题组，提高数学解题能力的阶梯

江苏省无锡市新吴区春星小学 丁晓丹

一、缘起

以下是“认识公顷和平方千米”教学后的综合练习：

（1）一张邮票的表面积大约是8（ ）。

（2）天安门广场是我国最大的广场，它的占地面积大约是40（ ）。

（3）一张课桌的桌面面积大约是36（ ）。

（4）北京到上海的铁路长度大约是1300（ ）。

据统计，第（4）题只有三分之二左右的学生能够正确辨析。题目本身并不难，但由于受到前三题的影响，不少学生填写了“平方千米”等错解。这充分暴露了小学生所掌握的知识是碎片化的，缺乏结构性，一旦题意稍作改变，就不懂得触类旁通，举一反三。因此，提高小学生数学解题能力显得尤为重要。

在教学中，笔者尝试通过“题组练习”：改变题目的关键语句；改变题目的叙述方式；增加题目的多余条件；对换题目中的问题和条件；优化解题方法，学会多题一解等几个方面帮助学生在对比过程中建构起知识间的联系，从而提高数学解题能力。

二、改变题目的关键语句，分解审题性错误

审题，就是理解题意，理解题目中给予的条件与问题，明确题目的要求。小学生在审题过程中，常见错误有两个：一是不善于审题，不知道审题时应注意些什么，或不理解题中的关键句，或遗漏了题中的隐蔽因素；二是粗枝大叶，忽视题目中的重要条件，从而造成各种错误。

通过改变题目的关键语句，能够引导学生找准题目关键，发现问题，从而曲径通幽，找到解题方法。在设计题组练习的时候，教师可以有意识地替换关键语句或者替换单位名称，提高学生审题能力。

例如，在苏教版数学第九册“多边形面积的计算”这一单元中，教材安排了每份数、份数、总数之间的数量关系与多边形面积计算融合的教学内容。在实际教学过程中，学生出现了很多问题，其中找准题目中的每份数、份数和总数，是一个难点。根据以往的经验，在教学这一内容时，笔者对教材作了以下整合：首先将“份总关系”与多边形面积计算分两课时教学，随后设计了题组练习组织比较、深化：

（1）一块大白菜地的面积是1200平方米，如果每平方米种大白菜8棵，这块地一共可以种多少棵大白菜？

解题思路：1200×8＝9600（棵）。“每平方米种大白菜8棵”说明8是“每份数”，“一共有1200平方米”即1200是“份数”，根据“每份数×份数＝总数”，可知“一共可以种多少棵大白菜”即求“总数”，用乘法。

（2）一块大白菜地的形状是三角形，它的底是80米，高是30米。如果每平方米种大白菜8棵，这块地一共可以种多少棵大白菜？

解题思路：先求得三角形的面积是80×30÷2＝1200（平方米），是“份数”，“每平方米种大白菜8棵”说明8为“每份数”，故求总数仍是用乘法。

（3）一块大白菜地的形状是三角形，它的底是80米，高是30米。如果每棵大白菜占地8平方分米，这块地一共可以种多少棵大白菜？

解题思路：先求得三角形的面积是80×30÷2＝1200（平方米），根据“每棵大白菜占地8平方分米”可知8是“每份数”，而本题中的1200平方米是总数而不是份数，根据“份数＝总数÷每份数”，经过单位换算得120000÷8＝15000（棵）。

这组题组练习，既有递进又有对比。首先，从学生中低年级时学过的最简单的“份总关系”问题入手，帮助学生明确每份数、份数和总数。其次，把关键句“每平方米种大白菜8棵”改成“每棵大白菜占地8平方分米”，帮助学生理解第（1）、（2）题求的是总数，第（3）小题求的则是份数，看似差不多，但本质截然不同。同时，第（3）题还替换了单位名称，使学生意识到单位不统一的问题在图形面积计算中非常常见，更使他们意识到仔细审题的重要性。

在平时的教学中，教师要善于改变题目中的关键语句，帮助学生理解题目的本质含义，分解学生的审题性错误，从而提高学生的解题能力。

三、改变题目的叙述方式，去除知识性错误

知识性错误是指学生对数学概念、原理及规律理解不透、模糊不清而导致的错解。通过改变题目的叙述方式，在对比过程中帮助学生建构起知识体系，去除知识性错误，从而提高学生的解题能力。

例如，在教学了公倍数和公因数的知识后，可以设计这样的题组练习：

（1）把长120厘米、宽80厘米的长方形纸片剪成若干个相等的小正方形，并且无剩余，最少可以剪多少个？

（2）有若干张长12厘米、宽8厘米的小长方形纸片，至少需要多少张这样的小长方形纸片才能拼成一个正方形？

这两题看上去相似，实则不同，关键在于“剪”与“拼”。前者运用的是公因数的知识，后者则是用公倍数的知识。在解题时，教师要引导学生根据题意画图，在交流的过程中，要引导学生对比、辨析，从不同中发现相似之处，巧妙利用数形结合的方法解决问题。

四、增加题目的多余条件，防范推理性错误

推理是由一个或几个已知判断推导出一个新的判断的思维形式。有些学生只根据题目所提供的表面条件做出判断而导致错误。其中很多都是由题目出示的多余条件引起的，题目中增设的条件看似与解决问题有关，实则是多余的信息或是设置的一些与有效信息相似或相近且易于混淆的信息，主要起到干扰和迷惑的作用。

笔者在教学中发现，学生对题目中出现的多余条件几乎毫无抵抗力，在作业中乱用“多余条件”的现象比较严重。

例如，在教学平行四边形面积之后，出示下图，求下面平行四边形的面积：

有部分学生会出现“16×10＝160m2”的错误解题，究其原因是没有找准对应的底和高，被“16m”这个多余条件迷惑了。

所以，在教学“多边形的面积”这一单元时，笔者设计了这样的题组练习：

（1）一个直角三角形的三条边分别是15厘米、20厘米和25厘米，这个直角三角形的面积是多少平方厘米？

（2）一个平行四边形相邻的两条边长分别是16厘米和20厘米，它的一条高是18厘米，这个平行四边形的面积是多少平方厘米？

解题时，教师要引导学生仔细分析，可以通过画图等方法找出无意义条件，找到有效信息，弄清楚问题的因果关系，进而突破难点。教师在设计这样的题组练习时，一定要突出题组的“异”与“同”，重视对比与辨析，把握题目的本质，提高学生的解题能力。

五、对换题目中的问题和条件，化解记忆性错误

遗忘某一知识，或将某一知识与另一知识的记忆相混或记错，结果由记忆混淆而错解的现象即为记忆性错误。解题时对换题目中的问题和条件不是为了找到答案，而是为了培养学生多角度地看待问题的习惯。对换题目中的问题和条件会在一定程度上增加题目的难度，但可以拓展学生的思维。教师在设计这类题组练习时，可以先顺着学生思维设计，然后抽取某个已知条件和结论进行对换，培养学生的逆向思维能力，借此提高学生的解题能力。

例如，在教学了梯形的面积计算后，可以设计这样的题组练习：

（1）一块梯形玻璃，上底是118厘米，下底是132厘米，高是160厘米。这块玻璃的面积是多少平方厘米？

（2）一块梯形玻璃，已知上底是118厘米，下底是132厘米，这块玻璃的面积是20000平方厘米，这块玻璃的高是多少厘米？

这两个问题的解题依据都是梯形的面积公式，看似差不多，但由于第（2）题是梯形面积公式的逆运用，学生理解起来难度很大。这就要求学生能准确地回忆梯形面积的推导过程：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，平行四边形的底等于梯形的上底加下底，平行四边形的高等于梯形的高，因此，梯形面积等于拼成的平行四边形的面积除以2。反之，已知梯形面积，乘2就表示拼成的平行四边形面积，再除以梯形上、下底之和就能求得梯形的高。通过对换题目中的问题和条件，就能顺利化解学生的记忆性错误。

六、总结优化解题方法，学会多题一解

在平时的数学解题中，优化后的方法只有一种，那就是经典方法。经典方法是后续知识方法学习的基石。在进行了一系列题组练习，学生基本掌握了“读题”“画图”“数形结合”等数学方法后，教师就要逐步引导学生归纳经典解题方法，学会“多题一解”。

例如，在学习了公倍数的知识后，可以设计这样的题组练习：

（1）8路车每隔8分钟发一次车，12路车每隔6分钟发一次车，在某一时刻这两路车同时从一个车站发车，至少再过多少分钟这两路车才又同时发车？

（2）用一种长20厘米、宽16厘米的长方形地砖拼成一个正方形，正方形的边长至少是多少厘米？

（3）同学们训练广播操。每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且没有多余的学生，请问至少有多少人参加广播操训练？

这三题看似毫不相关，实质都是求几个数的最小公倍数。

“解决问题的策略”和“找规律”这部分知识尤其适合设计“多题一解”题组进行思维训练，培养学生的解题能力。

《国语·郑语》有云：声一无听，色一无文，味一无果，物一无讲。意思是说：一种声响不成音乐，没有听头；一种颜色不成文采，没有看头；一种味道不成美食，没有吃头；一种事物没有比较，没有说头。同样的，碎片化的教学内容太过单薄，没有对比，谈何深刻？因此，对学习内容进行“结构化”设计尤为重要：给学生创设具有适度挑战性的问题情境，借助题组练习带领学生走好数学学习过程中关键的每一步，教师有结构地教，学生有关联地学，才能帮助学生丰富感知、加深理解，从而提高数学解题能力。