基于Matlab／Simulink的PI调节器建模分析与限幅特性仿真研究

张厚升， 朱胜杰， 邢雪宁， 杜钦君， 赵艳雷

（山东理工大学电气与电子工程学院，山东淄博255000）

0 引 言

对于自动控制系统来说，系统的稳态精度和动态性能指标常常是互相矛盾的［1-2］，依据自动控制理论，要解决这个矛盾，必须设计合适的动态校正装置，用来改造系统。动态校正的方法较多，对于一个自动控制系统来说，能够符合要求的校正方案也不是唯一的。在自动控制系统中，对于带电力电子变换器的直流闭环调速系统［3-4］，传递函数阶次比较低，一般采用PI调节器［5-8］就能完成系统动态校正的任务。

许多初学习者对于PI调节器的特性理解不够深入，尤其是在采用Simulink进行自动控制系统建模仿真的时候［9-10］，调试的过程中出现问题最多的也是PI调节器，甚至得不到正确的仿真波形。通常，利用Matlab／Simulink对PI调节器进行建模有几种不同的形式［11-12］，比较常见的一种是基于PI调节器传递函数建立的仿真模型，另一种是带积分限幅的PI调节器仿真模型，对于这些不同的仿真模型，很少有人去关心其特性，只是根据PI调节器建立相应的系统仿真模型并进行仿真，仿真结果有时候会存在一些问题，却找不到原因。本文旨在对采用PI调节器传递函数仿真模型和带积分限幅的PI调节器仿真模型进行特性分析与建模仿真，研究其性能上的差异，以便使用者在进行自动控制系统Simulink仿真建模时选择合适的PI调节器模型及其参数。

1 PI调节器的传递函数与特性分析

依据控制理论的相关知识，比例控制具有控制的快速性，但只能实现系统的有静差调节；积分控制可以实现系统的无静差控制，但系统的快速性却较差，如果要实现系统的稳态精度高，同时又要实现动态响应快，可以把比例和积分两种控制结合起来［1-2］，即采用PI调节器，实现系统的无静差快速调节［13］。

PI调节器的输出由比例和积分两个部分叠加而成，其输入-输出的关系可以描述为

式中：Kp为PI调节器的比例放大系数；τ为PI调节器的积分时间常数。

PI调节器的传递函数可以表示为［1-2］：

如果令Ti＝Kpτ，则PI调节器的传递函数也可以表示为

或者

式中，Ti是微分项中的超前时间常数。这里需要注意，Ti和积分时间常数τ的物理意义是不同的。

依据式（3）、（4），可以用Simulink建立两种不同的PI调节器仿真模型，但是这两种仿真模型的效果是不一样的，后文将会展开深入研究。

采用模拟控制时，在自动控制系统中，常用的PI调节器可以用运算放大器来实现，如图1所示（采用数字控制时的基本原理类似，本文以模拟控制为主进行分析）。图中uin和uex分别为PI调节器输入电压和输出电压，在图1中，由于运算放大器的反相作用，uin和uex的极性是相反的（图中所示的极性表明调节器的输入信号和输出信号是反相的）。电阻Rbal为平衡电阻，接在运算放大器的同相输入端，通常其值的大小为运算放大器反相输入端各电阻的并联值。依据运算放大器的输入-输出关系，可以得到

图1 PI调节器电路原理图

式中：Kp＝R1／R0；τ＝R0C1。

在零初始状态和方波输入电压uin下，PI调节器的输出电压uex的时间特性如图2所示。当t＝0时突加输入电压uin，由于比例部分的作用，输出量uex立即响应，马上跳变为uex（t）＝－Kpuin，实现了系统的快速响应；之后uex（t）按照积分规律增长，uex＝－［Kpuin＋（uin／τ）t］，在t＝t1时，输入电压uin突变为零，uin＝0，uex＝（uin／τ）t1，PI调节器的积分调节作用使其后级的电力电子变换器输出稳态电压，足以克服系统的负载电流压降［2-4］，实现系统的稳态转速（或者其他变量）无静差调节。

图2 PI调节器的输入-输出特性

结合图1，从图2的特性图上也可以看出PI作用的物理意义。由于系统处于零初始状态，突加输入电压uin时，对于电容C1来说，由于电容两端的电压不能突变，相当于两端瞬时短路，此时PI调节器相当于一个单纯的反相比例放大器，所以输出电压会立即跳变到uex＝－Kpuin，保证了系统的快速响应。此后，电容C1被充电，输出电压uex开始积分，其数值线性增长。由图2可见，如果输入电压uin一直存在或者输入电压uin的值比较大（该值决定了积分的斜率），电容C1就不断被充电，不断进行积分，直到输出电压uex达到运算放大器的限幅值－uexm为止，此时就称运算放大器饱和。为保证线性放大作用并保护系统各环节，对具有积分作用的运算放大器设置输出电压限幅是非常必要的。在实际的转速闭环控制系统中，当转速上升到给定值时，PI调节器的输入电压uin＝0，此时积分过程也就停止了。对于图2而言，在PI调节器的调节过程中，如果不考虑运算放大的饱和作用，在t＝t1时，输入电压uin＝0，此时PI调节器失去比例放大作用，因此系统的输出电压会有所降落，系统成为积分器维持电容C1上的电压输出，亦即积分电压值输出uex＝－（uin／τ）t1。

如果采用数字控制，可将式（1）或者式（5）的时域方程离散化为差分方程，用数字PI算法实现，但是其物理意义还是一样的，在此就不再赘述。

由此可见，PI调节器综合了比例控制和积分控制两种控制规律的优点，扬长避短，互相补充，可以实现系统的动态快速控制和稳态无静差控制。在闭环调速控制系统中，负载的扰动会引起输入偏差电压Δun的变化，图3给出了PI调节器的输入输出的动态过程，不妨假设闭环调速系统的输入偏差电压Δun的波形如图3所示，采用PI调节器的输出电压uc的波形③由两部分叠加而成，即与输入偏差电压Δun成正比的波形①，输入偏差电压Δun的积分波形②，由此可见，控制电压uc既具有快速响应的性能，又足以消除系统的静差［2］，除此之外，PI调节器还是提高系统稳定性的校正装置，因而PI调节器在调速系统［3-4，14］和其他控制系统中得到了极为广泛的应用。

图3 闭环系统中PI调节器的输入和输出动态调节过程

2 PI调节器的Simulink建模与性能研究

在自动控制系统中，PI调节器的传递函数既可以用Matlab语句表达，也可以用Simulink的传递函数模块和比例模块、积分模块表达，使用Simulink模块不仅方便，而且可以反映调节器的输出限幅作用，但按照式（3）用Simulink传递函数模块和按照式（4）用比例积分模块建立的仿真模型的性能和效果是不一样的，下边分别进行研究。

2.1 PI调节器传递函数模型

依据式（3）用Simulink传递函数模块建立的PI调节器的仿真模型如图4所示。

图4 PI调节器传递函数Simulink仿真模型

模型中用放大模块Gain和传递函数模块Transfer Fcn组成PI调节器的传递函数形式［11-12］。放大模块Gain的放大倍数为Kp，利用传递函数模块Transfer Fcn来设置PI调节器的积分时间常数，两个脉冲模块Pulse Generator和Pulse Generator1经过信号求和模块Sum产生脉冲宽度可以调整的输入信号，作为PI调节器的输入源，以此观察PI调节器在偏差输入信号下的动态响应。Saturation模块用来设置限制PI调节器的输出电压幅值，用示波器Scope观察PI调节器在有、无限幅作用情况下的输出电压的波形，并分别与PI调节器的输入信号进行比较。

系统的仿真参数见表1，选择ode45算法，仿真时间设为2个周期（6 s），仿真结果如图5所示。

表1 PI调节器传递函数模型的仿真参数

图5（a）为PI调节器的输入信号波形，图5（b）为PI调节器无限幅的输出波形，图5（c）为PI调节器经过限幅后的输出波形，由图5（a）、（b）可见，在输入信号脉冲值为“－1 V”的时间段内（t＝0～0.6 s），由于比例放大系数Kp＝2，因此PI调节器的输出在t＝0时从2 V开始在积分作用下线性增长；在输入信号脉冲值为“0 V”的时间段内（t＝0.6～1.5 s），PI调节器的输出维持t＝0.6 s的输出值20 V不变；在输入信号脉冲值为“1 V”的时间段内（t＝1.5～2.1 s），由于输入信号变负，积分器开始反相积分，PI调节器的输出值开始降低。在t＝2.1 s时，输入信号再次变为0，此时PI调节器输出维持不变。由图5（a）、（c）可见，如果PI调节器的输出增加了限幅环节，那么PI调节器的输出幅值就会被限制在设定值±10 V之间。

图5 PI调节器传递函数模型的仿真波形

由图5可知，PI调节器在正或者负的输入信号作用下，其输出信号也随之增加或者减少；当输入信号变为0 V时，PI调节器能维持前一时刻输入变为0 V时的输出值，该输出电压值与积分的时间（脉冲宽度）密切相关。一般情况下，自动控制系统都是采用PI调节器来消除系统的误差，在系统输出产生误差时，PI调节器能立即产生可消除误差的控制信号。从图5所示的输出波形上也可以看出，在系统存在误差时，也就是PI调节器存在输入电压信号时，PI调节器能够迅速按照积分规律产生输出控制信号，在这里，PI调节器的积分时间常数Ti影响输出控制信号上升或者下降的斜率（积分曲线的斜率），而且能够在误差为0（输入电压为0）时，保持之前PI调节器的输出状态，PI调节器的比例系数Kp抬高了PI调节器的输出信号值，起着迅速加快调节的作用。

对于图4所示的Simulink仿真模型而言，PI调节器的输出信号是随着积分时间而增长的，积分时间越长，PI调节器的输出值也就越高，这与实际的PI调节器的工作情况是不相符的。这也是许多研究者建模时所容易忽略的一个问题，导致在采用该模型进行建模仿真时，得不出正确的结果。对于实际的PI调节器而言，不论是模拟的PI调节器，还是数字式的PI调节器，都会对积分环节加上幅值限制环节［8-10］，使其输出不能随时间无限制的增长。从图5的仿真波形中可以看出，模型中的限幅模块限制了调节器的输出，但是在输出限幅时，调节器的积分作用还在继续起作用，从而使得系统在出现负偏差信号的时候，限幅输出信号的下降时间要滞后于负偏差信号。从图5（b）、（c）可以看出，在t＝1.5 s时，无限幅PI调节器的输出信号值从20 V开始下降，但是有限幅环节的PI调节器输出信号却是在t＝1.75 s时开始从10 V下降，这也是容易造成自动控制系统超调的原因［15-16］。

2.2 带积分限幅的PI调节器模型

带积分限幅的实用PI调节器仿真模型按照式（4）在Simulink中搭建，式中的积分环节使用Integrator模块来实现［6］，该Integrator模块可以限制积分输出的最大值，用Integrator模块搭建的PI调节器的模型如图6所示。图中，可由增益模块Gain1设置PI调节器的比例放大系数Kp，增益模块Gain3用来设置PI调节器的积分时间系数Ki（Ki＝1／Ti），积分器Integrator模块的限幅值可以设置成运算放大器的饱和输出值，在仿真模型中设置成了±15 V，对于其他环节的参数，和前面图4的参数基本相同，对该模型进行仿真，所得到的带积分限幅的PI调节器的仿真波形如图7所示。图7（a）是PI调节器的输入电压仿真波形，图7（b）是经过比例放大2倍后的运算放大器输出波形，图7（c）是积分器Integrator模块饱和限幅之后的仿真波形，图7（d）是限幅之后的PI调节器的输出仿真波形。由图7（c）、（d）中可见，由于积分器设置了±15 V限幅值，PI调节器设置了±10 V限幅值，PI调节器的输出限幅值小于积分器的输出限幅值，因此，输入电压信号在1.5 s由0 V变成负值之时，积分调节器的输出值立即开始从正的限幅值＋15 V下降，但对于PI调节器来说，其输出值却是在1.6 s的时候开始从正的限幅值＋10 V下降，这两个仿真波形之间存在着0.1 s的时间延时，这相当于由运算放大器组成的带输出限幅环节的PI调节器的退饱和延时。如果将积分调节器的限幅值和PI调节器的输出限幅值都设置成＋10 V，那么图7（c）、（d）的仿真波形将会完全一致，不会存在时间延迟。所以，在数字PI调节器中，为了减小闭环调节系统的退饱和超调量，通常取积分器的限幅值和PI调节器的输出限幅值相同。

图6 带积分限幅的实用PI调节器仿真模型

比较图5和图7可知，在输入脉冲信号完全相同的情况下，对于带积分限幅的PI调节器模型和无积分限幅作用的PI调节器传递函数模型来说，其输出是不同的，对系统的影响也是不一样的。尤其是对于自动控制系统来说，在进行系统建模的时候，PI调节器采用带积分限幅的PI调节器模型是非常重要的。为了使用上的方便，可以将该模型封装为一个PI控制器子系统，使用的时候直接作为一个分支模块使用就行了，只需要修改其相应的Kp、Ki、积分限幅值、PI调节器限幅值等几个参数即可。这样在将其应用到规模较大的复杂系统时会使得模型变得更加简洁。

图7 实用PI调节器模型的仿真波形

3 PI调节器输入输出特性的验证

采用带积分限幅的PI调节器模型也可以对PI调节器的输入-输出特性进行验证，调整两个Pulse脉冲，可以将PI调节器的输入脉冲信号调整为正的方波电压信号，如图8（a）所示，在整个动态调节过程中，设置PI调节器一直处于不饱和状态，由图8（c）可见，在0～4 s时间段内，积分器从0开始反相线性积分，到4 s时，输入脉冲信号变为0，积分器停止积分，并维持在－3.2 V。从图8（d）可以看出，t＝0 s时，PI调节器的输出就变为4 V，也就是说此时只有比例部分起快速调节作用，随后PI调节器的输出反相线性上升，直至t＝4 s时，输出电压信号达到－7.08 V。t＝4 s时，PI调节器的输入电压信号变为0 V，对于比例放大部分，已经失去了放大作用，此时PI调节器靠积分器的输出来维持系统需要的稳态输出信号，因此，在t＝4 s时，PI调节器的输出信号由－7.08 V升至－3.2 V。从而也验证了PI调节器在方波输入电压信号下的输入-输出特性。

图8 方波电压输入信号下PI调节器的输入输出特性仿真

4 结 语

PI调节器是自动控制系统设计时的一个重要环节，尤其是在建模仿真分析的时候，PI调节器仿真模型构建的好坏将会直接影响自动控制系统的性能，因此建立合理的PI调节的仿真模型至关重要。本文在分析PI调节器的组成及输入输出特性的基础上，研究了其Simulink仿真模型，得出以下结论。

（1）PI调节器可以用式（3）、（4）两种不同的传递函数表示，可以依据这两个公式分别建立PI调节器的仿真模型。

（2）依据式（3），利用Simulink的传递函数模块建立的PI调节器仿真模型，无积分限幅作用，只能对整个PI调节器的输出进行限幅，使得系统在出现负偏差信号的时候，限幅输出信号的下降时间要滞后于负偏差信号，容易导致自动控制系统超调，与实际PI调节器的工作状态存在一定的差异。因此不建议在构建自动控制系统仿真模型时采用该PI调节器仿真模型。

（3）按照式（4），利用Simulink的比例和积分模块建立的带积分限幅的PI调节器仿真模型，与实际PI调节器性能相符，可以灵活的设置积分器和PI调节器的限幅值，能够有效减小闭环调节系统的退饱和超调量。为了使用上的方便，可以将其封装为一个子系统进行使用。

（4）利用带积分限幅的PI调节器仿真模型可以有效的验证PI调节器在方波输入信号作用下的输入输出特性。