Mi(t)≤m1.

函数F,G:Ω×2→满足F(x,s,t),G(x,s,t)对所有(s,t)∈2在点x都可测且对于几乎处处x∈Ω有(s,t)为C1.Fu,Fv分别是F对u,v的偏导数，Gu,Gv分别是G对u,v的偏导数.假设F(x,s,t),G(x,s,t)满足如下条件：

问题(1)与Kirchhoff[1]研究的弹性弦方程

(2)

有关，这个方程考虑了弹性弦在振动过程中的长度变化影响，推广了D’Alembert的弹性管柱自由振动方程.随着研究的深入，问题(2)转化为

(3)

在文献[2-8]中，问题(3)已经得到了很多研究.

Hssini等[9]基于Bonanno临界点定理[10]研究了一类带Navier边值条件的(p,q)双调和方程问题，后来Allaoui等[11]把文献[9]推广到变指数双调和算子方程组.随着临界点理论在各个领域的广泛应用，许多学者在4阶边值问题方面进行了深入的研究，文献[12-15]研究了4阶边值问题解的存在性和多解性.其中，在文献[12]中，Hssini等基于Ricceri变分原理[16]研究了4阶Kirchhoff型问题

(4)

解的存在性和多值性.随后，肖虹兆等[17]对问题(4)做了推广，利用Ricceri多解定理研究了(p1,p2,…,pn)-Kirchhoff型问题的多解性.

近年来Ricceri 3临界点定理[18]越来越广泛的被用于解决4阶边值问题，例如，Li等[19]研究了(p,q)双调和算子方程问题

(5)

在文献[20-21]中，Ricceri三临界点定理也用于解决 (p,q)-Kirchhoff型问题

(6)

但目前为止根据Ricceri 3临界点定理研究带Navier边值条件的(p,q)-Kirchhoff型的双调和问题的结论甚少，因此，受以上研究的启发，本文根据Ricceri 3临界点定理，证明了(p,q)-Kirchhoff型方程组(1)至少有3个解存在.

1 预备知识

记

(7)

我们称(u,v)∈X是问题(1)的弱解如果对任意(ξ,η)∈X有

(8)

定义泛函H:X→为

(9)

(10)

通过假设(M),(F),(G)可得H∈C1(X,)，同时，求问题(1)的弱解就转化为求泛函H的临界点问题.

设x0∈Ω，选择R2>R1>0使得B(x0,R2)⊆Ω，其中，B(x0,R2)={x∈N||x-x0|

(11)

定义

(12)

(13)

引理1.1[21]假设(M),(F),(G)成立.设∀(u,v)∈X有

那么，Φ:X→是连续Gateaux可导且序列弱下半连续，在X的每个有界子集上有界，其Gateaux导数在X*上有连续逆.Ψ,J:X→是连续Gateaux可导，其Gateaux导数是紧的.

对(u,v),(ξ,η)∈X，有

定理1.2[18]设X是一个自反的实Banach空间.Φ,Ψ:X→是连续Gateaux可导泛函.其中，Φ是序列弱下半连续且在X的每个有界子集上有界，其Gateaux导数在X*上有连续逆，Ψ的Gateaux导数是紧的，I⊆是一个区间.假设对λ∈I，有

(14)

并且存在h，使得

(15)

成立.那么存在一个开区间Λ⊆I和一个正实数ρ，对每个λ∈Λ和每个C1且有紧导数的泛函J:X→，存在δ>0使得对每个μ∈[0,δ]，方程

Φ′(u)+λΨ′(u)+μJ′(u)=0,

在X上至少有3个解且其范数小于ρ.

命题1.3[21]设X是一个非空集合，Φ,Ψ是X上的2个实函数.假设存在r>0，u0,u1∈X使得

(16)

(17)

2 主要结果及证明

(h1)对几乎处处x∈ΩB(x0,R1)和所有(s,t)∈[0,d]×[0,d]有F(x,s,t)≥0；

(h3)对几乎处处x∈Ω和所有(s,t)∈2有F(x,s,t)≤α(x)(1+|s|γ+|t|β)；

(h4)对几乎处处x∈Ω有F(x,0,0)=0.

那么，存在一个开区间Λ∈[0,+∞)和一个正实数ρ有如下性质，对∀λ∈Λ,∃δ>0, 使得，对∀μ∈[0,δ]，问题(1)至少有3个解，且其范数小于ρ.

引理2.2假设(M),(h1),(h2)成立.那么∃(u*,v*)∈X,使得Φ(u*,v*)>r，

(18)

证明设

(19)

(20)

由(M),(13)可知

(21)

同理，

(22)

显然，0≤u*≤d，0≤v*≤d，根据条件(h1),(h2),(22)

(23)

定理2.1的证明由(M),(h3),(21),对∀(u,v)∈X有

其中，C1,C2是常数且C1,C2>0.由于γ

(24)

由引理2.2知，∃(u*,v*)∈X,使得Φ(u*,v*)>r>0=Φ(0,0)，

设(u,v)∈X使得Φ(u,v)≤r，从(7)可得

(25)

那么，

(26)

从而，

(27)

因此，从(18)和(27)有

(28)

(29)

由命题1.3对每一个满足条件

(30)

的h，存在r>0，(u0,v0)=(0,0)，(u1,v1)=(u*,v*)使得Φ(0,0)=0，Ψ(0,0)=0，并且从(21)和(29)可得

(31)

因此，I=[0,+∞).由(24)和(31)知定理2.1的所有条件都满足，定理2.1即得证.故问题(1)至少有3个解存在.