摩擦曲面隔震结构动力学模型及地震响应分析

何文福，侯雨晴，潘 宁，刘文燕，方贝舒

(1. 上海大学土木工程系，上海200444；2. 浙江省建设工程质量检验站有限公司，浙江，杭州310012)

基础隔震技术通过在建筑物或构筑物底部与基础之间设置隔震装置，降低结构自振频率，使得结构地震响应减弱，此技术已被证明是极其高效的抗震手段[1−6]，目前已经在多种建筑物及构筑物上广泛应用。经过许多学者的研究，目前在基础隔震的分析理论、计算方法、工作机理等方面已经取得较为显著的成果。

基础隔震常用的隔震装置包括普通叠层橡胶支座和摩擦滑移支座等。其中普通叠层橡胶支座[7]抗拉能力不足，在三向地震作用下支座易发生提离导致建筑倾覆[8]，因此限制了普通叠层橡胶支座在高层结构中的应用。而摩擦滑移支座虽然具有优化受力的效果，但该体系恢复性能较差，所以存在位移超限的问题，需要额外设置限位、复位的装置。本文提出一种摩擦曲面隔震体系，该体系能够有效的减少支座受到的拉应力、提高滑移支座的自复位能力、提高结构在强震下运动的稳定性。

针对普通叠层橡胶支座抗拉能力不足，在超设计基准地震下受拉情况下破坏的问题Nagarajaiah等[9]通过弹簧与橡胶支座组合来提高支座抗拉性能及复位能力；Kasalanati 等[10]采用施加预应力的方式来防止支座受拉破坏；王栋、吕西林[11]提出抗拉的铅芯叠层橡胶支座。针对平面摩擦滑移支座限位的问题，熊仲明等[12−14]对基础滑移隔震结构体系进行了全面的研究，采用聚四氟乙烯为摩擦材料，以U 型带片和圆锥棒为限位装置建造了滑移隔震试点工程；Constantinou[15]对某6层滑移隔震结构进行了振动台试验，表明摩擦滑移隔震结构具有显著的隔震效果；刘文光等[16−17]提出非平整曲面隔震结构的动力模型及响应控制研究，对曲面隔震结构进行了理论研究、数值分析并进行了振动台试验。Hamidi 等[18− 19]提出了曲面摩擦滑移隔震体系，验证了曲面摩擦滑移结构的有效性；Hesamaldin[20]对三摩擦摆支座进行非线性动力分析以确定最优参数；Ahmet等[21]对摩擦摆支座进行非线性时程分析，提出通过隔震周期、屈服强度和有效阻尼估算地震响应；Yu 等[22]对三维复摩擦摆支座建立分析模型，研究结构的提离和冲击特性，并结合数值模型算例验证其准确性。

基于以上学者的研究，针对当前所缺少的摩擦曲面隔震的地震模拟验证，本文对摩擦曲面隔震结构实施了振动台试验，验证了该结构的减震性能。推导了摩擦曲面隔震体系单质点双支座模型的运动方程，进行了运动方程的参数分析。并通过数值模拟对摩擦曲面隔震体系的参数进行了系统的分析。

1 摩擦曲面隔震动力分析模型

1.1 摩擦曲面隔震模型的建立

在普通的平面隔震体系中，可将上部结构看作刚体，结构做剪切型运动，结构的变形主要以隔震层的平面运动为主。在本文提出的摩擦曲面隔震体系中，上部结构绕隔震层的曲率中心做往复滑移。

对摩擦曲面隔震结构进行简化分析，将上部结构简化为质量集中于一点的刚体，并引入双支座模型分析支座受力，如图1(a)所示。

图1 曲面滑移隔震体系示意图及受力分析图Fig.1 Schematic diagram and analysisof forceanalysisof curved sliding isolation system

图1 (a)中O为隔震层的曲率中心，R为曲面隔震层的曲率半径，m为结构总质量，集中于质心处，h为质心高度，2a为结构宽度，H为结构高度，α 为初始状态时上部结构最外层柱相对于隔震层的倾斜角，µ为隔震层的摩擦系数。在地震作用下，上部结构整体绕着曲面隔震层的曲率中心做摆动，其力学模型进行了如下假定：

1)上部结构视为刚体，总质量m集中于质心处，形成单质点模型；

2)单质点模型仅有一个转角自由度，结构的下部支撑滑块与滑移面曲率半径相同，两者始终紧密接触且可自由滑动，材料的摩擦系数取为µ。

1.2 摩擦曲面隔震模型的动力方程

针对上述摩擦曲面隔震结构建立动力方程，其简化的单质点双支座摩擦曲面隔震结构的受力分析图如图1(b)所示，图中J为结构相对于质心的转动惯量，θ 为结构对于隔震层产生的相对转角，x为质心相对于地面的水平位移，由于转角很小，在直角坐标系下，可对竖向惯性力做简化处理。设ẍg为水平向地震加速度，以X轴正向为正，逆时针旋转为正。令r=R−h，x=rθ，λ 为结构高宽比，N为滑移面作用于滑块的压力，f为摩擦力，则：

由式(1) ～式(4)得到单质点模型的动力方程为：

式(5)中各参数如下：

同时隔震层曲率半径R,结构高宽比λ 和倾斜角α 间满足以下关系：

对式(5)进行数值求解可以得到摩擦曲面隔震结构单质点双支座模型质心处的加速度、位移响应以及支座压力。

2 摩擦曲面隔震结构支座受力分析

由于θ 是一个微小量，sinθ 接近0，对式(5)进行拉普拉斯变换得：

将iω代替传递函数中的s，化简可得位移传递函数：

地震作用下，假定隔震层为圆周面，对比摩擦平面隔震结构与摩擦曲面隔震结构，由图1 (b)受力分析图所示，对于摩擦平面隔震结构，由ΣMB=0得：

对于摩擦曲面隔震结构，取左侧轴力为N2，上部结构转动θ 角后，对B点取矩得：

假定上部结构宽度2a，结构高度H，质心高度h，隔震层曲率半径R以及上部结构与隔震层初始倾斜角α 之间满足式(13)～式(15)。

其中：N1、N2分别为平面隔震和曲面隔震的支座压力。由式(25)可知，当上部结构与隔震层之间初始倾角α，结构高宽比λ，结构动力输入系数β 与转动角度θ 间满足一定条件时，曲面隔震层上支座轴力小于平面隔震层。图2给出了动力输入系数β 和高宽比λ 对曲面与平面轴力之比随宽径比a/R的变化关系的影响曲线。

图2 不同条件下轴力比与宽径比的变化关系Fig.2 Variation of axial force ratio and width-diameter ratio under different conditions

由图2(a)可知，当动力输入系数β 为0.2 时，a/R=0即曲率半径趋于无穷大时曲面隔震支座的轴力与平面隔震相同，当宽径比大于0时N1/N2大于1，曲面隔震优化了支座受力，并且对轴力的优化效果随着上部结构高宽比增大而增大。

由图2(b)可知，对于高宽比一定的结构，当高宽比λ 为4时，曲面隔震层与平面隔震层的轴力在曲率半径趋于无穷大时相等，且当宽径比大于0时总有N1/N2＞1，轴力比随动力输入系数β 的增大而减小。

3 摩擦曲面隔震结构的振动台试验

3.1 试验目的

为了深入研究地震作用下摩擦曲面隔震结构隔震层及上部结构的运动形态，验证前文提出的摩擦曲面隔震体系力学模型的正确性，将摩擦曲面隔震层按照一定曲率半径设计，置于钢筋混凝土框架剪力墙结构下方进行振动台试验。结合振动台性能分别对摩擦平面滑移隔震结构和曲率半径为13 m 和25 m 的摩擦曲面隔震结构进行峰值加速度为0.3g和0.6g地震波单向作用下的振动台试验。

3.2 试验概况

原型结构为4层钢筋混凝土带局部剪力墙的框架结构，底面长边尺寸为23.5 m，短边方向尺寸为22.6 m，总高度为24.25 m，模型质量为350 t，根据振动台试验条件进行缩尺模型设计，缩尺模型与原型结构的相关几何特性及动力特性相似关系如表1所示。

表1试验模型的动力相似关系Table1 Dynamic similarity relationship of experimental models

振动台上部结构与原型结构相同，为4层钢筋混凝土带局部剪力墙的框架结构，缩尺模型长边方向尺寸为2350 mm，短边方向尺寸为2260 mm，总高度为2425 mm，模型总质量为3.5 t，如图3所示。结合模型框架尺寸，考虑合理范围内隔震层倾斜角度，制作了平面以及2种不同曲率半径的滑块和相对应的轨道，其中曲面滑块及轨道的曲率半径分别为13 m、25 m。滑块与轨道接触面选用的摩擦材料为聚四氟乙烯，轨道材料选用Q235钢。聚四氟乙烯在25℃的承压能力为12.6 MPa，本试验模型质量为3.5 t，按照聚四氟乙烯极限承载能力设计需要2700 mm2的滑块接触面积，考虑到结构总体的稳定性故将支座滑块的接触面积定为90 mm×100 mm，总接触面积为4×90 mm×100 mm=36 000 mm2。选用El Centro波、Kobe波作为地震动输入。

图3 试验模型图/mmFig.3 Test model diagram

试验量测系统如图4所示，本次试验采用5个YD型压电式加速度传感器，用于测量台面及上部结构在水平加载方向的加速度响应，其中台面，框架的一层、二层、三层和顶层各布置1个。同时采用5个速度传感器测量台面及上部结构各层在水平加载方向的速度响应。在框架的4个支座A、B、C、D(如图3所示)各布置1个三向力传感器。

图4 试验量测系统Fig.4 Test measurement system

3.3 试验结果分析

表2给出了地震激励峰值为0.3g的El Centro波和Kobe 波作用下，曲面摩擦滑移隔震结构与平面摩擦滑移隔震结构的结构响应峰值对比。其中R13工况代表隔震层曲率半径为13 m，由表2看出，Kobe 波作用下结构一层加速度响应最小，三层和五层的加速度响应逐渐增加。R∞工况中台面加速度峰值为3.13 m/s2，一层加速度峰值为1.61 m/s2，加速度放大率为51.4%。R25工况中台面加速度峰值为3.08 m/s2，一层加速度峰值为1.76 m/s2，加速度放大率为57.1%。R13工况中台面加速度峰值为3.13 m/s2，一层加速度峰值为2.76 m/s2，加速度放大率为88.1%。对比三种工况，可知曲面隔震结构加速度响应稍大于平面隔震结构。

如表2所示，在El Centro波作用下R∞工况中结构一层位移峰值为13.93 mm，二层位移峰值为14.49 mm，顶层位移峰值达到16.65 mm。相比于R∞工况R25工况中的位移响应有明显减小，结构一层位移为6.89 mm，二层位移峰值为8.24 mm，结构五层位移为10.06 mm。而R13工况中的每层的位移响应均小于R∞和R25工况，结果表明各层位移峰值随着隔震层曲率半径的增大而增大，R13工况位移响应最小，结构位移峰值差距主要来自一层，曲面隔震层发挥了较好的限位作用。

表2 激励峰值为0.3 g 时结构响应峰值Table 2 Peak structure response at 0.3 g peak excitation

表3所示为在激励峰值为0.6g的三种地震波作用下，不同曲率半径曲面隔震结构与平面隔震结构加速度响应峰值对比。在Kobe波作用下结构一层加速度响应最小，三层和五层的加速度响应逐渐增加，R∞工况中台面加速度峰值为6.04 m/s2，一层加速度峰值为2.88 m/s2，加速度放大率为52.3%。R25工况中台面加速度峰值为6.18 m/s2，一层加速度峰值为2.84 m/s2，加速度放大率为52.4%。R13工况中台面加速度峰值为6.20 m/s2，一层加速度峰值为3.03 m/s2，加速度放大率为52.6%，加速度放大率随着隔震层曲率半径的增加而减小。在Kobe波作用下R∞工况中结构一层位移峰值达到41.45 mm，而R13工况中位移峰值为12.7 mm，R13工况一层位移峰值小于R∞工况的1/3。R25工况中一层位移峰值为17.78 mm，小于R∞工况一层位移峰值的1/2；El Centro波作用下R∞工况中结构五层位移峰值为12.26 mm，而R13工况中位移峰值为24.85 mm，R13工况与R∞工况之间五层位移峰值的差距小于一层位移峰值的差距。综上，各工况中结构从一层至五层的层间位移差别不大，对于结构的各层位移均出现位移峰值随着曲率半径的增大而增大的现象。

表3 激励峰值为0.6 g 时结构响应峰值Table 3 Peak structure response at 0.6 g peak excitation

由图5可知，三种工况下Kobe波和El Centro波作用下结构各层加速度响应随着曲率半径的增大而减小，R13工况中加速度响应最大。由图可知El Centro波作用下，R13工况中结构一层、二层、四层位移响应峰值呈增大趋势，五层位移响应峰值减小，而R∞工况中结构位移响应峰值随楼层增加而增加，五层位移响应峰值最大。Kobe波作用时三种工况下结构位移响应峰值均随楼层增加而增加，R13工况与R25工况中结构一层位移响应峰值之间的差距小于R25工况与R∞工况，而结构五层位移响应峰值差距大于R25工况与R∞工况，这是由于模型结构自身特性引起的。对比三种工况下位移变化情况可知，结构楼层位移响应随着隔震层曲率半径的增加而增加，曲面隔震层发挥了良好的限位作用，并且在结构整体摆动方面由于明显限制了顶层的位移，结构摆动也得到了优化。

图5 激励峰值为0.3 g 时实测结构响应峰值包络图Fig.5 Peak envelope of measured structure when excitation peak is 0.3 g

图6给出了激励峰值为0.6g时El Centro波和Kobe波作用下台面及结构各层实测结构相应峰值包络图。由图可知，结构一层加速度峰值响应最小，三层和五层加速度响应峰值随楼层高度增加而增加，对比三种工况下加速度放大率变化情况可知结构加速度响应峰值随着隔震层曲率半径的增加而减小，结构一层加速度响应峰值在不同工况下差距最小。在El Centro波和Kobe波作用下，R13工况中结构一层、二层、四层位移响应峰值呈增大趋势，五层位移响应峰值减小，而R∞工况中结构位移响应峰值随楼层增加而增加，五层位移响应峰值最大。El Centro波作用下，结构R13工况与R25工况间位移响应峰值差距小于R25工况与R∞工况结构位移响应峰值差距，Kobe 波作用下结构R13工况与R25工况间位移响应峰值差距大于R25工况与R∞工况结构位移响应峰值差距。但可以看出结构位移响应始终随着曲率半径的增加而减小。激励峰值为0.6g地震作用下上部结构的响应变化规律同激励峰值为0.3g时一致。

图6 激励峰值为0.6 g 时结构响应峰值包络图Fig.6 Peak envelope of measured structure when excitation peak is 0.6 g

在激励峰值为0.6g的地震作用下，支座受力响应变化较大，可以观察到不同曲率半径隔震层对支座受力状态的影响。由于R25工况相较于R∞工况曲面特征不够明显，加之轨道滑移面摩擦系数的细微差别带来的影响导致两者呈现出的支座受力效果较为接近，故选择曲面特征明显的R13工况与R∞工况支座受力数据进行对比研究，分析得到的结论可以反映曲面隔震层与平面隔震层对支座受力状态带来的影响。图7以重力平衡位置即8.75 kN 为零点给出了El Centro、Kobe波作用下R∞、R13工况中幅值最大的A 和D支座的受力变化范围对比，图中轴力正值表示支座受到的压力大于重力作用，负值反之。在El Centro和Kobe波作用时的支座A 和支座D均出现了R∞工况中支座压力波动范围大于R13工况的现象，即R∞工况中支座受到的最大压力大于R13工况，最小压力小于R13工况，由此可见平面隔震层支座压力波动范围大于曲面隔震层，曲面隔震层明显优化了支座受力。

图7 激励峰值为0.6 g 时支座受力变化图Fig.7 Changeof bearing force when input acceleration is0.6 g

4 摩擦曲面隔震结构的数值模拟

4.1 分析模型参数选取

对1∶10试验缩尺模型采用MATLAB编制程序进行数值分析，按抗震规范要求采用台面实测波分析。将原模型的上部结构简化为单质点，将隔震层简化为曲面摩擦双支座，在地震作用下，上部结构整体绕着曲面隔震层的曲率中心做摆动，相关参数设置为：曲面隔震层的曲率半径为R，结构总质量为m，集中于质心处，质心高度为h，结构宽度为2a，结构高度为H，初始状态时上部结构最外层柱相对于隔震层的倾斜角为α，隔震层的摩擦系数为µ。将理论推导的动力方程在MATLAB中进行求解，在求解的过程中设置阶跃函数，当其中一个支座的轴力为零时由另一个支座承担重力、摩擦力及模拟地震作用，用以模拟支座提离的极端情况。

4.2 模拟与试验响应对比分析

数值计算采用的是单质点模型，简化的试验模型为四层框剪结构。该结构下重上轻，质心处位于二层楼板与三层楼板之间。为便于对比，取试验测得的接近质心位置的楼层加速度响应近似作为实测结构质心处加速度响应，将振动台试验数据结果与理论对比分析，得到摩擦系数约为0.02，与相关文献[23]中给出的聚四氟乙烯滑板的摩擦系数吻合，故取0.02进行数值分析，对比El Centro波和Kobe波输入下模拟与试验加速度峰值和位移峰值，对比结果如图8和表4所示，模拟与试验结果均呈现加速度峰值随曲率半径的增大而减小，位移峰值随曲率半径的增大而增大的变化趋势。

图8 结构响应对比图Fig.8 Comparison of structural response

表4 试验与数值模拟结构响应对比Table4 Comparison of structural responsesin test and numerical simulation

在验证数值模拟的正确性后，分别选用摩擦系数为0.02、0.06、0.1的模型，分析摩擦系数对结构响应的影响。

4.3 结构响应与摩擦系数相关性分析

选用El Centro波进行分析，地震波输入峰值分别为0.3g和0.6g，由表5所示质心加速度峰值可以得到，当隔震层曲率半径相同时，加速度响应随着隔震层摩擦系数增加而增加，且对摩擦系数较为敏感；当摩擦系数相同时，质心加速度响应峰值随着隔震层曲率半径的增加而减小。由表5中R25工况和R∞工况中位移响应情况，可以看出当隔震层曲率半径相同时，位移响应随着摩擦系数的增加而减小。

表5 不同激励峰值输入下质心加速度峰值/gTable 5 Peak acceleration of centroid under different excitation peak inputs

由图9可以看出，位移响应随着隔震层曲率半径的增加而增加，位移响应随着隔震层摩擦系数的增加而减小。

图9 不同峰值输入下质心响应与R、µ的关系Fig.9 Relationship between centroid response and R, µat different peak inputs

5 结论

本文针对摩擦曲面隔震体系完成了动力模型构建和振动台试验研究，得到主要结论如下：

(1)建立了摩擦曲面隔震体系的动力方程，给出了结构响应传递函数的表达公式，分析了隔震层曲率和上部结构高宽比对支座受力的影响。与摩擦面为平面的隔震结构相比，随着结构高宽比的增加，曲面隔震层的支座轴力减小的越多。

(2)完成了不同曲率半径的模型结构振动台试验，验证了曲面隔震系统对支座轴力和隔震层位移的控制效果，同时也发现上部结构加速度响应有所放大。随着隔震层曲率增大，结构加速度响应增大，支座轴力减小，隔震层位移减小。0.6g峰值加速度作用下，平面摩擦滑移隔震结构支座应力变化范围为7.04 kN～12.44 kN，而摩擦曲面结构的支座应力变化范围仅为8.15 kN～10.1 kN。

(3)进行了振动台试验模型的数值模拟，讨论了不同工况下的摩擦系数影响规律，上部加速度峰值随隔震层摩擦系数的增加而增加，位移随隔震层摩擦系数的增加而减少。