区间支付合作对策的团体贡献Shapley值*

陈一宁，陈 岩

(沈阳工业大学理学院，110870，辽宁省沈阳市)

0 引 言

作为对策论的一个重要分支，合作对策主要研究的是参与对策的局中人怎样与其他人合作能够共同取得最大收益，以及形成联盟后如何对共同取得的收益进行分配.其中，合作对策的收益分配问题一直是该方向的热点.合作对策解的概念有很多，主要分为两类：一类是稳定集、谈判集、核仁等占优解，但在某些情况下合作对策的占优解集可能为空；另一类是估值解，合作对策的估值解是唯一的解向量，给予对策中的每个局中人相应的分配.Shapley值[1]是1953年Shapley从公理化角度出发，提出的n人对策解的概念，是合作对策的一个重要估值解.由于其含义清晰，表达式简洁且始终存在等优良性质，成为合作对策中最重要的解的概念之一.经典Shapley值假设局中人在决定离开或加入联盟时是独立的，即在计算边际贡献的过程中，局中人皆以个人的身份出现.然而在现实生活中，局中人往往被同伴所做的决定影响，或者单干时获得收益微弱但参与合作后可为联盟获得大量收益，这就需要考虑团体边际贡献(简称团体贡献)的概念.团体贡献的隐含思想在合作对策中早有体现，Grabisch[2]提出的合作对策模型中，局中人基于相似的利益相互作用，形成团体.类似地，在具有联盟结构的合作对策中，还有些方法[3-6]是将大联盟分成小组或其他联盟结构再进行对策求解.近期，Borkotokey等[7]提出了合作对策中考虑团体贡献的Shapley值.在此概念中，计算边际贡献时考虑局中人的团体贡献使得不被允许单独生产但参与合作后贡献突出的局中人获得更合理的分配，最终获得的收益分配更具有公正性、平等性.

由于环境、条件及信息等因素的不确定性，使得现实中的合作几乎不可能在清晰准确的环境下进行，往往难以精确给出合作对策的支付，只能估计其范围．因此经典合作对策向着模糊化拓展延伸，许多学者开始关注并研究模糊支付合作对策.1974年，Aubin[8]首次提出了模糊对策的概念，随后Butnariu[9]、Tsurumi等[10]研究了模糊合作对策的Shapley函数.在模糊支付合作对策中，收益为区间数的区间支付合作对策更是备受关注.Alparslan Gök等[11,12]对区间支付合作对策上的Shapley值进行了研究．2010年，Mallozzi等[13]提出区间支付合作对策的一类F-核心解.2017年，邹正兴和张强[14]研究了区间支付合作对策的广义区间Shapley值.2018年，Hsien-Chung Wu[15]研究了区间支付合作对策的支配核心.

由此可见，尽管区间支付合作对策上解的研究层出不穷，但该对策模型上有关团体贡献Shapley值的研究却并不多见.因此，本文以经典可转移效用合作对策上的团体贡献Shapley值为基础，利用区间数的运算及性质，将这类解推广至区间支付合作对策模型，对区间支付合作对策的团体贡献Shapley值进行研究.建立公理化体系，证明其满足区间有效性、区间对称性及区间可加性.最后通过算例与区间Shapley值进行比较，说明其可行性与有效性.

1 预备知识

给定局中人集N={1,2,…,n}，可转移效用合作对策为一序对(N,v)，其中v：2N→R为对策的特征函数，且v(φ)=0.所有(N,v)全体构成的集合记为G(N).为表简练，S∪{i}简写为S∪i，S{i}简写为Si，若无歧义，对策(N,v)简写为v.联盟S的模用s表示，即|S|=s.

定义1.3[7]对于任意v∈G(N)，存在唯一满足以下三条公理的Shapley值函数Φ:G(N)→RN，有

(1)

称向量Φ(v)=Φi(v)i∈N为Shapley值向量，简称Shapley值.

对称性公理：对于i,j∈N，S⊆N{i,j}，v(S∪i)=v(S∪j)，有Φi(v)=Φj(v).

可加性公理：对于v,w∈G(N)，i∈N，有Φi(v+w)=Φi(v)+Φi(w).

2 可转移效用合作对策的团体贡献Shapley值

对于对策v∈G(N)，设π是N的一个排列，N上排列全体构成的集合记为Π(N).对任意排列π，P(π,i)={j∈N|π(j)<π(i)}，表示在排列π中于局中人i之前进入大联盟的局中人的集合，其中π(i)为局中人i在排列π中的位置.

定义2.1[7]对于任意v∈G(N)，N={1,2,…,n}，可转移效用合作对策的团体贡献Shapley值是一个向量函数Φk:G(N)→RN，形如

(2)

命题2.1[7]对于S⊆N，α(s,k)满足下列关系

(1) 对于s≥k≥1，

其中[x]为小于或等于x的最大整数.

(2) 对于k=1且所有s≥1，α(s,k)=1.

(3) 对于s≤k，α(s,k)=2s-1.

命题2.2[7]当k=2时，对于i=0,1,2,…有α(0,2)=1，α(1,2)=1且

α(i,2)+α(i+1,2)=α(i+2,2).

推论2.1[7]根据命题2.1，式(2)可等价表示为

(3)

3 区间支付合作对策的团体贡献Shapley值

3.1 区间支付合作对策的区间Shapley值

(4)

3.2 区间支付合作对策的团体贡献Shapley值

(5)

类似地，根据命题2.1，式(5)可等价表示为

(6)

[v-(S)-v-(ST)]=

上式右端S=N时,

[v-(S∪T)-v-(S)]=

所以

[v-(S∪T)-v-(S)]}.

又当S⊂N时，有

由引理1，可得

由此可知，

所以

(2)对称性公理.对于任意i,j∈N，S⊆N{i,j}有

证明由命题2.1知，对于k=1且所有s≥1，α(s,k)=1，即

4 算例分析

5 结 论

本文定义了区间支付合作对策的团体贡献Shapley值，考虑局中人加入团体所产生的团体边际贡献，给出区间支付合作对策的一类解.并对其做出公理化刻画，证明其满足区间有效性、区间对称性及区间可加性.最后通过算例对比分析该解与区间Shapley值的异同，验证其有效性，并说明在某些情况下该解更具公平性.本文为区间支付合作对策的求解提供一种新的思路，同时也拓展了团体贡献Shapley值的适用范围，对求解基于不确定信息的合作对策问题有一定参考价值.