体会新教材变化意图,落实“大概念”教学理念

朱建平

依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的人教A版高中数学教材（以下简称“新教材”），为了落实培养学生数学学科核心素养的新课标理念，注重“大概念”视野下的“大单元”“大主题”设计。重点分析比较新旧教材中三角函数定义变更以及正弦定理形成方式调整的意图，在新教材三角函数定义和正弦定理的教学基础上领会“大概念”教学理念的样态，体会“大概念”教学的价值。

一、关于三角函数定义的教学

1.新旧教材中三角函数定义的比较

以往，几乎所有教材都是从锐角三角函数的定义出发，先将直角三角形放置到平面直角坐标系xoy中，从而得到基于坐标化思想的正弦、余弦及正切定义，再将锐角推广到任意角α，从而得到三角函数的定义：若α的终边经过点P（x，y），记r=OP=，则sinα=，cosα=，tanα=（x≠0）。得到这一定义后，依据相似三角形的边对应成比例，得出α的正弦、余弦、正切值只与α的终边有关，而与点P的位置无关。也就是说，只要α确定，它的正弦、余弦、正切值就确定了。于是，它们都是关于α的函数，可以分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数。然后，从一般到特殊，在单位圆中引进三角函数线，为后续学习同角三角函数关系、诱导公式、三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数等内容提供便捷的几何工具。

这样的定义编写注重数学本身的逻辑性，但是相应的定义编写抽象性比较强，与学生的认知水平不匹配。教学中，教师倘若照本宣科，学生就会只知其然，而不知其所以然。

2.新教材中三角函数定义“大概念”理念下的教学设计

新教材将“三角函数”单元从与“平面向量”单元、“解三角形”单元邻近（在前）变为与“函数的概念与性质”单元、“指数函数与对数函数”单元邻近（在后），凸显“函数”“建模”等“大概念”的串联整合作用。

新教材中从建立刻画周期性变化现象的数学模型（单位圆O上的点P以点A为起点做逆时针方向旋转，建立一个数学模型，刻画点P的位置变化情况）出发，在前一节用任意角的概念刻画点P的位置变化情况的基础上，进一步建立平面直角坐标系xoy，通过角α的终边与单位圆交点P坐标的求解，得出三角函数的定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于P（x，y），则y叫作α的正弦函数，即y=sinα;x叫作α的余弦函数，即x=cosα;y与x的比值叫作α的正切函数，即=tanα（x≠0）。

这样的定义编写关注数学产生的现实性，显得更为直观和简洁，便于学生理解和记忆。在运动思想（旋转变换）、函数思想（定义及性质）及数学建模（用数学模型刻画圆周运动这一周期现象）三个“大概念”的统领下，基于任意角的概念，利用单位圆上点的坐标，得出关于单个自变量的函数模型，体现三角函数定义的科学性、合理性和发展性，同时自然地省略了三角函数线的内容。

二、关于正弦定理的教学

1.新旧教材中正弦定理形成的比较

以往，正弦定理和余弦定理的教学是在“解三角形”中先获得正弦定理，再推导出余弦定理。而证明用的方法是向量法，虽然教材也在引领学生进行探究，但由于“平面向量”和“解三角形”分布在不同的章节中，向量法的引入就显得突兀，有强植的嫌疑。同时，没有余弦定理向量法证明的铺垫，“引入向量（是与△ABC某一边垂直的单位向量）”“在向量等式+=两边同乘以向量”这两个关键环节，课堂上就只能是教师自说自话了，根本无法体现知识的产生、发展过程。

新教材将正弦定理和余弦定理的内容放在平面向量的应用中，向量有着几何与代数的双重特征，是沟通几何与代数的桥梁，而正弦定理和余弦定理就是将三角形从初中的定性分析转化到高中阶段的定量计算的有力工具，凸显向量与解三角形之间的关联。新教材将传统先学习正弦定理再学习余弦定理的顺序颠倒过来，一方面，余弦定理是解决已知两边及其夹角和已知三边这两类确定性问题的，而正弦定理中已知两边及一边的对角，其解的情况就不唯一确定了。

2.新教材中正弦定理的教学设计

新教材把正弦定理和余弦定理放在平面向量的应用中，并借助向量的运算探索两个定理的证明，突出向量在解三角形中的应用。教材将余弦定理的内容放在正弦定理之前，正弦定理的学习就可以类比余弦定理的探究思路和方法，更好地突破重难点，让学生的认知过程更加自然顺畅。

“大概念”是指抽象概括出的具有广泛联系整合作用并能够广泛迁移应用的概念。数学“大概念”包括高层次的数学观点、观念，具有核心地位的数学知识（概念和命题）、思想方法，具有本原性和派生性的数学问题和潜藏于数学中的科学及人文精神与价值等。新课标提出的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数據分析六个数学学科核心素养就是数学“大概念”。

通过不同方面、不同层次的“大概念”组织（重构）教学内容，体现数学的整体性，使学生的学习（理解）真正有“深度”。