刘彝程《九章实义》研究
2021-09-01李方方郭世荣
李方方,郭世荣
(内蒙古师范大学 科学技术史研究院,呼和浩特010022)
刘彝程(1837?—1920?)[1-4],字省庵(菴)[5-6],号醒庵[7-9],①田淼根据刘彝程的经历及其父亲的生平年代推算他生于1835年左右;李迪、查永平给出刘彝程生于1833年左右;杨抱朴根据鹿传霖在《简易庵算稿》序言中说“当是时,余与君皆少壮耳”推断两人生于同年,即1836年。刘彝程父亲刘熙载生于1813年,根据他的生平活动来看,1847-1856年多数时间他居住在北京,尤其自1850年起,有他逐年在京任职、参加考试等记载。1856年年底,刘熙载以病乞假回兴化,此后六七年间,四处设馆授徒,以维持生计。刘彝程自言“弱冠从父学习天元正负歌”,从鹿传霖序文又可看出,刘熙载至少在1857至1858年于山东、定兴设馆授徒时有带刘彝程在身边,因此笔者推断刘彝程从父学习时间应不早于1856年、不晚于1858年。即其生年为1837年左右。学者多称刘彝程字为“省庵”。“菴”为“庵”的异体字,李善兰至华蘅芳信件中有“刘彝程省菴”之称,华蘅芳在《微积溯源》序言中有“刘君省菴”之称。刘彝程的“割圆阐率自识”、胡传1870年日记、上海县续志均有“醒庵”之称。江苏兴化人。其父刘熙载(1813—1881)是清末著名学者,文艺理论家、教育家、书法家。刘彝程曾任上海广方言馆算学教习(1873春—1904?)、上海求志书院算学斋斋长(1875—1898冬),在数学、数学教育方面深有研究,为晚清数学以及数学教育的发展做出重要贡献,是清末重要数学家之一。
《九章实义》(1901)全名《简易庵九章实义》,是刘彝程应友人之邀为初学者编写的一部算书。此书与刘彝程代表作《简易庵算稿》(1900)均冠名“简易庵”,是因刘氏“阐发算理,以简易为上,曩尝颜所居曰‘简易庵’,今即以名所著吁”[3]。两书因书名、卷数、刊印时间相近,部分学者将二者误认为是同一著作[10],这是《九章实义》早年鲜为人知的原因。时至今日,学界对《九章实义》的介绍依然很少,主要原因在于:《简易庵算稿》是刘彝程二十余年“心目所注”的集成,江南制造局曾刊印多次,流传甚广,且涉及数学知识较深,代表了刘彝程数学研究的最高成就,学者提及刘彝程必言此书;《九章实义》是为初学者所写,从其书名与目录来看,容易让人误以为是对《九章算术》内容的重组,因而不被学者所重视。
事实上,《九章实义》将西方传入的比例知识与中国传统数学相结合,使中西数学融为一体,其“西算分类方式是中国数学完全由传统过渡到近代的一个标志”[11]。观其内容,涵盖了初等计算知识以及当时盛行的勾股和较术、勾股测圆术、垛积术、方程等知识,条理清晰、分类得当,论述有详有略,不仅可使读者“简而易举”,亦为读者留有足够的“探索”空间。
1 《九章实义》的成书过程及编纂思想
1.1 成书过程
刘熙载的好友郭嵩焘(1818—1891)于1876年奉旨带留学生出访英国,过上海时问刘彝程:“行携有出洋学生将使学算,宜以何书入门?”答:“向乏善本,无已,惟有自著。”[12]郭嵩焘嘱咐刘氏尽快写成,愿为之刊刻。1879年,郭嵩焘回国,刘彝程因还未编好深感抱歉,许以异日,而后又因“主上海求志书院算席、兼课广方言馆算学生讲授”[12],课务繁重,无暇顾及,此事便暂且搁置。1899年,刘彝程将自己在上海求志书院任职期间的历年算稿精选集成《简易庵算稿》,请好友鹿传霖(1836—1901)为之作序。鹿传霖见后称善,并自比李光地,建议刘彝程编写“算学简要门径之书,以嘉惠来学。”[3]刘彝程从教二十余年,所见算书无数,但“求其浅近易学、可以入门而无弊者,则罕见之”,为此他深感遗憾,“尝欲自著一书,引申浅近算理、藉示初学津梁”,种种原因一直未能完成。[12]刘彝程“常耿耿负郭公之厚意,至是又惧无以报鹿公,遂乃屏绝尘事,”[12]历时半年,撰成《九章实义》。
1.2 编纂思想
上海广方言馆算学课程规定“学习算术,无论笔算、珠算,先从加、减、乘、除、开方入手。中算则熟习算经十书,前贤代有著述,皆可浏览。西算则几何、重学、代数诸书,循序而渐进焉。”[13]由此可知,广方言馆初学算学以“九章”内容为主。刘彝程在广方言馆任教近三十年,编写简要算书时首先便想到“九章”内容较为合适,但他对“九章”的分类方式不甚赞同,认为其分类“重复多而名实亦不甚相称”,并指出若要讲解“九章”知识,则需“运其理而不泥其名”。[12]比刘彝程稍早的罗士琳(1789—1853)也有类似看法,他说:“‘九章’之名最古,后人不解九章,乃备数而设,遂哗九章为牢不可破之格,胶柱鼓瑟,其谬甚矣。”[14]
罗士琳与刘彝程在用新算法统领“九章”时也有相似之处。罗士认为:“九章”中的方田、少广、商功、勾股问题皆可称为“度”,即计量长短、面积、体积等几何问题;粟布、衰分、均输、盈朒、方程问题均可称为“算”,即计量数目大小等算术问题。解决这些问题所依赖的加、减、乘、除等运算,“推其原,不过以小比大、以寡比多、以虚比实、以假比真、以彼比此、以旧比新而已”[14]。若知其间比例之率,则一切问题皆可由比例之法解决,“与其因比例之不同分作九章”[14],使其法混淆,不如将它们归入不同的比例之中,以达到“画一”的效果。于是,罗士琳“把比例分为十二种,对‘九章’重新排比,按问题的解法归入不同的比例算法之下,试图以比例的观点统一研究数学”[15]。
刘彝程对比例的看法与罗士琳基本相同,他称“比例为算学第一要务”“无论何题,皆可由比例而得其理”[12]。但同时他也指出:比例虽“为算法大宗,最灵最简,以运九章,可囊括无遗”,但若仅以比例阐释九章,部分算理又略显舍近求远。因比例之外的面体积之理,对“相乘、开方诸法,舍之即无由成算”;方程(指多元一次方程组)仅不便于解决开方类问题,对“九章”其他问题“无不易举”。因而刘彝程在讲解比例算法的同时,还以面体积之理讲解了各种开方方法,介绍了列方程的方法以及方程运算过程中的正负号变化问题。
可以看出,罗、刘二人均是把比例当作一种算法工具,只是罗士琳的“目的在于利用这种工具来从整体上研究数学”[15],刘彝程则仅是为了以之讲解“九章”相关内容。虽然,《九章实义》中也有诸如“权衡轻重”类的西算题,仅是其算理简单、日常易见、便于初学,与刘彝程创作此书目的相同。
2 《九章实义》内容分析
《九章实义》四卷,前三卷由上、下两部分组成,第四卷由上、下、附三部分构成。前三卷上部分和第四卷上、下部分为理论知识,对应卷下和卷附则为理论之应用及详解。此书完稿于光绪辛丑(1901)夏,辛丑仲冬刘氏简易庵石印。全书校算与绘图由刘彝程在广方言馆的五名学生负责,校算由无锡郁赞廷耀卿、宁乡戴腾奎巨荪、泰兴张文廉若泉、泰兴朱凤翔文卿四人负责,绘图由高邮杨赞卿翊猷完成。
前文提到罗士琳曾将“九章”内容归于十二种比例之下,其书名曰《比例汇通》。此书分为四卷,分类方式、内容讲解均与《九章实义》不同。《比例汇通》卷一介绍了各种数学计算中用到的比例定率以及正比例、转比例、合率比例的概念及应用,卷二介绍了设色、双套等九种比例,并以题详解,卷三与卷四主要讲解借根方、借根方御比例法、借根方开方知识。《九章实义》卷一专讲比例相关知识,论及比例的概念、性质以及如何使用比例方法求解“九章”相关问题;卷二为面体积,给出各种开方的方法与口诀,以便易于求解“九章”有关开方的题目;卷三是方程,讲解了列方程的方法以及方程运算过程中的正负号变化问题;因勾股“题境繁多”,单列章节、分类阐释才可统观其全,于是又设卷四以比例讲解勾股和较术与勾股测圆术,并附《测圆海镜》中部分算题进行详解。刘彝程自言:“维以此分类,视九章分类,较得实义”,因而此书得名“九章实义”。[12]刘彝程是否见到《比例汇通》,他未做说明,但他对比例相关知识的讲解与之大不相同。
《比例汇通》给出的比例定义与《数理精蕴》中所给相同:“凡物彼此相形,并之而用加,较之而用减,聚之而用乘,散之而用除,观之不过两率,然乘除之间四率之理已默寓其中。……无一非由比例而得。蓋以两数为比例,用今有之数即可以得未有之数也。”[16《]九章实义》则给出比例更为确切的定义:“何为比例?乃以已知二件为例,而以今有之件与欲求之件比之。”并指出“比例法即四率法”,三率比例、连比例等皆与四率比例理同,知四率比例之理,则一切比例之法皆可由之而得。即《九章实义》的四率比例包含了《比例汇通》《数理精蕴》中的十余种比例,只是在具体列式时根据题意已知与求解之间关系的不同略有变化。
为避免初学者排四率式时茫无端绪,刘彝程特创新法,为四率冠以“彼、即、此、必”四字,以便读者列式时有据可循。如“已知有若干物,值若干钱,今有物求钱或今有钱求物”类题目,按刘彝程之法则排的四率分别为“彼物、既值彼钱、此物(此钱)、必得此钱(必买此物)”,彼此相对,不易混淆。计算时依“二、三率相乘,一率除之,得四率”。刘彝程将排四率式方法总结为五句口诀:“一定有求,二立名目,三加彼此,四借二率,五作一率。”定有求,即辨别孰为三率、孰为四率。立名目,即依次书写一至四率之名。加彼此,即在四率名目之下分别加“彼、即、此、必”四字。此三句为简单之题而设,也即《数理精蕴》《比例汇通》中的正比例、转比例可解之题。刘彝程还指出,若能熟练操作第三句,则可直接通过“彼、即、此、必”四字辨别四率,“二立名目”之条便可省去。若遇一、二率没有明确给出题目,则需熟练掌握“四借二率,五作一率”两句口诀。如:“设有金二千九百七十五两,令甲、乙、丙、丁四人二八纳之,问:各几何?”刘彝程给出解法如下:
别得:由丁而上递大四倍。乃借“一”为丁差(一差犹言一分也),则“四”为丙差,“十六”为乙差,“六十四”为甲差。各为二率,此二率皆系借数,故曰“四借二率”。次以四人之差相并,得八十五差,为一率,此一率系并成之数,故曰“五作一率”。
从上述解法可以看出,解题所需“二率”是根据题意而设的,“一率”则由“二率”而得,故称此法为“借二率、作一率”。《数理精蕴》《比例汇通》中的合率比例、双套比例等类型题目便可用此法解决。
此外,刘彝程还总结出比例的性质四条,即,若a∶b=c∶d成立,则下列四行公式均成立。
理解比例的原理及用法,则“九章”之题均可依之解决。但“可解”不代表“最简、最适”。刘彝程从教近三十年,有着丰富的教学经验,对何种方法便于求解何种题目已了如指掌。因而比例之后有面体积、方程两卷之设。
“面体积”卷主要是借面体积之理解释各种开方问题。此卷讲解了开平方、归除开平方、开带纵平方、开立方、开高次方的方法以及和较自乘相乘之理。其中,开平方、开带纵平方、开立方有给出口诀,归除开平方讲解开方定位问题、和较相乘自乘之理给出三个公式,后两法已至简洁,不必再费心思巧立口诀。开带纵平方法与和较自乘相乘之理在其后的勾股卷用处广泛,现对之简单介绍。
开带纵平方法用于解决“已知两数之和(或两数之较)与两数之积(也称长方积,两数称作长与宽),求两数”的问题,此法先根据等式(x+y)2-4xy=(x-y)2或(x-y)2+4xy=(x+y)2求得两数之较或和,再根据[(x+y)+(x-y)]/2=x;[(x+y)-(x-y)]/2=y即可求得两数。“和较自乘相乘之理”则给出三个等式:(x+y)2=x2+y2+2xy,(x-y)2=x2+y2-2xy,(x+y)(x-y)=x2-y2,(x>y)。现今称前两个为完全平方公式,最后一个为平方差公式。
“方程”卷所讲方程仅是“多元一次方程组”内容,主要用于求解粟米、衰分、商功、均输、盈不足以及方程本门相关算题。此卷详细讲解了方程计算过程中的正负号变化法则,此法与刘熙载的《天元正负歌》[17]无异,仅做了略微改动。此卷所讲列方程的方法、符号变化法则与今天所讲多元一次方程组的应用无太大差别,此处不再详细介绍其内容。方程之后还有“勾股”一卷,借助比例方法讲解勾股和较术与勾股测圆术,此卷内容在后文详细论述。
从前三卷的内容安排可以看出,所讲知识难度在逐步增加,比例最简单,开方需要熟记各种口诀,方程相较而言最难理解。刘彝程在比例之后设面体积、方程两卷,其目的是为了读者在解题时不必局限于一种解题、计算方法,可随题取其轻便之法为用。
3 以比例释勾股和较术、勾股测圆术
一般认为,勾股形知识随着后世的发展逐渐形成三个分支:即“勾股测望术、勾股和较术、勾股测圆术”[18],勾股卷所讲为后两种。勾股卷上开篇指出:“勾股题类繁多,且一题可求诸数,其义尤多。若一义一解,不可胜解。即便解之,头绪綦繁,学者转滋眩乱。”若要阐释其中算理,“宜先握其大纲,分题为数类,一类数题,每类之题,所求不同,而立术则概不外乎公理”。此法“自古无书”,唯见项名达的《勾股六术》“分诸题为六种,每种共一公术,而以其异题仍可以加、减化作本题者,各附于后”。刘彝程对项名达总结勾股和较术为六种之举甚是赞同,认为“项术理本至公,若与之故立异同,则虽命意新奇,转恐未恰于理”,但对项氏的编排方式持不同见解。
首先,《勾股六术》开篇先述六术,其后附六术中未设、使用加减运算可化为六术已有之数题,分四类概述。刘彝程认为,若以比例御六术,可约之为三类,分类叙述更易解释其中算理,至于“应以加减化作本题者,在熟于加减者,自能化得,毋庸赘述”。其次,项氏将算法与算理分开,即先讲明六术,于其后一一作图解。刘彝程对此很不赞同,他认为理法不可拆分,以法明理、以理释法,二者相辅相成,缺一不可。最后,项氏指出,第三术是后三术之源,以比例阐释其中关系,则四术有一气浑成之效果,因而在图解之后又作“重论第四、五、六术”[19]详述之。对此,刘彝程认为,后三术既可用比例之理明之,图解则略显多余,若须证明,则可找一图统领,不必一一作图明之。所以,勾股卷上内容并未原版照抄项氏之书,而是刘彝程经多方考量、重新规划,将六术以一种全新的视角介绍给读者。即,分“勾股六术”为条段、三率比例、四率比例三类,每类数种,每种归结为一题,给一通法,紧挨其后讲明算理,继而以理述题。如此编排,条理清晰、层次分明,使读者“简而易举”,亦符合理法之设。
“条段”类为《勾股六术》前两术。第一术用于求解“勾、股、弦,知二求三”类问题,使用勾股定理即可解决;第二术用于求解“知弦与勾股和(较),求勾、股”类问题,使用等式(1)即可。
因两术所用等式非比例形式,因此称之为“条段”类。刘彝程在叙述两术的问题及解法时与项氏基本相同,只是项氏分题叙述,刘彝程则将之合为一题概述。在证明两术所给算法,二者差异较大。项氏的证明沿用中国传统数学中的一贯做法——使用图形的平移、割补来证明,刘彝程所给证明则颇有新意。
根据《九章实义》中的叙述以及用图,现用a表示勾,b表示股,则书中证明前两术所用之图如图1和图2所示。书中对“第一术”之理,即勾股定理的证明过程概略如下:
图1是边长分别为勾、股的两个正方形相切,添作两条虚线后,亦可看作是两个长为股、宽为勾的长方形和一个边长为勾股较(即b-a)的正方形,由此可知
图1 证明插图一Fig.1 Proof illustration 1
由图2可知勾股和幂内又四直积、一较积,“弦幂内亦为二直积一较幂”。即:
图2 证明插图二Fig.2 Proof illustration 2
“依图理,则句、股二幂和必等于弦幂,皆为二直积、一较幂故也。”即:(2)式与(4)式等号右边相等,则等号左边相等,即第一术得证。倍(4)式得(5)式,(3)式和(5)式左右相减得(6)式,(5)式两边同时减去“(b-a)2”得(7)式,因(7)式与(3)式等号右边相等,则左边亦相等,既得(8)式,即第二术得证。
“三率比例”的第一种是项氏的第三术,用于求解“知勾与股弦和(较),求股、弦;知股与勾弦和(较),求勾、弦”问题,依等式(9)和(10)即可解答。对于此术,刘彝程结合卷二所讲的和较相乘之理和勾股定理进证明,并未作图。即:根据(x+y)(x-y)=x2-y2,(x>y)可知(c+b)(c-b)=c2-b2.又根据第一术可知c2-b2=a2,则根据等式性质,等式(9)得证。同理,等式(10)也可得证。
从三术证明过程可以看出,“等量代换”代数思想方法暗含其中,第三术还运用了“平方差公式”。这表明,西方代数学知识在清末已经全面传入中国,亦被中国学者深入学习与理解,刘彝程便是一例。
至于第三术与后三术之间联系,刘彝程所讲内容与《勾股六术》相差无几,仅是在讲述时将题目、解法以及每一术如何由第三术得来放在一起,限于篇幅此处不录其具体做法,四术之间的具体变换可参加李兆华的《清代算家的勾股恒等式证明与应用述略》一文。
阐述勾股六术之后,刘彝程指出:勾股和较之术虽明,但其间包含公式繁多,若“一一为之图说,则头绪繁剧,难得提纲挈领”,今思得《测圆海镜》图(即圆城图式)“左宜右有、头头是道”,若于图中增加数线,则可括勾股全义。于是,在卷四下,刘彝程为圆城图式添作四条直线,以一图表示出“十三率勾股形”[22],并给出这13个勾股形十三事之间的等量关系①李兆华称李善兰图中的13个勾股形为“十三率勾股形”,因刘彝程、李善兰图中所指勾股形相同,本文沿用此说法。。刘彝程此举将勾股和较术与勾股测圆术结合,相互映衬,勾股之理更加简单明了。《九章实义》所给之图如图3所示,现根据《九章实义》中的描述,整理“十三率勾股形”十三事之间的等量关系见表1。
表1 “十三率勾股形”十三事之间的等量关系Tab.1 T he equivalent relation between the thirteen events of 13-rate pythagorean
从表1可知,每一个勾股形的十三事分别与13个勾股形的某一事(其中,△EUK和△CGU是添作GU线后构成的,圆城图式中原本没有)相等,即通勾股形(△CAB,简称“通”,后文其他勾股形也均用其简称)的十三事分别与13个勾股形的弦和和相等,边(△DAY)的十三事分别与13个勾股形的股弦和相等,……叀(△OXY)的十三事分别与13个勾股形的股弦较相等。以通勾股形为例,它的弦和和即其自身的弦和和,剩余十二事则分别与剩余12个勾股形的弦和和相等,即通的股弦和、弦较和、勾弦和、勾股和、弦、股、勾弦较、股弦较、弦较较、勾、弦和较、股弦较分别与边(△DAY)、大差(△EAW)、底(△FVB)、合(△CGU)、极(△HVY)、高(△IAV)、明(△JV W)、断(△EUK)、小差(△LXB)、平(△MYB)、虚(△NWX)、叀(△OXY)的弦和和相等。其余勾股形之间的等量关系类似,此处不再赘述。此外,刘彝程还总结出十条比较特殊的等量关系,即上表中的“识别要义”。
在刘彝程之前,李善兰也曾为圆城图式添作直线[20],其中一条直线与图3中的GU线相同。虽然,刘、李二人添作此线的目的都是为了在同一图中表示“十三率勾股形”,但两人添作的其他直线不同。李善兰图中还有方边、半径和中垂线,因无必要文字说明,此三种线的作用不明[21]。刘彝程添作的其余三条直线来源于图4,此图是他在讲解勾股形的十三事时所给之图(图中表示出的“勾、股”等线段为截取,其他线段为计算所得),其目的是为了在图中构造全等勾股形(如△LXB和△STB,△MYB和△RHY,△RVH和△HUZ等),进而使十三率勾股形十三率之间的相等关系更加明确。
图3 十三率勾股形表示Fig.3 Shisanlv pythagorean’s expression
图4 勾股和较关系Fig.4 Gougu hejiao’s expression
除表1中的等量关系外,十三率勾股形还彼此相似,因此各勾股形的十三事也相应成比例。刘彝程认为“《测圆海镜》以天元御句股,诚能钩深索隐、变化万千”,但“治天元者,往往恃其灵妙,而贵惜其心思,遂沉溺其中、几至废本,法为不足道”,为“使学者知天元外、自有本法不可偏废”,他将勾股形之间的等量关系与比例关系相结合,选《测圆海镜》中部分算题作为卷四的附卷,借助比例算法一一求解。
刘彝程给出勾股容圆、勾上容圆、股上容圆等10道题目的解法基本相似,前3题每题两法如下:
通三和∶倍通股=平三和∶倍平股;通三和∶倍通勾=高三和∶倍高勾。
边股弦和∶倍边股∶平股弦和∶倍平股;边股弦和∶倍边勾∶高股弦和∶倍高勾。
底勾弦和∶倍底股∶平勾弦和∶倍平股;底勾弦和∶倍底勾∶高勾弦和∶倍高勾。
可以看出,每题均是以两个勾股形对应之事相比,前两率为已知勾股形之事,第三率根据十三率勾股形之间的相等关系可得,第四率则为容圆直径。除题中所给两法,在保证四率中有一率为容圆直径的前提下,对应变换一、三率或二、四率均可求解。如勾股容圆之法还可以是:
通勾股和∶倍通股=平勾股和∶倍平股;通三和∶倍通弦较和=大差三和∶倍大差弦较和。
刘彝程仅给出求解“倍平股”“倍高勾”两法,一方面是因为此类题目在选题讲解的最开始,对于读者而言,“倍平股”“倍高勾”可直观感受到它可代表直径;另一方面,在刘彝程看来,“引导”读者发现算法的立法之原比直接告诉读者算法有什么更重要,唯有亲自推演算法之间的关系,才可算是对算法真正的理解。此外对于所给条件非同一勾股形之事时,可根据表1中的相等关系,将之转化至同一勾形中求解即可。
4 结语
综上所述,《九章实义》内容丰富,不仅以比例方法讲解了“九章”所涉及的内容,还介绍了开方、方程等适用于某类算题的方法,并在比例思想指导下将勾股和较术与勾股测圆术相结合,以一图总括勾股全义,使两术之算理简单明了。通过对《九章实义》内容的详尽分析可以看出,此书并非是对已有数学知识的重组,它不仅讲解方式独特,其中也有不少刘彝程在知识上的创新,应引起学者们的重视。