Floquet规范转变诱导拓扑π模产生的理论分析

宋万鸽,祝世宁,李 涛

(南京大学现代工程与应用科学学院，南京 210023)

0 引 言

随着整数量子霍尔效应和量子自旋霍尔效应的发现[1-3]，拓扑绝缘体逐渐引起了人们的关注[4-5]。拓扑绝缘体的能带具有独特的拓扑特性，可以用非平庸的受对称性保护的拓扑序来描述[6-8]。在非零的拓扑序下，拓扑绝缘体在整体上是绝缘的，而在其表面存在着导通的表面态。这种表面态具有单向传输的特点，并且是受拓扑保护的，因此具有背散射免疫的特性，对局部结构扰动和无序表现出较强的鲁棒性。近年来，不同种类的拓扑态已经在各种各样的体系中被发现，包括准晶体[9]、高阶拓扑绝缘体[10]、非厄米系统[11]和周期性驱动的Floquet系统[12]等。其中，在一维拓扑结构中，Su-Schriffer-Heeger(SSH)模型是一个结构简单而内涵丰富的系统。它描述的是聚乙炔链中由C—C单双键交替排列的链中插入相邻两个单键或两个双键构成的扭结(kink和antikink)中发现的一种拓扑孤子态[13-14]，即所谓的零模[15]。零模具有对局部结构扰动和无序的鲁棒性，已被用于实现鲁棒性光传输[16]、拓扑激光[17]、逻辑运算[18]等方面。

另一方面，周期性驱动的Floquet系统也表现出了丰富的拓扑效应，Floquet系统的哈密顿量在时间上是周期性的，即H(t+T)=H(t)，其中T为周期。人们可通过调节频率和幅度来设计准能带结构并探索非平庸的物理效应。例如异常的拓扑Floquet边界模式[19]、“ 0”和“π” Majorana模式[20]以及关联的Floquet相[21]等。其中，周期性驱动的SSH模型也逐渐吸引了人们的关注[22-25]，人们发现了其中蕴含一种全新的拓扑π模[22]。与静态零模不同，π模式表现出周期性的振荡特征。此外π模也具有拓扑保护特性，因此对结构扰动也表现出良好的鲁棒性。

值得一提的是，前面提到的多种拓扑态有一个共同点，即它们都出现在具有不同拓扑相的两个系统之间的界面上，这就是著名的体边对应关系[8]。然而，最近有研究表明，在Floquet系统中，即使拓扑相是一致的，但如果Floquet规范场[26-27]不同，也有可能产生拓扑边界态。这种规范相变引起的拓扑态及单向传播现象在弯曲的硅波导阵列系统中成功被实验观测到[28]，但是背后的物理机理还未完全清楚。

本文深入研究了Floquet系统中规范场对于系统准能带以及π模式演化的影响。通过将Floquet系统与Jackiw-Rebbi (JR)模型[29]进行类比，推导出了π能隙质量项与Floquet规范的关系，从而阐明了Floquet规范的物理内涵，揭示了Floquet规范转变诱导拓扑π模的产生机理。

1 周期性驱动的SSH模型

考虑在一个光波导阵列当中实现周期性驱动的SSH模型[22-25]。根据波导阵列的亥姆霍兹方程与薛定谔方程的形式上的一致性，波导的传播方向对应于时间。因此，如果将波导进行周期性弯曲，则可实现体系的含时调制。图1(a)是周期性调制的SSH模型示意图，可以看到，波导之间的间距随着传播方向z而周期性地发生变化。如果假设波导弯曲调制满足正弦型调制，即x0(z)=Acos(2π/Pz)，那么波导之间的间距满足d(z)=d0±Acos(ωz+φ)，这里d0是波导之间的平均间距，z为传播方向，A为弯曲幅度，ω=2π/P为弯曲频率，φ为弯曲的初相(这里φ=0)，即所谓的Floquet规范[26-28]。耦合系数c随z变化的关系可以近似写为c(z)=c0±δccos(ωz+φ)，其中c0是波导之间的平均耦合系数，δc是耦合系数的最大变化量。可以看到，c是具有周期性的，在一个周期内，最强最弱的耦合系数分别为c0+δc和c0-δc。该体系哈密顿量可以写为：

图1 (a)波导阵列中周期性调制的SSH模型示意图；(b)Floquet规范转变界面示意图

(1)

下面，考虑把两个具有不同Floquet规范的阵列拼在一起，形成一个Δφ≠0的界面，如图1(b)所示(这里左边阵列φ1=φ0=0，右边φ2=φ1+Δφ=π，其他参数一致，Δφ是左右阵列的规范差)。虽然两个阵列的拓扑不变量是相同的，即该界面处没有拓扑相变，但是如果φ2=φ1+π，即Δφ=π，那么在该界面处会由于Floquet规范的转变而出现π模[28]，如图2(b)所示，可以看到界面处也出现了局域的场分布。为了解释规范相变引起拓扑态的物理机理，本文采用Floquet理论[24,30-31]来处理该周期性驱动的系统。

图2 (a)周期性驱动SSH模型中π模的场分布;(b)具有Floquet规范转变的π模的场分布。总波导根数为80，Floquet规范转变界面位于第40根波导附近

根据Floquet理论，该体系的薛定谔方程的解可以写成Floquet态的叠加：

|ψα(z)〉=exp(-iεαz)|uα(z)〉

(2)

式中：εα是准能量，为ω的整数倍；|uα(z)〉是相应的Floquet模式，是P的周期函数|uα(z+P)〉=|uα(z)〉。

将式(2)代入薛定谔方程，可以得到相应的特征值方程：

(3)

将哈密顿量H(z)和Floquet模式|uα(z)〉进行频谱分解，得到：

(4)

(5)

由此，可以得出与时间(z)无关的Floquet方程：

(6)

下面，将Floquet理论应用于周期性弯曲波导阵列系统。图1(b)所示的具有规范转变的Floquet波导系统的哈密顿量可以写为：

(7)

式中：N是每个阵列的波导数(N是偶数)，总波导数是2N。根据Floquet理论，可以将式(7)的哈密顿量表示为与时间无关的项和与时间周期相关项之和：

H(z)=H0+Hp(z)

(8)

其中：

(9)

以及：

(10)

H0和Hp可以进一步写为2N×2N矩阵形式：

(11)

以及：

Hp(t)=H1e-iωt+H-1eiωt

(12)

注意，这里将传播常数β0设为零作为参考值。式(12)中分量H1和H-1表示为：

(13)

因此，式(6)中与时间无关的Floquet方程可以用块矩阵运算符表示为以下特征值问题：

(14)

其中Floquet哈密顿量为：

(15)

式(14)揭示了Floquet理论的本质。它可以将一维时间周期问题转换为二维时间无关问题，除了原来的空间维度i之外，另一个人工维度由Floquet指数n构成，又称Floquet复制带，第n个Floquet复制带的准能量会出现nω的偏移[24,30-31]。若将式(15)在足够大的n处截断，可以求得收敛的特征向量(即本征模式分布)和特征值(即准能量)。

2 Floquet规范转变诱导拓扑π模的产生机理

为了解释该π模式的出现原因，可以在Bloch基中重新写出系统的哈密顿量。为此，必须考虑如图1(a)所示的具有周期性的体系。根据平移对称性，可以将实空间中的哈密顿量式(1)变换到动量空间k中[31]：

H(k,z)=[(c0-δccos(ωz+φ))+(c0+δccos(ωz+φ))cos(k)]σx+(c0+δccos(ωz+φ))sin(k)σy

(16)

式中：k是准动量(晶格常数设置为1)；σx，σy是Pauli矩阵。由于该哈密顿量遵循反对易关系{H(k，z),σz}=0[22]，因此该系统具有由Pauli算子σz定义的手性对称性。在这种情况下，式(15)中的Floquet哈密顿量HF的矩阵块可以写为：

H0=[c0+c0cos(k)]σx+c0sin(k)σy

(17)

(18)

将式(17)和式(18)代入式(15)中，可以得到动量空间中的Floquet哈密顿量HF。这里取五个Floquet复制带，即n=0、±1和±2，因此HF是10×10的矩阵：

(19)

求解式(19)，可以得到关于准动量k的准能谱，如图3所示。可以看到，在高频下(例如ω/4c0=2)，不同的复制带被完全分开，并且π能隙是打开的，但是是平庸的(见图3(a))。随着频率降低(ω/4c0=1)，复制带彼此恰好接触(例如，n=0和n=±1，n=±1和n=±2，见图3(b))。进一步降低频率(例如ω/4c0=0.5)，复制带可以相互交叠并重新打开非平庸的π能隙(见图3(c))。但是，当将驱动频率降低到ω/4c0=1/3时，其中n=2和n=-1(n=-2并且n=1)复制带恰好交叉，则π能隙会重新闭合(见图3(d))。因此，随着频率从0增大，π能隙会在ω/4c0=1/3处开始打开，在ω/4c0=1处关闭，并且在该区域会形成拓扑π模式。

图3 动量空间中不同弯曲频率的准能量谱，清楚地显示了Floquet系统中π能隙的开-闭-开机制

为了研究Floquet规范转变的影响，将Floquet哈密顿量简化为仅包含n=1和n=0之间的两个相关Floquet复制带。相应的Floquet哈密顿量HF为：

(20)

式(20)的准能谱如图4(a)所示，包含四条能带。因为π能隙与两个中心能带密切相关，因此在排除了第一和第四能带而保持中心能带不变的情况下，可以得到紧凑的有效哈密顿量：

(21)

其中对角线项代表两个不受扰动的Floquet带(n=0的上带，n=1的下带)，非对角线项对应于周期性弯曲调制引起的两个带的耦合。

式(21)的特征值为：

(22)

下面，将式(22)在k=k0附近展开，并保留k的第一阶近似，得到：

(23)

若假设δc/c0→0，则k0和Δπ可以近似表示为：

(24)

(25)

则式(23)的准能量可以进一步简化为：

(26)

式(26)的能带如图4(b)中黑色加粗点线所示，注意式(26)仅在k=k0附近有效。

可以从准能量色散方程式(26)中得出Floquet波导系统的类似狄拉克哈密顿量的形式HFD：

(27)

其中I2×2是单位矩阵。Floquet-Dirac质量项为mπ=(Δπ/2)e-iφ，其中φ即为Floquet规范，在这里充当质量项的相位。特别地，如果Floquet规范反向，即φ→φ+π。则质量项mπ→(Δπ/2)e-i(φ+π)=-(Δπ/2)e-iφ=-mπ将获得相反的符号。根据式(7)，两个阵列的Floquet规范分别为φ1和φ2(φ2=φ1+π)。因此该系统具有相反的π能隙质量项，即mπ1=-mπ2。尽管两个阵列的都具有非平庸且相等的拓扑变量(Gπ=1)，但Floquet规范相变会引起相反的π能隙质量项，因此根据Jackiw-Rebbi模型[29]，在质量项反转的界面处会出现拓扑局域模式，即所谓的规范相变诱导的π模式，如图4(c)所示。

图4 (a)动量空间中的准能量谱，其中仅考虑两个复制带(n=0，1);(b)形成π能隙的准能量谱,黑色加粗虚线是通过在k=k0附近保留k的一阶近似并假定δc/c0→0得到的;(c)Floquet规范相变诱导π界面态产生的示意图

3 结 论

本文利用Floquet理论对周期性驱动的SSH模型进行了分析，构建出类似于Jackiw-Rebbi模型的哈密顿量，研究了Floquet系统中规范对于系统准能带以及模式的影响。阐明了Floquet规范的物理内涵为π能隙质量项的相位。由此揭示了Floquet规范转变诱导拓扑π模的产生机理，即Floquet规范转变会造成π能隙的质量项的反号，带来能带的翻转，从而在界面处诱导产生拓扑π模。