矩形水池底板基床系数的探讨

胡庆 俞靖端

中国市政工程中南设计研究总院有限公司 武汉430010

引言

文克尔地基模式是目前较为实用的水池-地基共同作用的主要模拟方法之一。其假定地基单位面积上所受的压力P与地基的竖向位移y成正比：P＝Ky，式中K为基床系数，即地基上某点的沉降只与该点土作用的压力有关。文克尔地基模式下，合理地选择基床系数K值对计算成果的精确性和可靠性有着重要意义。

基于文克尔假定的水池有限元计算建模中，通常在底板底部设置竖向弹簧，并在底板四个角点施加水平位移约束，作为水池结构的边界条件。而文献［1］通过比较分析得出：在底板四个角点施加水平位移约束是不合理的，而在底板四个角点施加不动铰支座的边界条件是合理的，能反映底板与地基变形的实际分布趋势。

然而在底板四个角点施加不动铰支座，会引起四角应力集中，导致底板、壁板局部内力特征失真。在底板设置竖向弹簧的基础上，同时在底板设置水平弹簧从而限制结构的水平向位移，从常理上更贴合实际。本文对基床系数的取值、矩形水池在不同边界条件下的有限元分析作相应探讨。

1 基床系数的取值

1.1 垂直基床系数取值

根据《岩土工程勘察规范》（GB 50021—2001（2009））［2］中第10.2.6 条，竖向基床系数Kv可根据平板荷载试验（K30 法）按下式计算：

式中：p为p-s曲线线性段压力；s为p对应的沉降量。

K30平板载荷试验是用直径为30cm的荷载板测定下沉量为1.25mm时基床系数的试验方法。

在建筑及市政行业工程建设的地勘报告中，通常不提供岩土的基床系数。设计人员往往通过规范或手册来查询基床系数经验值，然而规范或手册中的基床系数经验值仅有大致范围，设计人员只能自行取值，同种岩土基床系数经验值范围较大，会造成较大偏差，从而影响结构的计算精度。

地勘报告中一般都提供岩土计算地基沉降的参数压缩模量（Es）。根据建筑地基基础设计规范（GB 50007—2011）［2］中第5.3.5 条，地基变形量按下式计算：

式中：s为沉降量（mm）；Ψs为沉降计算经验系数；n为地基变形计算深度范围内所划分的土层数；P0为相应于作用的准永久组合时基础底面处的附加压力（kPa）；Esi为基础底面下第i层土的压缩模量（MPa）；zi、zi-1为基础底面至第i层土、第i-1 层土底面的距离（m）；为基础底面计算点至第i层土、第i-1 层土底面范围内平均附加应力系数。

根据式（1）、式（2）及K30 法的已知沉降量，经验系数Ψs取1，岩土压缩层厚取5 倍的压板直径为1.5m，即可解出岩土垂直基床系数Kv。根据多项实际工程的地勘报告中岩土数据，选取了其中较为典型的五种岩土，计算得出基床系数Kv见表1。其中垂直基床系数经验值Kv摘自《城市轨道交通岩土工程勘察规范》（GB 50307—2012）［4］中附录H。

表1 计算基床系数与经验基床系数的比较Tab.1 Comparison between calculated coefficient and empirical coefficient of subgrade bed

根据表1 可知，通过规范中的基床系数原位测试试验方法结合沉降计算公式，体现了基床系数与压缩模量Es（室内试验结果）的正向关系，在一定条件下基床系数Kv＝3.3Es，虽未考虑地区经验因素，但得出的垂直基床系数Kv在经验值范围内，其取值较为合理。

1.2 水平基床系数取值

在均匀土层中，正常固结土，由于土在不同应力水平下的变形能力也不同，如图1 所示，竖向荷载作用下，围压为σcx（σcy＝σcx），而到了水平方向，围压则变成了σcz，一般来说σcx、σcy要比σcz小，较高侧向压力情况下的土应该更强一些，从这个角度出发，同一位置，竖向与水平向受荷载深度一样的土的水平基床系数Kh高于垂直基床系数Kv。

图1 均质土中竖向自重应力Fig.1 Vertical dead weight stress in homogeneous soil

据规范［4］提供的基床系数经验值，其80%岩土Kh／Kv比值分布在1～1.2 范围，考虑到作为边界条件Kh取值要求精度不高，故取Kh＝Kv。

2 矩形水池有限元分析

2.1 水池模型算例基本参数

为便于分析比较，水池模型的尺寸、构件尺寸及荷载均与文献［1］相同，几何尺寸为L×B×H＝20 ×10 ×5（m），壁板厚度0.4m，底板厚度0.5m，壁板水平三角形荷载50kPa，底板均布荷载50kPa，板单元尺寸0.5m ×0.5m。水池透视图及有限元模型如图2 所示。计算结果取水压工况，不考虑结构自重。

图2 水池透视图及有限元模型Fig.2 Pool perspective and finite element model

2.2 底板不同边界条件的分析比较

底板三种约束简图如图3 所示。

图3 底板三种约束简图Fig.3 Three kinds of constraint diagrams of bottom plate

经有限元分析计算不同边界条件下壁板弯矩结果见表2。表2 结果验证了文献［1］在底板四角仅设平面约束结果的不合理性，即角隅区弯矩Mx偏大，壁板竖向弯矩My偏小。底板设水平弹簧与底板四角设不动铰结果接近。不同边界条件下壁板角隅区（长向壁板在壁板转角处约2m 宽范围）弯矩分布如图4 所示。图4 结果表明，底板四角设不动铰情况下，其角隅区弯矩在底部突变从而影响了其周边弯矩特征。底板设水平弹簧情况下，其角隅区弯矩特征更符合实际。

表2 不同边界条件下壁板弯矩结果Tab.2 Bending moment under different boundry conditions

图4 不同边界条件下壁板角隅区弯矩分布（单位：kN·m） Fig.4 Bending moment distribution in the corner of panel under different boundary conditions（unit：kN·m）

两种边界条件下水池长向中部横断面变形如图5 所示。图5 结果表明，底板四角设不动铰与底板设水平弹簧情况下结构变形特征趋势相同，底板变形均特征均为锅底状。

图5 两种边界条件下水池长向中部横断面变形（单位：mm）Fig.5 Deformation of longitudinal middle cross section of pool under two boundary conditions（unit：mm）

从以上分析比较情况来看，底板设水平弹簧作为边界条件最为合理。

2.3 不同基床系数的分析比较

实际工程中，在软土地基或不良地基情况下，地基变形较大，通常会对上部结构产生较大影响。底板设水平弹簧作为边界条件下，壁板弯矩随基床系数变化趋势如图6所示。

从图6 可知，My在基床系数在33000kN／m3以下时，其值随基床系数增加而减小，其最大变化幅度约为10%，基床系数在33000kN／m3以上时，其值随基床系数增加变化不大；Mx在基床系数在33000kN／m3以下时，其值随基床系数增加而增加，其最大变化幅度约为21%，基床系数在33000kN／m3以上时，其值随基床系数增加变化不大。

图6 壁板弯矩随基床系数变化趋势Fig.6 Variation trend of bending moment of wall plate with subgrade coefficient

由此可见该敞口水池结构，由于整体刚度不大，其对地基变形较为敏感。

3 相关问题的讨论

在第1节中通过理论计算，给出了用压缩模量Es近似估算地基土基床系数的公式，即Kv＝3.3Es，虽然其计算数值与规范中给出的经验值相近，但尚缺乏足够的实际数据支撑，还有许多问题值得进一步探讨。设计人员可根据地基土的类别、土的状况、物理力学特性及其上部结构特点酌情取值。

在基于文克尔假定的结构有限元分析中对于矩形水池，底板四个角点施加不动铰支座及四个角点施加水平位移约束均完全限制了底板水平向位移，是设置水平弹簧的特殊情况，即当水平弹簧无穷大时，完全限制了底板水平向位移。对于其他形式结构的底板采用文克尔地基模型设置水平弹簧，可作类似分析。实际上对于圆形水池、管廊节点等整板基础结构，底板设置水平弹簧，其结构内力结果同样合理，限于篇幅不再赘述。

4 结语

通过上述探讨分析，可得如下结论：

1.用压缩模量Es近似估算的地基土基床系数，其计算数值与规范中给出的经验值相近，以此值作为基准适当考虑地基土的类别、土的状况、物理力学特性及其上部结构特点做一定修正用于有限元结构分析是可行的。

2.基于文克尔假定，在矩形水池底板设置竖向弹簧基础上，在底板设置水平弹簧替代四角平面约束或四角不动铰支座，该边界条件贴合实际，水池结构内力计算结果合理，水池底板变形与实际相似。

3.尺寸较大（平面尺寸大于或等于L×B＝20m×10m）的钢筋混凝土敞口水池结构，由于其整体刚度不大，其结构内力对地基变形较为敏感。