幻方的世界——唐朝和元明时代的中国与幻方知识的流传

郑德长

（复旦大学 文史研究院，上海200433）

幻方是一类数字方阵，其各行各列及主对角线的数字之和相同。它不仅吸引数学家，而且是流行于欧亚的“世界性”文化。李约瑟率先指出，已知最早的三阶幻方是中国人的“九宫数”，它的出现不晚于汉代［1］。1969年，卡曼（S.Cammann）研究伊斯兰和印度的幻方，揭示出它们与当地信仰之间的联系，并且梳理出幻方的传播路线：公元9世纪以后，幻方自中国传至伊斯兰世界，进而从后者出发，在11－16世纪传入印度和欧洲［2］。但这一路线与中国相关的两个重要环节尚不清晰。第一，究竟是在怎样的背景下，幻方从唐代中国传播出去？值得一提的是，在另一篇专门讨论中国幻方的文章里，卡曼认为“九宫数”知识在唐代走向没落［3］。一种“衰落”的知识却能走向世界，这似乎有悖常理。由于科技史学者的论述大多讨论南宋数学家杨辉的《续古摘奇算法》及其以后幻方在中国的发展［4－7］，因此迄今并没有人尝试解答卡曼带来的这个疑问。第二，公元11世纪以后逐渐发展成熟的伊斯兰幻方，是否也影响了中国？卡曼推测杨辉受到了前者的影响，而这一点后经考证是难以成立的①关于杨辉是否受到伊斯兰幻方影响的讨论，参见文献［17］。。事实上，1956、1969和1998年，在陕西西安市的元安西王府遗址、上海的明陆氏家族墓葬和河北张北县的元中都遗址，相继发现了阿拉伯数字幻方，给这一讨论增添了新史料。当时卡曼未能获悉中国的发现，而国内学界对这些出土幻方的讨论，过多关注上面镌刻的东阿拉伯数字和幻方的数理结构，忽视了卡曼的研究［8－14］。仅有少数学者在提及元明出土幻方时参考过卡曼的研究，但是比较简略［15－17］，更没有在此基础上，深入讨论出土幻方在知识传播史上的意义。

本文集中讨论唐代“九宫数”知识的流传背景与元明出土幻方的伊斯兰知识渊源，以期在幻方跨区域传播的背景下，思考古代中国与幻方的流传问题。

1 唐代“九宫数”知识的流传

围绕“九宫数”三阶幻方，中国自秦汉以来已经发展出了多种成熟的术数理论，如卡曼所讲，它从一个古老的崇拜对象，变成了“实用性技术”的一部分。不过卡曼把这当作九宫数知识衰落的原因之一，特别指出，因为预测未来的努力大多会以失败告终，所以与九宫数相关的占卜活动反而会削弱人们对这一知识的信赖［3］70，73－74。 但 实 际 上 ，这 类 占 卜 活 动 层 出 不 穷 ，一 组 数 据 颇 能 直 观 地 反 映 隋 代（581—618）及 唐 代（618—907）初年，两者之间经久不衰的密切联系。据《隋书·经籍志》“五行类”的记录，以“九宫”命名的书籍有19种45卷，其中多数用于占卜；太一式法与遁甲式法是采纳九宫数的占卜法，前者有2种11卷，而遁甲类书籍有55种204卷［18］。可见九宫类和遁甲类书籍成为传播“九宫数”的中坚力量。而且与卡曼描述的情况正相反，九宫数知识在汉唐之间的四百年里，渗透到其他术数传统之中，广泛流行。比如，北朝甄鸾注解的《数术记遗》里出现了“九宫算”［19］，九宫数开始作为一种算学知识，而不是一种神圣象征被加以记录，这本书后来成为唐代算学生的教材之一［20］。又如，隋代临孝恭撰写过《九宫五墓》和《九宫龟经》［21］，两本书的流传情况不详，但说明一部分学习青乌之术和龟卜法的人，接触过九宫数的体系。九宫数也影响了医书。唐初杨上素编撰的《黄帝内经太素》，保存了古本《灵枢》中的一幅九宫图，说明当时的医者对九宫数也不陌生［22］。另外，《隋志》里提到一本《阳遁甲》的作者是“释智海撰”［18］1169，可知民间的僧侣也有通晓九宫数和遁甲术的人。多种知识传统接纳“九宫数”幻方，暗示着受众群体的庞大。

“九宫数”嵌入“实践性技术”的做法，未必会削弱它的神圣性意义。唐代前期，官方曾禁止民间使用九宫类式法，“一曰雷公式，二曰太一式，并禁私家畜”［23］。卡曼指出它标志着人们逐渐放弃使用此类古老的占卜方法［3］75－76。这并不表示人们对之失去信心，正相反，这条禁令反映当时社会上流行九宫类式法的状况，而九宫数的象征意义又如此重要，以至官方不得不严加禁止。唐高宗时期一场围绕明堂的争论，也展现出九宫数在皇帝心目中的神圣意味。明堂是传说中古代圣王沟通天地的神圣建筑，关于它的建筑规制，儒家学者历来有两种观点。一派以郑玄为首，支持《周礼》明堂五室的意见；一派以蔡邕为首，赞同《大戴礼记》里面依照“九宫数”幻方设计明堂的说法。随着郑学在北朝和唐初的兴盛，明堂五室说成为主流。然而，唐高宗执意修建“九室明堂”“下诏造明堂，内出九室样”［24］。虽然因为争议太大，不果而终，但这件事与皇家垄断太一式的命令，都说明唐代还存留九宫数象征君权神授的印象。

唐高宗时期流行于民间的遁甲术，绕过士大夫，直接与唐朝皇帝合作，重新为九宫数的信仰建起新的祭坛。天宝三载（744），唐玄宗在术士苏嘉庆的建议下，在长安城东修建了九宫贵神坛，“五为中，戴九履一，左三右七，二四为上，六八为下，符于遁甲。”［25］有学者根据天宝三载十月的敕文“九宫贵神，实司水旱”，强调祭祀的目的是为了祈求风调雨顺［26］。但十月的敕文考虑的是“中书门下往摄祭”，即宰相代替皇帝祭祀的情况，并不能代表皇帝亲自祭祀的全部意义。同年十二月玄宗发布亲自祭祀九宫贵神的敕文，里面提到“九宫所主，百神之贵，上分天极，下统坤维，阴骘生灵，功深亭育”［27］，说明皇帝本人很看重九宫贵神在天、地、人、神之中的独特地位。会昌二年（842）王起、卢就也追述道，九宫贵神“统八卦，运五行，土飞于中，数转于极”，因此玄宗和肃宗两位皇帝“亲祀而臻百祥也”［28］，祈求这种“统八气，总万神”的神灵庇护，应当才是皇帝崇祀九宫贵神的根本目的。玄宗把九宫贵神抬高到仅次于昊天上帝的地位，高于太清宫（尊奉唐帝远祖老子）和太庙祭祀［25］，也说明与九宫数有关的信仰，仍然受到格外关注。

扎根在术数传统中的九宫数，本已有着广泛的社会基础，而官方的支持，也促进了双方间的交流和互动，与九宫数相关的术数知识，成为双方共享的知识资源。唐代“遁甲九星”的提法，是一个典型的例子。宝应元年（762），注解《黄帝内经素问》的王冰曾经提到“遁甲九星”，称“遁甲式法，今犹用焉”［29］。各星的名称同样见于敦煌Дх.02827号文书，这是一件年代较晚的遁甲式法［30］。其中“求天一所在要术”的内容如下：

13.求天一所在要术。四孟之月，夜半天（下缺）

14.（上缺）日□□□一在一宮。四季之月，夜［半］（下缺）

15.者即□一至九，复从一始。天一在一［宫，为天逢星。在］

16.二宫，为天内星。在三宫，为天冲星。在［四宫，为天辅星。］

17.［在］五宫，为天禽星。在六宫，为天心星。在七宫，为天［柱］

18.星。在八宫，为天任星。在九宫，为天央星。［31］

值得注意的是，唐代的“遁甲九星”延续了隋代的《遁甲经》，但是后者称之为“遁甲九神”，其称呼的末尾并没有加上“星”字，因为它们只是居住于北斗破军星、文曲星等星官之上的神祇［32］173－174。隋、唐两代为何会出现这种称呼和理解上的差异呢？唐代涉及九宫贵神的一段讨论或许能给出答案。王起、卢就曾上言：

谨按《黄帝九宫经》及萧吉《五行大义》：“一宫，其神太一，其星天逢，其卦坎，其行水，其方白。二宫，其神摄提，其星天内，其卦坤，其行土，其方黑。三宫，其神轩辕，其星天冲，其卦震，其行木，其方碧。四宫，其神招摇，其星天辅，其卦巽，其行木，其方绿。五宫，其神天符，其星天禽，其卦离，其行土，其方黄。六宫，其神青龙，其星天心，其卦乾，其行金，其方白。七宫，其神咸池，其星天柱，其卦兑，其行金，其方赤。八宫，其神太阴，其星天任，其卦艮，其行土，其方白。九宫，其神天一，其星天英，其卦离，其行火，其方紫。”①引文参见文献［28］。三宫“天衝”，宋刻本与明刻本俱作“衡”，据《旧唐书》卷二十四改。

文中提到的“太一”等九神，出自《九宫经》［32］170，从天宝三年开始就是九宫坛上祭祀的主神［25］。从中可以看出，唐代中后期由于兼采《九宫经》与《遁甲经》两种说法，致使遁甲九神不得不退居“太一”诸神之后，以配星的身份出现。换言之，“遁甲九星”是唐代出现的提法，是《九宫经》与遁甲术合流的产物，这与隋代的情况很不一样。无疑，官方和社会都接受了从“遁甲九神”到“遁甲九星”的改变，这一事实也从侧面反映出唐代遁甲术和九宫数知识的流行情况。

民间的历法知识也开始吸收遁甲术的知识。遁甲术有“飞九宫”之法②关于包括“飞九宫”在内的遁甲运式方法，参见文献［33］的介绍。，“初，九宫神位，四时改位，呼为飞位，乾元之后，不易位”［25］。虽然官方祭祀后来放弃了这种做法，但是它却与王起、卢就所言的“方色之说”相互配合，以年九宫图、月九宫图的形式在敦煌文献里大量出现。现存比较早的一份S.2620号《唐年神方位图》，收录了自大历十三年（778）至建中四年（783）的六幅年九宫图。但这几幅图错误百出［34］，似乎作者对九宫方色和遁甲飞位的技术还十分陌生。至乾符四年（877）以后，年、月九宫图则频频出现在历书中，制作技术也变得成熟起来③比较典型的是唐乾符四年和宋雍熙三年（986）具注历，参见文献［35］。。这充分说明遁甲术在中晚唐经历了一个从陌生到熟悉的过程，逐渐深入至民众的日常生活之中。

遁甲术知识的流传也超越了唐朝疆域。早在推古天皇十年（602），“冬十月，百济僧观勒来之，仍贡历本及天文、地理书，并遁甲方术之书也”［36］，可见遁甲术很早就传到了朝鲜半岛和日本，这与僧人的努力分不开。在唐代确立九宫贵神祭祀之后，遁甲术再次输入日本。日本天平二十年（748）的《写章疏目录》中著录有《九宫》二卷，注曰：“一《推九宫法》，一《遁甲要》”④《正仓院文书·续修》三九帙，转引自文献［37］。，不难发现，与四年前唐朝官方结合《九宫经》和《遁甲经》创设九宫贵神祭祀相似，日本也出现了将两种术数传统合二为一的汉籍。在深厚的民间基础和官方支持的背景下，唐代遁甲术以及九宫数知识完全可能传播至海外。

最后谈伊斯兰幻方与唐代中国的关系。伊斯兰地区较早讨论幻方的学者，一说是长期居住巴格达的塔皮特·伊本·库拉（Thābit ibn Qurra，826—901）［38］，一说是活跃在9世纪末巴格达附近的一批炼金术士团体［2］189。10世纪在通往中国的港口巴士拉（al-Basrah），穆斯林精诚兄弟会（Ikhwān al-Safā’）的学者们编纂了一部《书信集》（Rasā’il），书中记录7个幻方，从三阶到九阶各一个，卡曼发现这些幻方的构造法十分依赖“九宫数”，并且据此推测伊斯兰幻方起源于中国［2］190。巧合的是，8世纪末至10世纪，正是唐朝与黑衣大食（阿拔斯王朝，750—1258）密切交往的时期，这点能够得到汉文史料的印证。贞元年间（785—804），出于共同对抗吐蕃的需要，双方从海路互派使节，商量建立军事同盟的事宜［39－40］。咨访过“四夷之使及使四夷还者”的宰相贾耽，于贞元十七年编撰成《海内华夷图》和《古今郡国县道四夷述》，详细地叙述了从广州至 巴士拉和巴格达的航线⑤贾耽著书事，参见文献［41］。巴士拉，贾耽称“末罗国”，巴格达，贾耽称“缚达城”，参见文献［42］。。根据唐末小说《芝田录》的说法，贾耽也懂得遁甲术⑥原书已佚，收入《太平广记》卷七十八《方士三》。关于本则故事里遁甲术的讨论，参见文献［33］。。故事的真实性存疑，不过提示我们，大食使者在唐代社会遇见通晓九宫数知识的达官贵人，并非毫无可能。此外，生活在广州蕃坊内的大食人，应当也接触过九宫数。大中二年（848）大食国人李彦升进士及第，陈垣先生考订他来自岭南蕃坊［43］。很难想象这位通晓汉文经典的李彦升对九宫数毫不知情。当然大食人考中进士者属于凤毛麟角，但唐代后期的占卜用书、历书上随处可见“九宫数”知识，因此广州蕃客的日常生活，也不免与之发生关联。更何况，当时有不少蕃客“与华人错居，相婚嫁”［44］，通婚的情况十分常见以至于官府明文禁止。因此，包括九宫数知识在内的汉文化由此影响到蕃客，继而进入伊斯兰地区，也不无可能。总之，在更有力的证据出现以前，讨论伊斯兰幻方的起源，仍然难以忽视它的中国背景。

以上说明，卡曼所谓“九宫数”在唐代衰落是不能成立的。术数与九宫数知识的紧密结合，在卡曼眼中是破坏后者神圣意味的罪魁祸首，可实际上这种做法却令它成为一种皇家和百姓日用的知识，反而增进了人们对它的熟悉和信心，像如遁甲术甚至流传到海外。起源于中国的幻方知识之所以能够传播至境外，与这一社会背景密切相关。

2 再论元明考古所见的伊斯兰幻方

10－13世纪，伊斯兰文明发展出带有自身特色的幻方文化。幻方上独特的数字组合在民众眼中具有辟邪护身的功用，而随着蒙古帝国的建立，伊斯兰地区的这种信仰习俗也向东进入中国，于是在大汗与诸王的东方宫殿之下，有时出于厌胜的目的埋藏着幻方板。比如安西王府遗址出土刻有六阶幻方的铁板（图1，a－c）。有学者忽必烈的孙子，第二代安西王阿难答就是一位穆斯林，有学者认为幻方的出现也许与之有关［10］23。但是王府始建于元世祖至元十年（1273），当时在位的是阿难答的父亲忙哥剌，而目前没有找到忙哥剌改宗伊斯兰教的证据［46－47］。大德十一年（1307），阿难答与其堂侄海山争夺皇位，失败被杀。海山即元武宗，偏爱藏传佛教。他即位不久便下令修建中都，而在大殿之下也埋藏了刻在青石板上的六阶幻方（图1，d－f）。考虑到元世祖时期，不少西域色目工匠参与修建宫殿，比如“大食国人”①当时哈里发政权已经灭亡，这里的“大食国”指代的是伊朗地区。也黑迭儿丁家族就曾掌管茶迭儿局（蒙古语“庐帐”），主管营造事务［50］，故而更有可能是工匠们按照习惯放置了阿拉伯数字幻方板，与蒙古上层的个人信仰关系不大。

之后伊斯兰幻方在中国难觅踪迹，直到作为陪葬品出现在明代陆深（1477—1544）的家族墓里（图1，g－i）。这块玉幻方正面刻有清真言，背面刻有四阶幻方，上面的阿拉伯数字字形与元代的幻方差异较大，接近今天的东阿拉伯数码，应当是两者之间的过渡写法［14］79，故而它在明代传入中国的可能性较大。相比元代的幻方，玉幻方上的数码刻写并不规范，如第二行第二列的数字2，上端合口，而标准写法应该是开口的“”；又如数字3的写法应是“”，第三行第一列的刻写却将尾部断开；而第四行第四列的数字15也误刻为12。这种生涩的笔法像是汉人工匠的作品。事实上，正德年间（1506—1521）官窑烧制过不少回文青花瓷器，均有误刻和笔法生硬的特点［51］。而陆深是弘治十八年（1505）的进士，后在翰林院任职，正德十三年（1518）“戊寅，（陆深）奉简命入内书堂，训中官肄习，多所成就”［52］，曾经担任内书堂的教师，教习宦官，而正德皇帝身边的近侍中确实有不少穆斯林，这块刻有清真言的玉幻方或许与宫廷里流行“异教”的风气有关②关于正德时期宫廷里的穆斯林，参见文献［53－54］。另有学者认为玉幻方与泉州丁氏有关，参见文献［13］。。

图1 元明时期中国地区的伊斯兰幻方Fig.1 The three Islamic magic squares in China of Yuan-Ming times

借助卡曼等人对伊斯兰幻方的研究，可从幻方制作技术的角度，更清楚地了解上述三块幻方的知识背景。10世纪精诚兄弟会所编的《书信集》中，展示了后世伊斯兰地区较为常见的两种高阶幻方构造法。一种方法是在一个低阶幻方的周边填充数字构成新的幻方，最早的例子是以“九宫数”为核心构造七阶幻方，但到13世纪初，阿拉伯作家阿尔巴尼（al-Būnī）已经能够熟练利用四阶幻方的内核来构造更大的偶数阶幻方［2］194，206－207。这种通过“内核－镶边”构造的幻方（bordered magic square），又被李俨称为复形纵横图，在当时的伊斯兰地区流行。安西王府出土的六阶幻方，中心位置嵌套一个四阶幻方，正是采用这种手法［9］。

元中都的六阶幻方同样是一个复形纵横图，因此有学者推测它采用了“内核-镶边”的构造法［14］80－81。但元中都与元安西王府的内核幻方有很大不同，前者从右边第一列向左数，依次是（11，26）、（14，23）一直到（18，19）、（15，22）共八组数对，每组数对之和均为37。这种差异意味着元中都幻方的构造也许另有他法。对于六阶幻方而言，倘若将之分割为4个3×3的方格，继而将四部分沿对角线方向两两平移交换，数学上容易证明，新得到的数字方阵依旧是一个幻方。对元中都幻方进行上述“分割－交换”的操作，便会得到一个新幻方，不妨称之为“过渡幻方”（图3步骤③德国学者Hermelink曾认为《书信集》的六阶幻方采用了“内核－镶边”的方法，卡曼提出了有力的反驳意见，参见文献［2］注释23、26。）。不难发现“数对”成为“过渡幻方”里的基本单位。比如，中心的四个小方格由（1，36）、（2，35）组成，而右侧中间的四个小方格，则是（3，34）、（4，33）两组数对。相似的结构也出现在了《书信集》的六阶幻方之中（图2）。

图2 《书信集》中的六阶幻方Fig.2 The magic square of six order in Rasā’il

实际上，《书信集》的六阶幻方另外采用了一种“拼凑数对”的方法③。其原理是先将36个数字首尾两两配对，组成（1，36）、（2，35）一直到（18，19）共十八组数对，每组的两数相加之和均为37。再将6×6的大方格，按照九宫格的样式，划分成9个2×2的方格，然后填入数对。其中（1，36）、（2，35）填入中央的方格，（3，34）至（10，27）的八组数对填入正右、正左、正上、正下四个方格（简称“四正”），剩下的八组数对则填入左上、左下、右下和右上的方格（简称“四隅”）。接下来以“数对”为单位调整数字。中央方格的数字保持不动，前八组数对之间可以互换位置，但限定在“四正”方格之中，而后八组数对之间的调整则限定在“四隅”方格之中。直到各行各列和两条对角线上数字和相同，调整结束，组成幻方。“拼凑数对”法在伊斯兰地区也比较流行，1448年阿拉伯作家图西塔利（SūfīKemal al-Tustarī）还专门讨论过一个用此方法构造的六阶幻方［2］191－193。

鉴于元中都幻方里频频出现“数对”，推测它很有可能采用了与“拼凑数对”有关的构造方法。具体分两个步骤：第一步采取“拼凑数对”法，先构造出一个与《书信集》的六阶幻方结构类似的幻方，即“过渡幻方”；第二步再将“过渡幻方”划分为四部分，进行“分割－交换”操作，便得到今天见到的元中都幻方。图3详细地展示了元中都幻方构造的一种可能方法。这种推测并非定论，仍可探讨。由于元中都幻方是以大幻方嵌套小幻方的形式出现，故而理论上不能完全排除它使用“内核－镶边”法构造的可能性。另外，其他伊斯兰幻方资料里，能否找到利用“分割－交换”操作构造六阶幻方的证据，也是一个尚未解决的问题。但元中都幻方依赖“数对”的构造手法确实有着伊斯兰文化背景。

图3 元中都幻方构造手法推想图Fig.3 The flow process chart to construct the Yuan-Zhongdu magic square

制作技术之外，独特的幻方图式也体现出伊斯兰地区的习俗。由于波斯语和阿拉伯语从右向左横向书写，伊斯兰幻方习惯于将起始数字“1”放在右上角［2］190，而元中都幻方符合这个特点，从这个意义上讲，它的构造要比安西王府的幻方更加“完美”。然而安西王府幻方的图式，却有更为特殊的意义。13世纪伊斯兰地区开始流行一种特定的四阶幻方，以之为基础稍作变换，可以推演出全部的880种四阶幻方，因此它被视为生命力的象征，近东的学者把它命名为“柏拉图幻方”［2］202－203。安西王府幻方的内核四阶幻方，以及明代陆氏家族墓地的玉幻方，正是“柏拉图幻方”［17］54。19世纪英国学者在印度本地学者的帮助下，翻译了一部记录印度穆斯林习俗的书籍，其中“柏拉图幻方”变成了驱魔仪式中的神符（图4），它还有一个别称“ujjul”，是乌尔都语的死亡之意［55］。虽然难以确定明代墓葬里使用的“柏拉图幻方”，是否与印度穆斯林的做法类似，也有与“死亡”相关的寓意，但可以肯定的是，从近东地区到波斯，再到中国和印度，围绕着“柏拉图幻方”及其信仰存在着知识传播的脉络，而中国则是这场知识交流里一个不可忽视的参与者。

图4 印度驱魔仪式中的“柏拉图幻方”Fig.4 The Plato magic in the Indian Exorcism

3 结论

古代文明之间的交流互动促进了知识信息的跨区域传播。既有如佛教东传、阿拔斯王朝翻译运动和文艺复兴等大规模活动，也有如幻方一样，润物无声般渗入生活、仪式和信仰的文化细节。本文认为，世界多个文明中均能找到幻方的踪迹，是文明交往历史中一系列事件造就的结果。

位于欧亚大陆东端的古代中国在幻方知识的传播中发挥了独特作用。发端于中国的“九宫数”知识蔓延至其他文明是启动这一事件的关键环节，这与相关的术数知识在唐代得到发展有着密不可分的关系。尤其是遁甲术在唐代得到了官方和民间的广泛支持，这一时期正是唐朝辐射力远播海外的时代。蒙元时代以后进入中国的伊斯兰幻方也十分引人注目。它表明，在伊斯兰幻方深刻影响印度和欧洲的同时，13至16世纪还存在着一条向东进入中国的传播路线。元明出土的伊斯兰幻方，其构造技法和蕴含的意义都有着深刻的伊斯兰文化背景。上述事例说明，幻方作为一种知识的纽带，见证了古代中国与欧亚其他文明之间历史悠久的文化联系。