低模量基体对埋入式FBG传感器测量应变的影响

2021-09-07吴入军张晓峰郑百林朱灵杰

仪表技术与传感器 2021年8期

吴入军，张晓峰，陈田，郑百林，朱灵杰

(1.上海电机学院机械学院，上海 201306;2.同济大学航空航天与力学学院，上海 200092； 3.卓郎江苏纺织机械有限公司上海分公司，上海 200240)

0 引言

与传统的电阻传感器相比，FBG传感器具有体积小、抗电磁干扰及质量轻等优点，因此在航空航天、土木工程等领域应用广泛。由于光纤与基体(被测结构)不是直接接触，造成光纤应变(测量应变)与基体真实应变不相等。因此，研究光纤应变与基体真实应变之间的应变传递理论具有重要意义。

国内外已有众多学者进行了相关研究。1991年，Nanni[1]等在混凝土结构中埋入FBG传感器，监测混凝土结构应变状态，通过实验方法发现光纤应变不等于基体应变。1992年，Pak[2]假定基体承受均匀应变，推导出基体和FBG传感器之间的应变传递关系，并得出保护层弹性模量和厚度对应变传递的影响。1995年，赵占朝等[3]对埋入FBG传感器的混凝土结构中产生内部应力集中问题进行了研究。1998年，Ansari[4]等首先利用剪滞原理，对FBG传感器应变传递机理进行重新分析，并且在等强度梁上对不同粘结长度的FBG传感器进行了实验验证。2002年，Li[5]等将保护层假定为理想弹塑性材料，对FBG传感器受拉受压情况分别进行了分析。李东升等[6-8]在Ansari研究基础上，修正了光纤、保护层和基体中间处的应变相等的假设，并且提出光纤和保护层轴向应变传递率近似相等的假设。吴永红等[9-11]对FBG传感器光-力转换方程以及光-力转换方程的非线性时变方程进行了研究。刘德华等[12]将FBG传感器埋入混凝土结构中，用来研究光纤应变与基体应变之间的关系，建立了应变传递方程；柴敬等[13]将封装后的FBG传感器埋入水泥砂浆中，用以监测岩层深部的变形情况以及其发展状况，并利用FBG传递理论进行了分析；梁德志等[14]利用有限元方法对埋入混凝土中的FBG传感器应变传递率进行计算和分析；吴入军等[15]提出多项式形式的剪应力表达式，基于此建立应变传递方程，经验证具有较高精度。

虽然国内外学者进行了较多研究，但都是假定基体应变为恒定，忽略FBG传感器对基体应变的影响，但是，当FBG传感器埋入低模量基体材料时，FBG传感器的存在会改变基体的应变状态，因此，在该情况下建立基体应变与光纤应变之间的关系时，必须考虑两者之间的耦合作用。

1 理论公式推导

埋入式FBG传感器结构包括光纤、保护层、粘结层和基体，假设基体轴向预应变为ε∞，详细结构和受力分布如图1所示。图1中，rf、rc、rm分别为光纤半径、保护层外径以及粘结层外径；σ为轴向应力；τ(x,r)为剪切应力；粘结长度为2L，L为半粘结长度；下标f、c、a和m分别表示裸光纤、保护层、粘结层和基体。

(a)FBG传感器轴向/横向截面示意图

(b)各层应力图图1 FBG传感器示意图

本文理论公式推导基于以下假设[8]：假定FBG传感器各层之间的界面为理想界面，无相对滑移；所有的材料均为线弹性材料。

对裸光纤建立平衡微分方程：

(1)

式中τ(x,rf)为光纤与保护层之间界面上的剪应力。

由式(1)得到：

(2)

建立保护层和粘结层微分方程如下：

(3)

(4)

式中：τ(x,rc)为保护层与粘结层之间的界面剪切应力；τc(x,r)和τa(x,r)分别为保护层和粘结层的剪应力。

由式(2)～式(4)得到保护层和粘结层剪应力表达式：

(5)

为进一步提高计算精度，李东升[6-8]提出以下假设：

(6)

将式(6)代入式(5)中得到：

(7)

轴向变形是主要的，可以忽略径向变形[8]，则存在：

(8)

式中：u和v分别为轴向和径向位移。

将式(7)带入式(8)并积分，得到：

(9)

式(9)的积分结果为

(10)

式中：um(x,rm)、uf(x)为基体和光纤的轴向位移。

(11)

对式(10)求导数得到：

(12)

式中：εf(x)、εm(x,rm)为光纤应变和基体应变。

对式(12)进行简化为[16]

(13)

式中εm(0，rm)为FBG传感器与基体粘结区域中心处的轴向应变值。

对式(13)求解得到：

εf(x)=c1ekx+c2e-kx+εm(0,rm)

(14)

参数c1和c2由以下边界条件决定[3-13]：

εf(L)=εf(-L)=0

求得c1和c2的解为

将参数c1和c2带入光纤应变方程(14)中，得到FBG传感器光纤应变方程为

(15)

因此，得到FBG传感器应变传递率为

(16)

FBG传感器的测量应变为光栅长度方向上的平均应变，因此平均应变传递率可以表示为

(17)

式中：ε∞为作用于基体上的轴向均匀预应变；εm(0,rm)为基体粘结中心区域的轴向应变值。

基体内侧粘结区域的剪应力为

(18)

式中Eeq为FBG等效刚度。

对式(18)进行傅里叶变换得到：

(19)

在以下部分将基体看做空间轴对称结构，利用傅里叶级数和贝塞尔函数方法，分析基体的应力/应变状态，求解式(16)～式(18)中的εm(0,rm)，由于基体尺寸要比光纤大得多，将基体看做无限大体，无限大空间轴对称基体边界条件为：

(20)

取双调和函数为

(21)

为保证r→∞时有界，贝塞尔函数I0(r)与I1(x)的系数为0，即：C1=C3=0；由于是空间轴对称结构，所以B2=0；进行标准化处理：B1=1；利用双调和函数(21)得到应力解为：

(22)

利用边界条件(20)得出：

=V4εm(0,rm)

(23)

=V2εm(0,rm)

(24)

基体轴向应变表达式为

(25)

基体粘结中心区域的轴向应变值εm(0,rm)为

(26)

利用式(26)获得解析解仍比较困难，一般是将无限域转化为有限域，利用离散形式求其数值解,将式(26)转化为离散形式为

(27)

式中：L0为基体长度的一半；ζn=nπ/L0；n=1,2,3…。

将式(27)带入式(16)中，得到应变传递率表达式为

(28)

将式(27)带入式(17)中，得到平均应变传递率为

(29)

2 理论公式验证和参数分析

2.1 有限元验证

利用有限元软件Ansys Workbench对理论公式进行验证，由于结构的对称性，取一半进行分析。所使用材料物理参数如表1所示，其他参数为：rf=0.062 5 mm,rc=0.105 mm,rm=0.205 mm,R=10 mm,L=20 mm。图2为有限元模型图，采用六面体网格。

表1 材料参数

图2 有限元模型图

图3中为光纤应变对比图,FEM解是利用Ansys Workbench软件计算的结果，理论解1是利用本文应变传递理论公式得出的结果，理论解2是根据文献[8]中相关内容得到的计算结果。从图3中可以看出：应变传递率的分布趋势是中间最大，逐渐减小至两端，两端的应变传递率最小为0；理论解1、理论解2和FEM解分布趋势完全相同，但是理论解1与FEM的之间的误差要小一些，理论解1更接近FEM解，两者之间的误差在5%以内。该算例中基体弹性模量较小，FBG传感器的存在改变了基体应变状态，由于文中理论模型考虑了基体与FBG传感器之间的相互作用，因此具有更高的精度。

图3 有限元解与理论解的对比

2.2 参数分析

利用式(28)和式(29)进行参数分析，研究FBG传感器的结构参数对FBG传感器应变测量的影响,参数见表1。

图4和图5分别为基体弹性模量对应变传递率和平均应变传递率的影响。由图4可知，应变传递率随基体弹性模量的增大而逐渐增大。由图5可知，平均应变传递率随基体弹性模量和半粘结长度的增大而逐渐增大。当基体模量较低时，不仅是光纤与基体之间的中间层传递造成应变损失，而且FBG传感器的存在会改变基体局部结构，改变了基体应变状态，会进一步造成光纤应变偏小。因此，在低模量基体时，必须考虑基体与FBG传感器之间的耦合作用，利用本文理论对测量应变进行校正。