集值广义强向量拟均衡问题系统解的存在性

万明燕， 陈剑尘， 熊昀暄

（南昌航空大学 数学与信息科学学院，南昌 330063）

引 言

广义的强向量拟均衡问题是现今非线性规划领域中十分热门的问题。均衡问题与博弈论、力学与物理、经济学、运筹学、变分不等式、优化与控制问题等学科密切相关。常见的向量变分不等式问题、多目标均衡问题以及向量均衡问题等均为广义强向量拟均衡问题系统的一些特例。目前，对于均衡问题系统解的研究也得到了许多学者的广泛关注。

文献[1]通过利用Brouwer 不动点定理，分别在有限维和无限维框架下建立起不具单调性的均衡系统问题解的存在性。文献[2]在较弱的锥连续条件下，利用推广的极大元定理，建立伪单调映射广义向量拟均衡问题系统的有效解与强解之间的联系，并证明两类解的存在性定理。文献[3]在广义凸空间上利用不动点定理证明了满足集值映射类上半连续性条件解的存在性定理，并推导出解的存在性的一些新结论。文献[4]利用广义Fan-Browder 不动点定理，得到了拓扑向量空间中隐式形式多值向量均衡问题解的存在性定理。文献[5]利用KFG 不动点定理得到了集值广义强向量拟均衡问题解的存在性定理。文献[6]利用极大元定理得到了单值广义向量拟均衡问题解的存在性定理。文献[1-6]有的研究单值有的研究问题解，本文受到文献[5-6]的启发，将单值推广到集值，将问题解推广到系统解。

1 预备知识

2）称F在点x∈X处是下半连续的，若对Y中的任意开集V，有F(x)∩V≠∅，则存在x的开邻域N(x)⊂X，使得∀x′∈N(x) ， 都有F(x′)∩V≠∅；

3）称F在点x∈X处是连续的，若F既是下半连续的又是上半连续的；

4）F是上半连续，且是闭值的，则称F是闭映射；

5）若Gr(F)={(x,y)∈X×Y:y∈F(x)}是闭集，则称F是闭映射。

注1.2[9]设X,Y为拓扑线性空间，F:X→2Y是集值映射，F(x)是紧集。

2）F在点x0∈X处下半连续当且仅当对任何的y0∈F(x0)以 及X中 任 何 网 {xα}， 若 满 足xα→x0，则Y中的网{yα}且yα∈F(xα)， 使得yα→y0。

定义1.3[10]设D为Y的凸子集，g:D→2Z为给定集值映射。称g在D上为C−拟 凸，若任何的z∈Z，集合 {u∈D|z−g(u)⊂C}为凸集。

引理1.4[8]设X,Y为拓扑线性空间，F:X→2Y是集值映射。F是上半连续且具有紧值的当且仅当F是闭映射。

引理1.5[11]（KFG不动点定理） 设X,Y是实局部凸H ausdorff 拓扑线性空间，A⊂X是非空紧凸子集。若G:X→2Y是上半连续的，且 ∀x∈A,G(x)是非空闭凸子集，则G在A中有一个不动点。

2 集值广义强向量拟均衡问题系统解的存在性

定理2.1 ∀i∈I，Xi，Yi，Zi为 实局部凸Hausdorff拓扑线性空间，Di⊂Xi,Ki⊂Yi为非空的紧凸子集，Ci:D→2Zi为闭映射，并假设

（i） ∀i∈I，Ti(·)在D上是上半连续且具有非空紧凸值；

（ii） ∀i∈I，Si(·)在D上是上半连续且具有非空闭凸值；

（iii） ∀i∈I，Fi(·,·,·)在Di×Ki×Di上是下半连续的；

（iv）对任何的 (x,yi)∈D×Ki，Fi(xi,yi,xi)⊂Ci(x)，对∀ui∈Si(x)，Fi(·,yi,ui)在Di上 为C−拟凸的。

则存在x∈D， 对 ∀i∈I，xi∈Si(x)，存在yi∈Ti(x)，使得

Fi(xi,yi,ui)⊂Ci(x),∀ui∈Si(x)

即集值广义强向量拟均衡系统问题有解。

证明： 利用KFG不动点定理证明该定理，证明分为以下五步：

（I） ∀(x,yi)∈D×Ki,定义集值映射Ai:D×Ki→2Di如下：

Ai(x,yi)={vi∈Si(x):Fi(vi,yi,ui)⊂Ci(x),∀ui∈Si(x)}

由条件（iv）有Ai(x,yi)非空。

（II）接下来证明Ai(x,yi)是闭集。

接下来证明vi∈Ai(x,yi)。

注2.1 定理2.1 为文献[5]中定理3.1 的推广。

3 结 论

本文在 H ausdorff局部凸拓扑线性空间中，利用KFG不动点定理，在一定的凸性和半连续性的条件下，得出集值广义强向量拟均衡问题系统解的存在性。