基于课程合作式学习的《常微分方程》教学改革的探索与实践

2021-09-01赵莉莉

大学数学 2021年4期

赵莉莉

(云南大学数学与统计学院，昆明650091)

1 引言

数学类各课程教学方法的研究越来越受到学者们的关注，取得了不少有价值的成果，见文献[1-4].虽然，对于合作式学习的教学方法在其它学科上的应用文章不少，但是缺乏它在数学类学科上应用的文献.合作式学习是引进于欧美地区的一种教学方法.奥尔森等人对合作式学习给出的定义是：合作式学习是一种有组织的群体活动，这种学习建立在小组内学习者之间的信息交换的基础之上，每一个学习者对自己的学习负责，同时也激发其它人的学习兴趣[5].从上述定义可以看出：这种学习方法的重心是“合作”，现代社会网络通信技术发达，人们可以利用计算机网络与多媒体技术建立起合作式学习的大环境，实现小组成员之间的信息共享、组织小组成员之间或小组成员与教师之间的讨论、交流和学习，达到使小组成员不受时间和地点的约束，自己掌握学习进度的目的.常微分方程是数学系一门应用性强的学科，但现在的教学现状是教师牢牢掌控课堂主动权、课堂互动较少、课堂教学只注重理论知识的讲授，而忽略了学生实践能力的培养，无法有效激发学生学习兴趣，教学效率不高，需要尝试把合作式学习的思想引入到常微分方程的教学中，提高教学效率.

在反映现实客观世界运动过程的量与量之间的关系中，存在着大量的满足常微分方程关系式的数学模型，需要通过求解常微分方程的精确解或近似解、判断常微分方程各类解函数的各种动力学性质，去更好地了解客观世界.例如：常微分方程中的经典模型——马尔萨斯人口模型.在假设人口的自然增长过程中，人口的增长不受到外来因素的影响，净相对增长率是一个常数的基础上，英国人口统计学家马尔萨斯提出了Malthus人口模型：

其中N表示t时刻的人口数量，r称为生命系数，表示的是人口的净相对增长率.这是一个变量分离方程，由变量分离法可求出它的通解为

N=cert，

如果再假设初始时刻t0，人口的数量为N0，代入通解之中，可得：t时刻的人口数量

N(t)=N0er(t-t0).

此模型称为logistic模型，这还是一个变量分离方程，用变量分离法可得

显然当t→+∞时N(t)→Nm，即随着时间的增长，人口数量不断接近环境最大容量，符合客观现实.从中不难发现常微分方程是人们发现、认识、改造客观世界的重要理论工具.如果只是在班级内被动的传授变量分量法的相关知识，学生可能会记住变量分离法两个步骤，其一分离变量，其二两边同取不定积分，但难免会让学生觉得枯燥、无味，提不起学习的兴趣.但是如果在课前能把变量分离法的具体步骤，以及提出Malthus人口模型的背景等相关知识，利用智慧教学工具先推送给学生，让学生分组合作式学习变量分离法，再让学生利用所学知识去求解Malthus人口模型，充分发挥每一个学生在学习上的主观能动性，接着在课中引导学生思考：Malthus人口模型的解，显示人口数量是以指数形式进行增长的，这是不是合理的？如果不合理，应该如何修正模型，使它更加符合现实客观世界？让学生在合作学习小组内广泛进行讨论，锻炼小组成员有效思考的技能和主动掌握知识的能力.最后可以把荷兰生物学家Verhulst的解决方法教给学生，理论与实践并重，加深学生对变量分离法的记忆与理解.从上述例子不难看出，合作式学习能充分调动学生学习常微分方程的积极性，增强学习的责任心，而小组成员之间合作学习的协作精神又能促进学生积极主动获取知识、利用所学知识解决实际问题能力的培养.

2 探索与实践

2.1 优化教学内容，以方便开展合作式学习

常微分方程的教学内容相对较多，课时相对较少，如果所有的理论知识都逐点讲授清楚，那么留给学生的时间会相对变少，整个教学过程就会只注重了理论知识的讲授，而忽略了对实践能力的培养，也会显得比较枯燥，提不起学生学习的兴趣.因此有必要优化教学内容，把更多的课堂时间“还给”学生.例如：在许多常微分方程的教材之中高阶线性微分方程与线性微分方程组是分不同的章节讲授的，但是事实上，每一个高阶线性微分方程的初值问题都可以化为一个线性微分方程组的初值问题，且在这样的意义下两者是等价的：知道一个初值问题的解的条件下，可以构造出另外一个初值问题的解；高阶线性微分方程解的存在唯一性定理是线性微分方程组解的存在唯一性定理的推论；高阶线性微分方程一般理论中每一个定理又是线性微分方程组一般理论中相应定理的推论.因此，教师在讲授完线性微分方程组一般理论之后，可以考虑安排学生合作式学习高阶线性微分方程的一般理论，不仅能“节省”课堂教学时间，还能充分调动学生学习常微分方程的主观能动性，加深学生对高阶线性微分方程初值问题和线性微分方程组初值问题关系的理解，从宏观上掌握高阶线性微分方程和线性微分方程组的一般理论.再例如说常数变异法这个知识点.在常微分方程课程中，常数变异法共讲了三种.其一是一阶线性微分方程的常数变异法；其二是高阶线性微分方程的常数变异法；其三是线性微分方程组的常数变异法.这三种常数变异法也可以做成一个专题来进行合作式学习，让学生能够更清楚常数变异法的本质——待定函数的思想，也从形式上把齐次线性微分方程(微分方程组)和非齐次线性微分方程(微分方程组)的通解统一起来.若x1(t)，x2(t)，…，xn(t)是n阶的齐次线性微分方程的一个基本解组，则n阶的齐次线性微分方程和n阶的非齐次线性微分方程，每一个解都可以表示为

x(t)=c1(t)x1(t)+c2(t)x2(t)+…+cn(t)xn(t).

若Φ(t)是齐次线性微分方程组的一个基解矩阵，则齐次线性微分方程组和非齐次线性微分方程组的每一个都可以表示为

x(t)=Φ(t)c(t).

2.2 选择合适的合作式学习方式，才能有效地提高合作式学习的效率

合作式学习的方式有四种，其一为竞争形式的合作式学习，这种学习方式很大程度上受限于学习操作系统，学习系统会根据制定好的教学目标，针对某一个知识点，提出一个问题，再提供一些解决问题的资源，两个以或两个以上的学生利用这些资源进行学习，在整个学习过程中每一个学习者都能看到竞争者的学习状态，这种方式的优点在于学习者可以根据竞争者的学习状态，调整自己的学习策略，争取共同进步，达到教学目标.但是这种方式的缺点在于，学习者缺乏和老师之间的沟通，缺少老师的指导，容易造成盲目学习的状态，不能及时的掌握知识点，理解其本质.其二为协同形式的合作式学习.这需要两名以及两名以上的学生共同完成合作式学习.这种方式需要根据每一名学生的特长和优势，合理进行学习分工，小组密切合作共同完成由教学大纲制定的某一个具体的学习任务.这种方式的优点在于能充分发挥学习小组中每一位同学的优势特长，最大程度地调动他们学习的积极性.而这种方式的缺点在于学习小组中缺少一个“组织者”把每一位学习者的学习成果进行归纳总结，形成一个完整的结论，让每一位学习者对学习任务有一个完整的认识与理解，从而完成教学大纲中所规定的教学任务.其三为伙伴形式的合作式学习，这种学习方式更加适合于为了完成同一个学习目标的期末考试或升学考试的复习，例如考研或考博，学生利用网络上的各种学习平台，寻找有相同学习目标的学习伙伴，当一方在学习上遇到困难时，可以与伙伴进行交流与讨论，最终解决困难，共同完成学习目标.这种学习方式的优点在于学习者有共同的学习目标，可以相互交流学习经验，在学习上取得共同的进步.但这种学习方法的缺点在于它不太适合对某一门课程的初学过程.笔者通过自身常微分方程的教学实践，发现最适合常微分方程课程教学的形式还是第四种合作式学习的形式——角色扮演形式的合作学习.这种方式一般是能力各异的4-6名学生组成一个学习小组，独立学习能力强又善于与其它同学沟通的学生担任“指导者”的角色，负责统筹安排学习小组成员的学习任务、监督他们的学习进度、为他们的学习提供指导与帮助，以及把学习小组每一位成员的学习成果进行归纳与总结，解决任课教师根据教学大纲所提出的问题，完成学习目标与任务.对担任“指导者”角色的学生能力要求是比较高的，他不仅要对整个学习任务有一个宏观上的把控，在学习小组遇到学习困难的时候还要和老师积极沟通，寻求教师的帮助.经过近两年来的教学实践，笔者发现由学习小组内部成绩最好、独立学习能力最强的学生担任“指导者”的角色和学习小组成员轮流担任“指导者”的角色，教学效果都不错.第一种方式因为担任“指导者”角色的学生各方面的能力都很好能及时地对每一个成员的学习给与指导与帮助，学习小组的学习效率会比较高，能及时的完成学习任务.而第二种方式能够让每一个学生都得到很好的锻炼，激励了每一个学生的学习积极性.

2.3 在实践过程中要不断的修正合作式学习的教学实施方案，才能更加有效的提高教学效率

笔者曾于2018年和2019年的春季学期中，在所教的班级中使用了合作式学习的教学方法，发现常微分方程期末考试平均成绩要比没有实施教改的2017年教学班，提高了5-8分.而且在2018年教学班，使用了合作式学习的教学方式后，笔者及时总结了其中的经验教训，例如没有干预学生的分组情况，学习小组的分组方式采取的是学生自由组合的方式，导致学习小组的人数分布不均匀，多的多到十多人，而少的只有两三人，人数过多会降低合作式学习小组内部沟通的有效程度，也存在一些相互推诿学习任务的情况，影响了学习效率，而人数过少又会导致每一个成员分配的学习任务过重，又可能存在不能及时完成学习任务的情况，影响学习进度.再例如起初因为学生对教学方式有新鲜感，能非常积极地投入到常微分方程的合作式学习之中，然而这种学习方式需要学生投入大量的时间与精力，却因为没有配套的课程评价体系，打击了学生参与合作式学习的积极性，影响了教学效果.笔者及时修正了合作式学习的教学实施方案：合理干预学生的分组情况、加强常微分方程课程的过程管理，让学生的每一次合作式学习的表现都能在课程的综合成绩中有所体现，最大限度地调动学生学习的主观能动性，提高了教学效率.在2019年的春季学期改进了合作式学习的实施方案之后，期末平均成绩又比2018年教学班的提高了2.7分.

3 教学实效

从2017年开始计划在教学中引入合作式学习的教学方法，并开始收集相关教学数据.2018年与2019年教学班中正式实施了教学改革.图1为实施教学改革前后常微分方程成绩对比表，平均成绩、及格率以及最低分的提高、高分人数(90分以上)的增多都反映了合作式学习能促进学生学习能力的提高；图2为实施教学改革前后学生参加大学生数学建模竞赛情况对比表，学生参加大学生数学建模竞赛积极性的提高、获奖学生人数的增多都反映了合作式学习，能有效促进学生创新精神的培养；图3和图4分别为2018年和2019年春季学期常微分方程学生评教结果(学生评价内容为5项，每一项满分为20分，总分100分)，总分分别为96.8、97.6，可以看出学生对常微分方程课程中引入合作式学习的教学方法接受度较高、对教改促进学生综合能力的提高认可度也较高.

图1 实施教学改革前后常微分方程成绩对比

图2 实施教学改革前后参加大学生数学建模竞赛情况对比

图3 2018年常微分方程评教结果

图4 2019年常微分方程评教结果

从以上数据，进一步分析合作式学习对提高学生学习能力、培养学生创新精神、提升学生综合素质的原因.

3.1 合作式学习提高学生学习能力原因分析

原来传统的常微分方程的教学都是老师讲，学生听，他们只是被动的记录老师的“东西”，没有对知识点进行思考，变成自己的“东西”.甚至有些学生把常微分方程当成“文科”来学习，存在“死记硬背”公式的情形，例如求解一阶的非齐次线性微分方程时，甚至是求解高阶非齐次线性微分方程时，不少学生都习惯套用现成的常数变异公式，而不是掌握常数变异法的两个步骤，自己利用常数变异法求出微分方程的通解.但是

和

都是一阶的非齐次线性微分方程的一般形式，学生“生搬硬套”的套用常数变异公式，容易出现“套错”公式的情形.而在常微分方程的教学之中，引入合作式学习的教学方法之后，知识点就变成了学生在合作式学习小组的学习讨论中讨论出来的，是学生自己主动获取的知识，加入了他们自己的思考是他们自己的“东西”，自然也就能加深学生对知识点的记忆和理解，同时也改进了学生的学习方式，提高了他们的学习能力，让学生真正成为了学习的“主体”.在实施教学改革之前，基本没有学生尝试解答期末考卷中考查学生学习能力、思维能力的“拔高题”，没有高分学生，最高分仅88分，而从2018年实施教学改革之后，更多的学生开始尝试解答考卷中的“拔高题”，2018与2019学年分别有8和10位高分学生，占全班总人数的20%与25%，连续两年最高分都为100分，从中不难看出合作式学习将学生学习方式从“被动学习”变成了“主动学习”，有效促进了学生学习能力的提高.

3.2 合作式学习培养了学生的创新精神原因分析

合作式学习的教学方式能加强学生学习的主观能动性，培养学生的创新精神.合作式学习小组的成员是一个个不同的“个体”，在每一次合作式学习的过程之中，小组成员之间、学生和老师之间的相互启发与相互讨论，都会产生不少思维上“闪光点”，提出许多值得讨论的问题，这是一个动态地、创造性地获得知识的学习方式，在这个过程中很“自然的”就培养了学生的创新精神.常微分方程是一门理论与实践并重的学科，在布置合作式学习的学习任务时，还可以通过一些实际问题引入.在完成学习任务之后，学生不仅加深了对某一知识点的记忆与理解，也增强了学生利用学科知识解决实际问题的能力，进一步培养学生的创新精神.以高阶微分方程的降阶为例，不妨用这样一个问题来引入：从海平面上向海中沉放，某种物体，求该物体与海底接触时的速度，即需要确定物体下沉深度s(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系.假设物体在重力作用下从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉的过程中还受到阻力和浮力的作用，该物体的质量为m，体积为T，海水的比重为ρ，物体所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k.用s(t)表示在t时刻物体下沉的位移，考虑到位移的导数是物体降落的速度，而速度的导数就是加速度，则由牛顿第二定理，可以列出微分方程：

(1)

原二阶微分方程就可以降阶，成为一阶微分方程：

这是一个变量分离方程，可以用变量分离法求出其通解，再考虑到初值条件s=0，v=0，可以得到物体下沉深度s与下沉速度v之间的函数关系，从而通过求出(1)式，这个二阶微分方程的解，不仅能让学生学会高阶微分方程降阶的技巧，也能让学生更加清楚这个物体的远动规律，提高学生利用常微分方程的知识点解决实际问题的能力，加强了学生创新精神的培养，知识不是用来应付考试的，是拿来用的.大学生数学建模竞赛有利于数学理论，尤其是常微分方程的理论付诸实践，对学生创新能力有较高要求.在实施教学改革之前，对大学生数学建模竞赛感兴趣的学生不多，得奖学生更少.2017学年仅有9名学生组成3队参加建模竞赛，其中1队共3名学生获奖，占全班总人数的7.5%.大多数学生更加习惯的是“按部就班”地学习与考试.实施教学改革之后，学生逐步习惯了合作式学习这一种动态地、创造性地获取知识地方式，对自身创新能力的要求也越来越高.2018学年共有15名学生组成5队参加了建模竞赛，其中有3队共9名学生获奖，占全班总人数的22.5%.2019学年共有21名学生组成7队参加了建模竞赛，其中有5队共15名学生获奖，占全班总人数的37.5%.参加大学生数学建模竞赛学生人数和获奖学生人数稳步增多，反映了基于合作式学习的教学改革能有效促进学生创新精神的培养.

3.3 合作式学习提升了学生的综合素质原因分析

合作式学习能够培养学生各方面的素质，首先能培养学生的合作精神和人际交往能力，这在现代社会中是尤为重要的.整个合作式学习小组要按照教学大纲的要求按时按量地完成既定学习目标和任务，就需要小组中每一个成员能够有有效地、良好地沟通，通力合作，为了同一个目标而努力，这在无形之中就培养了学生的人际交往能力和合作精神.其次合作式学习还能培养学生的抗压能力和心理素质.无论是在生活中，还是在学习上不可能都是一帆风顺的，会遇到各式各样的挫折.学生大多习惯了传统的教育模式——老师讲授知识，学生被动的学习知识，一开始学生可能会对合作式学习的学习模式感觉很新鲜很好奇，激发了他们的学习热情和学习积极性，但是，如若他们在主动地探索知识的过程遇到困难和挫折，难免就会打击到他们的学习热情和积极性，这时就需要学习小组内部成员之间相互启发、相互鼓励，在全策全力完成学习任务的过程之中，不断加强自身的抗压能力和心理素质.最后合作式学习还能增强学生的竞争意识和集体荣誉感，对学生毕业之后，融入社会大有益处.教师在布置学习任务时，可以适当的引导合作式学习小组之间的学习竞争，激励合作式学习小组的成员为了集体的荣誉感，积极投入到学习之中.合作精神、人际交往能力、抗压能力和心理素质、竞争精神、集体荣誉感是学生综合素质中不可或缺的部分，通过常微分方程课程的学习，这些能力是否得到有效培养，需要学生在日常学习与生活中自己感悟，他们才更加具有发言权.实施教学改革之后，每一项评教内容学生评教平均分均在19分以上(总分为20分)，反映了基于合作式学习的教学改革能有效提升学生的综合素质.