缜密思考，启迪智慧，巧妙假设，破解难题

熊家昌

摘 要：小学数学题题型多，解题方法多而灵活，在避免盲目刷题的前提下，数学题是锻炼学生思维的好素材。就解题方法而言，假设法是一种重要的方法。文章以几道小学典型应用题的求解来阐述假设法在小学数学问题求解中的应用。

关键词：数学题;解题方法;假设法

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）11-0073-02

例题一：一件工程，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要30天。现在甲、乙两人合作， 乙中途休息了若干天，到完成工程时用了16天，求乙中途休息了几天？

简析：本题进行合理化假设（可理解为“题述情况未发生”），即假设“中途无人休息”（ 因该假设总工作量大于1而似悖于常理但不影响问题的求解，这恰显假设法的巧妙之处），则由假设情况下所完成的总工作量减单位“1”，再除以请假者的（工作）效率，即求出其中途休息天数。即本质上，这一超单位1部分的工作量是由请假者不请假（则）本可完成的。

假设“中途无人休息”这是在求解工程类问题时常可用的一个技巧。本题通过假设避免了设参数，求解过程更加明了。

例题二：学校食堂运回一批粮食，其中大米占粮食总质量的    ，当吃了36千克大米后，剩下的大米占剩下的粮食总质量的    。运回的这批粮食共多少千克？

简析：本题假设“等比例地吃”，由一定（量）的剩下的大米与（两种吃法情况下）剩下的其他粮食的比不同来进行求解。类似问题中也可假设“不同比例” “不同量”为相同“值”来进行求解。本题求解过程灵活运用了比例的思想。

针对性练习题1：A与B两种商品成本共200元，A商品按40%的利润定价，B商品按30%的利润定价，后来销售时各打八五折，仍获利28.65元，问：A与B两种商品的成本各是多少？

提示：假设两种商品均按40%的利润定价，则可先算出A商品的成本;反之，假设均按照30%的利润定价，则可先算出B的成本。对这类经济利润问题利用假设法求解可简化运算（避免了设参数）。

例题三：瓶中装有浓度为14%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和200克的A、B两种酒精溶液，瓶里的溶液浓度变成了12%。已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液浓度是多少？

解：由于后来分别倒入的100克和200克的A、B两种酒精溶液存在质量和濃度方面的倍数关系，易求出它们的混合液的浓度，据此可假设一虚拟的中间（兑制）操作（过程）即将它们先混合，这样本题的求解就变简单了。即假设后来倒入的两种酒精溶液不是直接倒入原1000克酒精溶液，而是这两种溶液先混合，再倒入原1000克酒精溶液。这样对这一中途混合得到的溶液和原1000克酒精溶液的浓度，运用十字相乘法即可快速求出答案。

在求解溶液相关问题的常可合理假设一中间配制（兑制）操作，使问题明朗化，且常可从这一中间配制（兑制）操作得到的溶液顺藤摸瓜，避免一叶障目。假设法往往巧在假设，准在推导，难在（解答时）准确、到位地表述。用十字相乘法解题是一种重要的方法。

针对性练习题：有酒精含量为50%的酒精溶液若干，加了一定量的水后稀释成酒精含量为40%的溶液，如果再继续稀释到25%，那么还要加水的量是上次加水量的几倍？

提示：本题基本解法是抓住溶质不变这一特点（抓不变量是一种重要的解题思路。在小学数学解题中抓“变与不变”有时也是解题的关键），利用三种情况下的溶剂间的数量关系求解。但也可假设两个参照的溶液兑制操作进行比对求解。第一个（操作）由含量为50%的酒精若干，加一定量的水稀释成酒精含量为40%的溶液。第二个（操作）由含量为50%的酒精若干，加一定量的水稀释成酒精含量为25%的溶液。对两假想兑制操作而言，对浓度运用十字相乘法可知道50%的酒精和所加水之比分别是4：1和4：4，因此题述兑制过程中第二次加水量是第一次加水量的3倍。本题的求解关键在于（合理）假设了两个相关参照的溶液兑制操作，这使求解更加清晰、快捷。

例题四：如下图，甲、乙两人分别在A和B两地相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走，甲和乙到达B地和A地后立即折返，仍在E处相遇。已知甲每分钟行60米，乙每分钟行80米，求出A和B两地相距多少米。

解：设A和B两地间的距离为S。假设相遇后乙未休息（即题述情况未发生），则经分析可知甲和乙下一次相遇将在EB之间距离E地不远处的地方。而实际情况则是在E处相遇。对甲而言（两种情况的不同之处在于）实际比假设情况多走了8分钟（                    ）才再次遇到乙，所以      =60×8， S=1680米。

简析：本题的常规解法是对两次相遇进行整体分析然后利用比例关系进行求解，计算过程稍难，数学处理略显复杂。用假设法求解则计算简单。用假设法解题，找出假设情况与实际情况不同的原因常是解题的关键。本题的差异之处在于第二次相遇点（位置）改变，原因则为由于乙的休息导致甲（实际比假设情况）多走了8分钟。紧扣此（原因）题目即得解。在行程问题（尤其是两个及以上运动对象背景题型）中，常可假设未发生返回、（中途）停车等情况，推导假设情况导致的相关结果并与实际比较，分析差异原因，近而求解问题。

针对性练习题：甲乙两地的公路长195千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行30千米，中途乙车出现故障，修车用了一小时。两车从出发到相遇经过了几小时？

提示：本题类似例题一的工程问题（其实本质相同），同样地假设乙车未出现故障，则相遇时两车的路程之和为225（即195+30）千米，所以两车从出发到相遇所用时间为225/（45+30）=3小时。对本题而言，合理假设乙车未因故障而耽搁并不影响两车相遇时间（点）。其实本题也可理解为一个以行程问题为背景的工程问题。从本题可看出，小学工程类问题的内容广泛，也包括行程、水管注水等内容。也再次说明小学数学题综合性强，对锻炼学生思维大有裨益。

例题五：一个圆柱体容器内放有一个长方体铁块。现打开水龙头往容器中灌3分钟的水，水恰好没过长方体的顶面，再过18分钟水灌满容器。已知容器的高为50厘米，长方体的高为20厘米，求长方体的底面面积和容器面积之比。

解析：经分析易知本题若设相关参量进行求解则推导过程略显烦琐，但结合等效的思想进行合理假设则经推理可得解。具体来说，由水面恰好没过长方体的顶面后再灌（水）18分钟容器灌满（即18分钟灌圆柱体容器30厘米高的体积），可知若圆柱体容器内没长方体铁块则最初灌（水）的3分钟可管灌圆柱体容器5厘米高的体积，但实际情况是这3分钟灌了内含铁块的圆柱体容器20厘米高（即铁块高度）的体积（产生差异与矛盾），所以（本质上）实际圆柱体容器（20厘米高以下）的“有效底面积”仅为    （即     ），因此长方体的底面面积和容器面积之比为3：4。

简析：本题从题述圆柱体容器20厘米高度（线）上下灌水速度的差异入手，假设圆柱体容器全空来求解问题。诚然，本题也可以这样的思路解：18分钟灌圆柱体容器30厘米高的体积，则圆柱体容器20厘米及以下部分灌满理论上需要12分钟，而实际只用了3分钟，所以这部分的“有效体积”只是    ，因此长方体的底面面积和容器面积之比为3：4。本题求解过程注重演绎推导，计算相对较少。在本题求解过程中，充分运用了“等效”思想，通过假设，进而推导，解题步骤较简洁。

从以上几题的求解可看出假设法的应用场合较多，是一种较重要的小学数学解题方法。其使用比较灵活，常和其他方法（如十字相乘法、比例法）、思想（如等效思想、整体思想）配合使用，使用中根据题目特点巧妙大胆假设往往可以破解难题。其使用更多地依赖于学生思维的灵活性和日常练习积累。因而，在教学中，教师要多示范假设法的运用，引导学生体会假设法解题的思路和步骤。教师可拓展设置循序渐进的练习题，促进学生对方法的掌握。教师还要鼓励学生将此方法用到更多的题型和知识模块中去，提升学科素养。假设法也是求解初中物理电路故障分析和高中动力学问题的重要方法。它还是高中化学计算中常用的思维方法和解题中常用的技巧。因而，小学生学好假设法也可为初高中理科学习打下坚实的基础。

總之，在避免盲目刷题的前提下，适度练习灵活运用各种解题方法求解小学数学题目（包括巧妙、灵活运用假设法解题）对锻炼小学生数学思维大有裨益。教师可通过这些方法提高学生的学科素养和综合能力。

[参考文献]

[1]相 丽.基于“一题多解”，有效落实数学关键能力——以“鸡兔同笼”问题为例[J].小学数学参考，2018（23）.

[2]王姜玲.妙用“假设法” 巧解数学题——用“假设法”解决小学中高年级数学实际问题的策略[J].小学教学研究，2019（27）.

作者简介：熊家昌（1979— ），男，云南宾川人，讲师，本科，研究方向：中学物理教学。