基于群表示论的微波等离激元谐振器模式响应研究

杨 杰,王甲富,贾宇翔，陈 维,屈绍波

(1.空军工程大学基础部物理与军用材料教研室，西安 710051；2.中国人民解放军93704部队，北京 101100)

0 引 言

表面等离子体(surface plasmon)是材料表面的自由电子受外部电磁场驱动而产生的集体振荡模式，其能量高度局域在材料表面[1-2]。表面等离子体的导行模式形成了可沿材料表面传播的电子疏密波，即表面等离激元(surface plasmon polariton, SPP)[2]；其局域模式形成了局域在材料表面某一特定区域的驻波模式，即局域表面等离激元(localized surface plasmon, LSP)[1]。局域表面等离激元是一种强谐振模式，具有深亚波长局域场增强和高Q值谐振的特点，它为研究光与物质的相互作用提供了良好平台，并已被广泛应用于光学天线[3-4]、拉曼散射增强[5-6]和生物化学传感[7-8]等多个领域。传统的局域表面等离激元产生于光频段，可由外部光激发金属纳米颗粒或微结构产生[1,9]。超材料的兴起成功地将局域表面等离激元的概念从光频段拓展到了远红外、太赫兹和微波频段，相应地产生了人工局域表面等离激元(spoof localized surface plasmon, SLSP)的概念[10-11]。作为局域表面等离激元的低频对应物，人工表面等离激元也具有局域场增强和谐振Q值高的特点，可被广泛用于微波电路设计[12-14]、微波传感[11,15]和涡旋波产生[16-17]等领域。

人工局域表面等离激元是由微波等离激元谐振器(microwave plasmonic resonator)产生的[10-11]，通常该谐振器具有离散旋转对称性和镜面反射对称性。当镜面对称性被打破，微波等离激元谐振器退化为磁微波等离激元谐振器，后者可以产生磁局域表面等离激元[18]。为了研究微波等离激元谐振器的模式响应，研究人员发展出了两种基于不同理论机制的方法：基于等效媒质理论的超材料方法[10]和利用矩形晶格色散特性近似描述角晶格色散特性的等效色散方法[11,19-20]。这两种方法均未能充分考虑谐振器的几何对称性，尤其是离散旋转对称性，前一种方法将谐振器等效为无限旋转对称结构，后一种方法则将谐振器直接等效为离散平移对称结构。众所周知，对称性决定物理。这两种理论忽略了离散旋转对称性，其结果必然导致谐振器的物理性质不能被充分揭示。

本文使用对称性分析中最核心的数学工具——群表示论，研究了微波等离激元谐振器的模式响应。结果发现谐振器的几何对称性实质上完全决定了其本征模式的对称性。具体来讲，离散旋转对称性的重数决定了谐振器可以支持哪些阶数的局域表面等离激元模式；镜面反射对称性的出现进一步引入了更多阶的模式响应。数值和全波仿真很好地证明了本文群表示论方法的有效性。

1 背景理论

1.1 微波等离激元谐振器及其研究理论

微波等离激元谐振器通常由环形的金属褶皱构成，褶皱间填充了电介质材料，其典型结构如图1(a)所示。研究之初，该谐振器被设计为二维无限长(沿z方向尺寸无限长)的金属圆柱结构[10]。随着研究的深入，无限长金属圆柱结构被简化为有限厚度乃至近零厚度的金属圆盘[11]，这一简化极大地推动了人工局域表面等离激元走向实际应用的进程。描述微波表面等离激元谐振器模式响应的方法主要有两种。第一种是基于等效媒质理论的超材料方法[10]。这种方法将谐振器的外围环形金属褶皱和其间填充的电介质材料等效为一层均匀的电介质，所以整个谐振器就能等效为中心金属圆盘嵌套外围等效媒质的核壳结构，如图1(b)所示，计算等效媒质中的驻波解即可求得谐振器的模式响应。第二种是等效色散法[11,19-20]。这一方法将谐振器的方向角晶格等效为矩形晶格，如图1(c)所示，通过分析矩形晶格的色散响应近似求出谐振器的模式响应。这两种方法的缺陷均未能充分考虑谐振器的几何对称性，尤其是离散旋转对称性。

图1 微波等离激元谐振器：(a)典型金属结构图示;(b)等效媒质法图示;(c)角晶格近似为矩形晶格图示

(1)

其中n代表了金属结构表面的外法线方向。式(1)可写作电磁散射算子方程的形式，Z{J(r′)}=n×Einc，其中Z是金属结构的阻抗算子。阻抗算子包含了金属结构的所有本征模信息且与外部激励无关。通过计算算子Z的本征值，就能研究谐振器所支持的所有本征局域表面等离激元模式。

1.2 对称性分析

微波等离激元谐振器通常具有M重旋转对称性和镜面反射对称性，其几何对称性构成CMv群。以对称性构成C7v群的谐振器结构为例，如图1所示。该结构具有7重旋转对称性，即结构绕z轴旋转φ0(φ0=360°/7)的整倍数角度后仍保持不变。每个旋转对称元素依次可标记为(C7)m(m=0,…,6)。此外，该结构还具有7个过z轴的镜像对称面，每个镜像对称面与xoy面的交线与x轴的夹角为φ0/2(φ0/2=180°/7)的整数倍，当以每个镜像对称面为准做镜像操作后，结构仍保持不变。C7v群的每个镜像对称元素属于同一类[22]，故可被统一标记为σv。C7v群的特征值如表1所示[23]，其中E代表单位元(即(C7)0)，A1和A2是两个一维不可约表示，E1～E3是三个二维不可约表示。由群表示论可知，群的不可约表示可根据对称性对函数进行分类，其中用到的最重要的工具就是每个不可约表示对应的投影算子。对C7v群的某一不可约表示Г(Г可取A1，A2，E1，E2和E3)，可以为其构造投影算子如下[22]：

(2)

表1 C7v群的特征值[23]

1.3 互易性关系

不难证明，微波等离激元谐振器的阻抗算子与C7v群每个不可约表示对应的投影算子都互易[24-25]，即：

ZPΓ=PΓZ

(3)

以上的互易关系表明两个算子拥有共同的本征函数，且这些本征函数是完备的[22]。基于此互易关系，能通过投影算子的本征函数研究微波等离激元谐振器的本征模，而微波等离激元谐振器的本征模即是谐振器所能支持的本征局域表面等离激元模式，特定外部激励所能激发的模式都能表示为这些本征模式的线性叠加。

2 结果与讨论

2.1 投影算子本征电场

(4)

(5)

(6)

图2 二维不可约表示：(a)加权偶极子阵列；(b)归一化散射电场z分量

(7)

式(7)第一个公式描述的偶极子阵列如图3(a)所示，其中p1为偶极矩p1的模，p1=2cos(α)p0。同样地可数值计算出A1不可约表示对应的散射电场的z分量，如图3(b)所示。由图3(b)可知，A1不可约表示的投影算子对应的本征电场z分量为拓扑荷为0的涡旋模式，这意味着微波等离激元谐振器支持可零阶涡旋模式，这也是一种特殊的人工局域表面等离激元模式(在之前的研究中也被称作磁偶极子模式[18])。

图3 A1不可约表示：(a)偶极子阵列；(b)归一化散射电场z分量

最后考虑A2不可约表示。类似的方法，可求得A2不可约表示对应的偶极子阵列和其辐射的电场z分量表达式如下：

(8)

式(8)第一个公式描述的偶极子阵列如图4(a)所示，其中p2为偶极矩p2的模，p2=2sin(α)p0。运用数值方法可求得A2不可约表示对应的散射电场的z分量如图4(b)所示。由图4(b)可知，A2不可约表示的投影算子对应的本征电场z分量为十四极子模式，这意味着微波等离激元谐振器还可支持十四极子模式。

图4 A2不可约表示：(a)偶极子阵列；(b)归一化散射电场z分量

因为C7v群只有五个不可约表示，分别对应了五种不同的本征人工局域表面等离激元模式，这五种模式也是谐振器阻抗算子的本征模，分别为零阶模式、偶极子模式、四极子模式、六极子模式和十四极子模式。因此对于对称性构成C7v群的微波等离激元谐振器只能支持五种人工局域表面等离激元模式或这五种模式的线性叠加模式。值得一提的是偶极子、四极子和六极子模式都对应了C7v群的二维不可约表示，不可约表示的维度表征了模式的简并度[22]，所以这三个模式是二重简并的，它们分别可用一对互为共轭的一阶、二阶、三阶涡旋模式叠加得到。这一结论与最近报道的利用微波等离激元谐振器实现涡旋模的工作是一致的[17]。此外，当打破镜面反射对称性之后，C7v群退化为C7群，C7群是C7v群一个子群。通过对比两个群的特征值表(可由文献[23]查得)，发现C7v群相比C7群多了A2不可约表示。所以可得结论，对称性构成C7v群的谐振器能支持的十四极子模式是由于镜面反射对称性存在导致的，当镜面对称性被打破后，谐振器不再支持十四极子模式。镜面对称的另一个作用是导致了二重简并模式的出现。当镜面对称性被打破后，若谐振器是一个厄米系统，时间反演对称性会扮演与镜面对称性相同的作用，即导致相同的二重简并；若是一个非厄米系统，时间反演对称性也被打破，所有模式都将是非简并的[22]。

2.2 数值验证

为了验证本文中提出的群表示论方法，本课题组设计了一个可以激发人工局域表面等离激元的器件，如图5(a)所示。该器件由五层组成。第一层是0.018 mm厚的金属结构谐振器，该结构的对称性组成C7v群，其结构参数为：ri=8 mm，ro=15 mm，金属锯齿占空比为0.6。第二层为0.508 mm厚的圆形介质基板，介质板半径rd=32 mm。第三层和第五层使用与第二层完全相同的介质基板。第四层是0.018 mm厚的金属地板。第二层与第三层介质板之间有一段微带线，由金属制成，用以激发谐振器。第五层介质板下表面刻蚀有微带线用以连接馈电端口。第五层下表面的微带线和第二、三层间的微带线由一个金属过孔连接，过孔内径是1 mm。过孔的中心轴线距离z轴的距离为rf=6 mm，如图5(a)所示。金属地板在金属过孔穿过的位置开了小孔以避免二者的电连接。微带线宽度为1.1 mm以保证微带线输入阻抗为50 Ω。外部激励从图5(a)标注的端口(port)处输入。以上的金属组件均由铜制成，在微波段，铜可被视为完美电导体；所有的介质材料均由Rogers4350B制成(相对介电常数3.48，损耗角正切0.037)。

图5 微波等离激元谐振器及其在单端口馈电下的电磁响应：(a)原理验证件图示；(b)仿真的反射率曲线；(c)仿真的归一化电场z分量实部

整个器件的全波仿真在商业软件CST microwave studio中完成。仿真得到的反射率(S11)曲线如图5(b)所示。在图5(b)中能观察到在0～8 GHz频段内存在四个反射率极小点，这四个极小点对应了谐振器被激发谐振处的频点。四个谐振点所在的频率依次为 2.69 GHz、3.77 GHz、4.29 GHz和6.01 GHz，相应的电场z分量实部在一个截面上的分布如图5(c)所示，该截面距离谐振器上表面10 mm。由图5(c)可知，前三个频点的电场z分量对应了偶极子、四极子和六极子人工表面等离激元模式，第四个频点则对应了零阶人工表面等离激元模式，也即零阶涡旋模式或磁偶极子模式。这四个频点处的人工表面等离激元模式对应了C7v群的E1、E2、E3和A1不可约表示。仿真结果验证了本文群表示论方法的有效性。对于A2不可约表示对应的十四极子模式，在设计的器件中未能被有效激发，主要是因为十四极子模式阶数较高，且出现在更高频点处，激发该模式需要馈电系统具备更复杂的对称性以与该模式的对称性相匹配，故而也更难激发。值得注意的是，虽然对称性组成C7v群的微波等离激元谐振器只能支持偶极子、四极子、六极子、十四极子和零阶模式这5种模式，但若考虑到沿极径方向的谐振阶数，该谐振器其实还能支持这五种对称模式的反对称模，反对称模式的研究已在之前的很多工作中出现[15,26]。

3 结 论

本文提出了基于群表示论的对称性分析方法用以研究微波等离激元谐振器的模式响应。研究结果表明谐振器的几何对称性所构成的群的不可约表示数目决定了谐振器所能支持的人工局域表面等离激元模式数。以对称性组成C7v群的微波等离激元谐振器为例，C7v群只有五个不可约表示，相应地该谐振器仅能支持五种人工局域表面等离激元模式或这五种模式的线性叠加模式，其中7重旋转对称性使其能支持偶极子、四极子、六极子和零阶模式这四种模式，镜面对称性额外导致了十四极子模式的出现。数值和全波仿真很好地证明了群表示论方法的有效性。经典的基于等效媒质理论的超材料方法将谐振器等效为无限旋转对称结构，此种等效意味着谐振器理论上能支持无穷多阶的局域表面等离激元模式；等效色散法则将离散旋转对称性完全等效为离散平移对称性，虽然这对分析谐振器几何参数对谐振频率的影响极为有效，但却脱离了谐振器的物理实际。相比前两种经典方法，本文提出的群表示论方法具有更普遍的适用性，只要知道谐振器所具备的几何对称性，就能根据对称性所构成的群分析其所能支持的人工局域表面等离激元模式的阶数。正因为如此，群表示论方法实质上是独立于谐振器的几何参数的，因而它不能精确给出谐振器每个模式出现的频点，这也是群表示论方法的缺憾：每个模式所在的频点要根据具体的谐振器结构参数进行计算。