基于“金课”理念下高等数学的教学改革探索

谭雪梅

关键词：金课;泰勒公式;极限

陈宝生部长在2018年召开的新时代中国高等学校本科教育工作会议上第一次提出“金课”，明确指出：大学生要有效“增负”，讲有深度、有难度、有挑战度的“金课”。高等数学作为各大高校理工类的公共必修课之一，在后续课程的学习及考研过程中占有重要的地位。高等数学这门课程的研究对象是函数，研究方法是极限，因此能够熟练地掌握极限的计算方法显得至关重要。泰勒公式内容比较抽象，形式也比较特殊，学生一般较难吃透泰勒公式的实质，更难掌握对此公式的灵活运用。因此，泰勒公式教学一直是高等数学教学过程及应用中的一个难点。为了使学生能够更好地理解和运用泰勒公式求极限，本文结合作者多年教学经验，旨在金课理念下以泰勒公式的教学及在求极限过程中的应用为例，探讨高等数学课程的教学改革。

一、提出问题

在解决数学问题的过程中，我们总是要求学生用所学的已知的知识点来求未知的知识点，达到能够将复杂的问题简单化的目的。对函数的研究也是一样，我们希望用简单的函数来表示复杂的函数，在我们所学的函数中，多项式函数具有形式简单，易于理解和易于计算等这些优点。因此文章首先给出泰勒公式研究的主要问题，是将复杂的函数如何用多项式近似的表示出来，水到渠成就成为我们着重考虑的问题，后续以及如何运用该公式来求极限，对于这些问题的回答，就是我們今天要介绍的泰勒公式。

二、解决问题

高等数学是大一新生的一门公共必修课程，大多数学生认知能力和逻辑思维能力都还停留在高中阶段，他们在刚开始学习高等数学时，脑海中还没有清晰的连续、逼近等概念。其实，利用多项式近似表示给定的某一函数的思想，在函数的连续和微分的学习中就有体现。

通过观察图形，我们可以得到，具有相同切线的多项式比只有交点的多项式逼近效果要好，也就是说一次多项式比零次多项式近似效果要好。那么自然地就会想到，多项式的次数越高，逼近函数的效果是否会越好？我们通过图2来回答这个问题，此图是利用多项式来逼近正弦函数的效果。

在这个图形中，发现有一次，三次，五次及七次多项式，结论是在这些多项式中，用七次多项式来逼近正弦函数的效果更好。那么关键问题是如何求得这样的多项式呢？于是引入泰勒中值定理如下：

定理：如果函数（x）在‰处具有n阶导数，那么存在‰的一个邻域，对于该邻域内的任意x，有：

三、应用

利用泰勒公式来求极限时，大多数学生遇到的困难是不太确定函数展开的阶数。我们需要注意极限的形式，然后根据题目的形式来确定泰勒公式展开的阶数。这里，我将分成三种情况来举例学习：

四、总结

在高等数学的学习中，解决数学问题往往需要有限、无限的相互转换，在解决某些复杂数学问题时，往往是事半功倍的效果，这也对泰勒公式的存在具有重要意义。在实践教学过程中，通过例子探讨了泰勒公式在求极限时的应用，让学生体会到了泰勒公式应用求极限的方便和实际性。