APP下载

与广义薛定谔算子相关的利兹变换及其交换子的Lp紧性

2021-08-26丁姗姗

关键词:薛定谔利兹测度

丁姗姗

(中国人民解放军陆军特种作战学院,510500,广东省广州市)

0 引 言

在泛函分析理论中,紧算子是一类重要的分支.令L是从巴拿赫空间X映射到另一个巴拿赫空间Y的线性算子,如果X中任意一个有界子集在L下的像都是Y中的相对紧子集,则L是紧算子.关于紧算子的一个经典例子是索伯列夫嵌入定理.通过这样的嵌入,可以将椭圆有界性问题转化为Fredholm积分方程.关于紧算子的更多研究,可以参考文献[1-3].

设T是一个卷积奇异积分算子.1978年,Uchiyama在文献[4]中给出了交换子[b,T]的有界性和紧性,并证明了对于1

根据文献[7]和[8],在本文中,始终假设μ满足以下条件:存在正常数C0、C1和δ使得对于0

(1)

μ(B(x,2r))≤C1{μ(B(x,r))+rn-2},

(2)

其中B(x,r)表示以x为圆心,以r为半径的开球.由文献[8]知,(1)式等价于

实际上,(1)式可以认为是尺度不变的Kato条件,(2)式意味着测度μ可以使球加倍,并满足μ(B(x,r))≥Crn-2.申在文献[7,8]中指出:如果dμ=V(x)dx,并且V(x)是非负位势,满足

即V(x)属于逆赫尔德类,则测度μ满足(1),(2).

其中C1是(2)中的常数.

其中γ:[0,1]→n是绝对连续的,并且满足γ(0)=x,γ(1)=y.

1 相关性质及引理

2n+1维的海森堡群n是一个具有基本流行2n×的幂零李群.群结构为

所有非平凡交换关系形式[Xj,Xn+j]=-4X2n+1,j=1,2,…n.

次调和算子Δ和梯度∇分别定义为

|g|=(|x|4+|t|2)1/4,g=(x,t)∈n.

令d(g,h)=|g-1h|,则以g为圆心,r为半径的球定义为

B(g,r)={h∈n,|g-1h|

性质1 假设μ满足(1)和(2),则

(a)对于任意x∈n,有0

(b)如果r=m(x,μ)-1,则rn-2≤μ(B(x,r))≤C1rn-2;

引理1 设μ满足(1)和(2),δ∈(0,1),则当s>2-δ,存在常数C,使得

引理2 (Frechet-Kolmogorov) 对于1≤p<∞,Lp(n)的子集G是强预紧的当且仅当:

引理3 设μ是n,n≥3上的非负拉东测度且满足(1),(2),δ∈(0,1),则

本文将在第2、3节中分别证明与广义薛定谔算子相关的利兹变换及其对偶变换[b,T]在n和n上的紧性. 为了简化叙述,将利用ab表示a≤Cb.

定理1 设μ是n,n≥3上的非负拉东测度且满足(1)和(2),δ∈(0,1),m>1,b∈VMO(n).

由引理2知,要证[b,T]的紧性,只需证明[b,T]满足下述3个条件:

定理1的证明先证明第2个结论. 根据对偶性可以同样证明出第1个结论.

Ⅰ. 由引理1知若f∈Lp(n),p>2-δ,则n). 当2-δ

对于上式的第一部分,如果令f=f1+f2,其中f1=fχ2B,则

Ⅲ. 对于任意x,z∈n,a>2k0,

对于任意整数k≥0,记bk=B(x,2ka|t|),Ck=B(x+t,2k(a+1)|t|).

再估计I3(x).对于任意满足|z-x|

根据引理3,由赫尔德不等式有

最后估计I4(x).因为a|t|<(a+1)|t|

对Ii(x),(i=1,2,3,4)的估计意味着对任意ε>0,存在正常数a0和C,使得若(a0+1)|t|

假设p≥1,R在Lp(n)上有界,K(g,h)为R的核函数.令H(g,h)表示(n×n){g=h}上的非负局部可积函数,如果存在δ>0和整数k0>0,使得对于有

则称H(g,h)是核函数K(g,h)的控制函数.

1)H1(m):存在K(g,h)的控制函数H(g,h)使得

2)H2(m):存在N≥1使得对于任意v,R>N,g∈n且|g|>vR,有

3)H3(m):存在r0>0使得对于任意0

实际上,H1(m)表示有界性条件,H2(m)表示局部Lp条件,H3(m)表示一致收敛条件.如果R的核函数满足上述3个条件,则R是紧的.因此上述条件又称为紧性条件.

引理4[6]定理3.8假设μ满足(1)和(2),δ∈(0,1), 当2-δ

定理2 设μ是n,n≥3上的非负拉东测度且满足(1)和(2),δ∈(0,1).如果K(g,h)满足Hi(m),i=1,2,3,则与广义薛定谔算子相关的利兹变换R在Lp(n)上是紧的.

证明由与广义薛定谔算子相关的利兹变换的有界性及引理4知,要证明R在Lp(n)上的紧性,只需证K(g,h)满足定义2中的紧性条件.

首先,证明K(g,h)满足H1(m).对于K(g,h),存在控制函数

选择N0>log2C1+1,固定N=N0,则对于任意r>0,任意整数k,当|gh-1|<2k+1r,|uh-1|<|hg-1|时,有|gu-1|<2k+3r.根据Minkowski不等式和性质2有

其次,证明K(g,h)满足H2(m).对于任意v,R>2,g,h∈n,|g|>vR,|h|

根据Minkowski不等式和性质2有

最后,相似地,对于任意r>0有

所以K(x,y)满足H3(m).

猜你喜欢

薛定谔利兹测度
2022年普利兹克奖:弗朗西斯·凯雷成为首个获得“建筑界诺贝尔奖”的非洲人
Rn上的测度双K-框架
平面上两个数字集生成的一类Moran测度的谱性
我国要素价格扭曲程度的测度
用二维薛定谔方程实现海浪模拟
战后世界的设计师矶崎新获普利兹克建筑奖
薛定谔方程
五阶可积非线性薛定谔方程的呼吸子解及其特性研究
THE CONCEPT OF BOKEH LIGHT EFFECTS IN PHOTOGRAPHY
几何概型中的测度