用构造法求恒不等式中的参数范围

福建省龙岩市长汀县第一中学 (366313) 周兴腾

在许多高考题或高考模拟题中，导数的综合题往往都是把关的角色，其中恒成立问题中求参数范围的题目更是内容丰富、形式多样，而我们有些同学也经常是止步于此，究其原因是缺少破题方法．而因题而异、深挖内含是非常重要的，其中抓住题设特点，通过构造新函数求解此类问题就是一个有效的举措．本文举例介绍几种常见的使用方法，供参考．

一、移项后构造

通过把题设的恒不等式移项处理，变成一边为零后，直接构造函数．

例1 设函数f(x)=x(ex-1)-ax2.若当x≥0时，恒有f(x)≥0，求a的取值范围.

解析：由于f(x)=x(ex-1-ax)，当x≥0时，f(x)≥0等价于ex-1-ax≥0，令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.若a≤1，则当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)=0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.若a>1，则当x∈(0,lna)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)=0，从而当x∈(0,lna)时，g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(-∞，1].

评析：将不等式转化为一个函数式恒大于零(或恒小于零)后，如果通过求导数能够解决参数范围的，就不需要再进行其他变形，否则可能将问题复杂化．

例2 设函数f(x)=(x+1)1n(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

解析：设g(x)=(x+1)1n(x+1)-ax，其中x∈(-1，+∞)．对函数g(x)求导得g′(x)=1n(1+x)+1-a．令g′(x)=0，解得x=ea-1-1．

①当a≤1时，对任意的x≥0，g′(x)>0，所以g(x)在[0,+∞)上是增函数，又g(0)=0，所以对所有的x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对任意的x≥0都有f(x)≥ax．

②当a>1时，对于01时，不是对所有的x≥0使f(x)≥ax成立．综上可知，所求实数a的取值范围为(-∞,1]．

评注：将不等式恒成立转化为函数式恒大于零是解题的关键所在．后面再根据解题需要，通过求导、分类讨论的方法判断不等式是否成立，从而确定了参数的范围．

二、参数分离后构造

通过分离参数，可将恒不等式问题转化为求函数的最大值或最小值问题，使后续的解题方向非常清晰．

例3 已知f(x)=xlnx，g(x)=-x2+ax-3.若对一切x∈(0,+∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

评注：在解题中首先对不等式进行适当变形后，再通过设新函数利用导数解决问题，而变形的目的是分离变量，把参数分离后就可以利用求函数最值解决问题了．

例4 设函数f(x)=kx3-3x+1(x∈R)，若对于任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数k的取值范围.

评注：由于所给的自变量x的符号不能确定，所以必须通过分类讨论完成分离参数问题．

三、代数变形后构造

有些问题在运用直接求导和分离参数的方法后效果不理想，可以对所给的恒不等式进行适当的代数变形，然后再构造函数新函数解题．

例5 已知函数f(x)=x2ex，g(x)=1-ax．若当x≥0时f(x)≥x2g(x)恒成立，求实数a的取值范围．

解析：由f(x)≥x2g(x)得x2(ex-1+ax)≥0，当x≥0时f(x)≥x2g(x)恒成立，就是ex-1+ax≥0恒成立．设h(x)=ex-1+ax(x≥0)，由于h′(x)=ex+a，当a≥-1时，h′(x)≥0对x≥0恒成立，所以h(x)≥h(0)=0，符合题意．当a<-1时，由h′(x)>0得x>ln(-a)，由h′(x)<0，得0≤x

评注：解题中通过对恒成立不等式进行整理变形后，等价转化为另一个不等式，使问题变得简单得多了，这也是提高解题效率的重要方法之一．

例6 当x≥0时，不等式ax2-ex≤-x-1恒成立，求实数a的取值范围.

评注：在解本题中的构造更具有创造性，是在对参数进行分段后进行的，并且将指数问题转化为对数问题，为后面的大小比较、研究函数的单调性提供了最大帮助.

四、多次构造

在用导数求函数最值时，许多情况下可能出现一次求导不能解决问题，还需要再一次求导才能确定函数单调情况，确定函数的最值．

评注：在本题中由于第一次构建的函数g(x)的单调性根据现有条件无法确定，故而再一次地构建一个新函数h(x)，通过求导判断h(x)的单调情况，进而才能使问题获得解决．

例8 已知函数f(x)=x-ln(x+1)， 若对任意的x∈[0,+∞)，都有f(x)≤kx2成立，求实数k的取值范围．

评注：在解题中有两处构造，都是为了求导后方便比较大小而为之，其实质是将不等式的条件转化为含参数的函数单调性问题，通过分段讨论，使问题获得圆满解决．