图像表征：让数学教学与儿童理解并轨

南京大学教育研究院、江苏省南京市东山小学 李一婷

美国教育心理学家和教育家杰罗姆·布鲁纳从心理学角度研究个体智力发展的特点，把儿童认知的发展分为三个阶段：动作性表征阶段、映象表征阶段、符号表征阶段。其中小学一至四年级的儿童（6~10岁）正处于映象表征阶段，而五、六年级的儿童（11~12岁）处于映象表征向符号表征的过渡阶段。因此，众多学者倡导在教学中遵循直观性原则，将知识可视化，把抽象的内容转变为易于理解的图形或图像。

反观我们数学教学的现状：大部分数学教师都认为数学是一门严谨而又系统的学科，因此常常忽视了儿童的心理特点和已有的数学活动经验，试图“成人化”、系统化地将数学知识完整地呈现在学生们的面前，对他们的奇思妙想、异想天开并不在意。这种现象越到中高年级越明显，有时甚至连教材也不经意地拔高了教学要求。因此，基于儿童的认知特点，聚焦图像表征——将抽象化的信息以图像的方式（含配适当的文字）集中呈现出来，让数学教学与儿童理解并轨就显得尤为重要。

一、图文转换，看“图”启“思”

我国教育家从古至今就倡导将知识转译成图形进行传播。早在两千多年以前，我国教育家荀子就倡导“不闻不若闻之，闻之不若见之”“闻之而不见，虽博必谬”，强调直观经验的重要性。我国古代的教材中也蕴含着图像表达知识的思想，如明朝的《蒙养图说》、清朝的《字课图说》都是图文结合的教材。现在我们使用的小学数学教材中的图像素材数量众多，以鲜明的色彩、丰富的数学情境，生动形象地呈现着学习内容。但仍有一小部分学习内容相对抽象，仅用文字语言来叙述呈现，难免会阻碍学生对数学信息的提取和对数学知识的理解。因此，教师可以适时地进行图文转换，以此来启发学生的思维。

例如，在“用字母表示数”这一课中，教材用文字的形式呈现了例题（见图1），教学的要点有三个方面：初步学会用字母来表示数和数量关系，结合具体情境思考字母的取值范围，代入取值。在教学中，笔者发现学生对字母b的取值范围理解存在困难，同时不能很好地体会“已经行驶的路程”和“剩下的路程”之间的联系。那么，在教学中针对这样的现象，教师可以有意识地改变例题的呈现方式（见图2），用图像来取代抽象的文字语言，也可以借助多媒体技术来动态地呈现三幅图，让学生感受随着“已经行驶的路程”的变化，“剩下的路程”也在变化着，但两种数量的总和是不变的，因此，b的取值范围在0千米~280千米。

二、改编素材，以“图”引“理”

教育学家对教科书图像的教学效果进行了研究。1979年，Willows Dwyer的分组实验研究得出结论：纯文字性教科书和纯插图性教科书的教学效果没有显著差异，并且效果都不太理想，相比较而言，插图与文本结合的教科书阅读的效果要好得多。在小学阶段，尤其是低年段，图像占据了学生数学学习的绝大部分，大约有97%的例题配有插图。作为教师，不但需要利用好这些教材的原有图像，更要根据自己的教学实际情况做相应的调整，用心编排图像素材，以实现高质量的教学效果。例如，现行小学数学教材的版面通常为竖版16K大小，在编排时，编者除了从数学需要的角度考虑内容和图像的选择，还往往会受到页面呈现方向和大小的限制。教师在教学时就不能机械地照搬教材的呈现方式，而应考虑学生学习的实际情况，灵活机动地做出调整。

例如，在“两位数加两位数（不进位）”一课中，教材借助图片和算式呈现了三种不同的计算方法（见图3），分别是摆小棒、拨计数器、列竖式，先是横向呈现了摆小棒和拨计数器这两种较为直观的方法，而后另起一行呈现了列竖式的方法。按照这样的呈现形式，在教学时教师通常分为两步：先引导学生用小棒摆或拨计数器计算，这认为是学生已有的、能自主探索的方法；再教学用竖式计算，这通常认为是学生未知的、需要教师传授的方法。但在教学活动中，我们常常发现，对于一年级的学生来说，列竖式计算并不能算是未知的新方法，绝大部分学生都会用竖式计算，而且最先想到的方法也是列竖式，但大部分学生并不理解为什么要这样列竖式计算，同时对摆小棒和拨计数器的方法不重视。事实上，对于学生来说，这三种方法并没有新旧之分，还有着密切的关联，它们三者之间有着本质的共同点：相同数位相加。如果用割裂的眼光去实施教学，学生对算理的理解和对算法的归纳就无法深入下去。

因此，教师可以对教材做出如下改编（见图4）：三种方法竖排展示，用不用颜色的区域标出相应的区域，如用蓝色突出“十位”，橙色突出“个位”，在教学时促使学生对三种方法进行纵向对比，直观地感受三种方法的共同本质，便于学生抽象和归纳两位数加两位数的算理和算法。

三、设计活动，画“图”表“义”

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，要重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。图像表征正是将复杂抽象的数学知识转化为直观形象的图像进行呈现，在教学中，教师要鼓励学生变“说”为“画”，自主尝试用图像进行自我认知表征，促使内隐思维外显，这样有助于教师理解学生，从而有针对性地开展教学，同时也有助于学生清晰掌握思路，有效培养学生的符号意识和抽象思维。

例如，在“分数的意义”一课中，抽象的“单位1”对于学生来说既难以理解也无法清晰地表达，因此，在教学中笔者设计了两个活动帮助学生理解单位“1”，促使学生隐形的、内在的思维活动显性化，让思维可“视”，从而使分析有“迹”可循。

一是“看数补图”。在初步接触单位“1”时，教材是这样安排的（见图5）：首先，要求学生用分数表示各图中的涂色部分，并说说每个分数的含义。由于学生在三年级时就已经初步认识了分数，并且对这些图例也极为熟悉，因此，都能准确地填出分数并说出每个分数的含义。其次，教材引出了单位“1”的概念，同时让学生思考下列分数分别是把单位“1”平均分成了几份，又表示了这样的几份。在这个过程中，学生被动地认识了单位“1”，机械地进行了概念的记忆，似懂非懂，并没有真正了解单位“1”的意义。为了引导学生更好地理解单位“1”的意义，在教学时，笔者给出了具体的分数和不完整的图例（见图6），让学生根据已有的知识经验看分数补出完整的图例，从而揭示加上补出的部分其实就是这个分数的单位“1”，把抽象的单位“1”具体直观地呈现了出来。

二是“看图想数”。在学生对单位“1”有了一定的了解之后，笔者又开展了“看图想数”的活动：看图想出分数，同时用圈一圈的方法表示出所想的分数（见图7）。在这个活动中，学生想的分数不同，圈画方式也就不同，单位“1”和分数所表示的含义也随之不同（见图8），从而深化了学生对单位“1”的认识。小小的示意图，外化并折射出学生不同的思维线索、路径和水平，给教师教学提供了有力的支撑。

综上所述，图像表征是学生数学学习的一种重要方式，它不仅符合小学阶段学生的认知发展特征，更能将抽象的知识具体化、直观化，有效提升学生的数学理解。在实际教学中，教师要善于图文转化，以鲜明直观的图像来呈现学习内容，以“图”来启发学生思考；还要适当改编素材，灵活运用教材的图像，以“图”引发学生理解；更要精于设计，诱发学生以“图”进行自我认知表征，从而让数学教学与儿童理解并轨，让数学学习焕发出不一样的“色彩”！