探讨深度学习导向的单元教学设计

王利锋

摘 要：一课时、一个单元的设计是否恰当、成功，应关注在该主线、主题下，基于统一的研究视角，通过派生下位学习，螺旋重现，形成对本主题中大概念学习的一般观念、一般方法，增强主题构架对学生学习思维、方法的吸附力，形成深度学习，促进深度学习方法的元认知。

关键词：单元教学;深度学习;整体教学

高中数学人教A版（2019）新教材必修二将正余弦定理放在平面向量的应用单元下，旨在突出向量作为研究几何与代数工具的逻辑主线。用向量方法研究三角形性质所得到的“产物”很多，正余弦定理简洁、经典而得以关注與重用。向量单元的性质研究的统一视角是：在研究对象的基本表示（向量式）下，通过其内含要素的特殊关系、运算进行分化，形成性质。研究坐标运算（平面向量基本定理下的性质）、数量积等性质，都是基于该视角进行。

基于该研究视角下，笔者提出了三大步构想：首先，整体研究正余弦定理，螺旋重现性质的一般方法，这一步也是形成向量主题承前启后的关键节点;然后进行解三角形的简单应用，同时在面对组合三角形时，适时伴随向量方法;最后，融入实际问题情境中的建模应用。鉴于篇幅有限，本文只展示第1课时向量法整体研究正余弦定理的教学设计：

教学环节1：发现问题

问题1：影响一个三角形的形状与大小的基本要素有哪些？

问题2：这些要素之间的关系，你已经学过哪些？还会存在更多的边角等量关系吗？

设计意图：引导学生从初中学过的证明三角形全等的方法（SSS，AAS，ASA）中发现问题。

教学环节2：分析问题

问题1：三角形中的边角关系中都是长度与角度，我们在以前的学习中，有没有联系长度与角度的工具？

问题2：你能用什么向量形式语言表示一般△ABC？

问题3：-=是一个向量关系，但边角关系是数量关系，如何将其“数量化”？

设计意图：问题3是一个关键的探究过程，需要学生回顾梳理向量的运算，从而发现内积运算是将向量关系转化为数量关系的运算，即需要将三角形中的向量与另一个新向量作内积，是后续探究与不同的新向量产生不同性质的“先行组织者”，也是性质之源。

教学环节3：性质探究

问题1：对于关系式中的向量与什么样的向量作内积后，能产生一个只有边与角的数量关系？（尽量不含边角以外的量）

设计意图：与不同的向量相乘，产生不同的性质，在向量的选择上，依据数量积的运算特点，首先容易想到自乘（平方），然后是三角形三边所在的向量，对于与三边所在的向量垂直的向量，可能有些学生难以联想到，教师可以根据学生的探究情况进行适当引导。

备用问题2：根据垂直向量的数量积，你还能有其他的选择吗？

笔者从实际教学结果来看，学生得到的边角关系中包含正余弦定理、射影定理，还有些是定理的变形形式，在当初学习数量积时，探究其性质，也是通过对内含要素的特殊化（作数量积的两向量相等、夹角为0，90°，180°，锐角，钝角等）的视角进行探究，重现探究性质时从一般到特殊的研究路径：

（1）与自身相乘（平方）得到余弦定理，这是数量积运算较为特殊的情形，是长度与角度的融合。

（2）与同乘一个“现成”的向量（，，中某一个），或者与其同向的单位向量，意外收获一套“射影定理”，其几何直观是两边所在的向量在第三边方向上的投影的叠加，蕴含“射影”的意义。

（3），，与垂直的一个向量相乘，得到正弦定理，其几何直观是两边所在的向量在垂直于第三边方向上投影的数量相同。

（4）还有其他学生根据关系式-=的特点，利用平方差公式，两边同乘+，两边同时得到：c2-b2=accosB-abcosC，只是这些性质，没有像正余弦定理那样简洁、经典而已。

教学环节4：方法总结

问题：请你尝试总结一下用向量工具研究几何性质的一般方法。

设计意图：-=是三角形边角关系的隐性表示，通过与不同向量的数量化后，出现了不同外显形式的边角关系;在基本概念、一般观念的界定下（三角形法则可以作为三角形图形的表示），基于统一的研究视角下，让学生螺旋重现从一般到特殊的性质探究，是学生性质探究的一般方法与路径，也是将来学习其他性质（如“用向量方法探究三角形性质”）的先行组织者。

单元教学、学习不是“拼盘”，需要在主线、主题的框架构建下，统一大概念的一般观念、研究视角，不断螺旋上升、重现，在知识内容载体的学习中，形成一般观念，在学生发现问题、分析问题、解决问题的过程中，不断强化主题构架的思维吸附能力，达到深度学习的目的，逐步形成对深度学习的元认知。

参考文献：

[1]章建跃.数学学科核心素养导向的“单元-课时”教学设计[J].中学数学教学参考，2020（5）：5-12.

[2]章建跃.数学学科核心素养导向的“单元-课时”教学设计（续）[J].中学数学教学参考，2020（6）：6-12.