深入进行试题研究，不断提升教学水平

王治民

【摘要】利用列举和推理的方法对小学低年级学生进行等差数列基本知识的训练，以及利用分数拆分的方法在小学高年级进行计算能力训练，可以丰富学生的知识素养，让学生积累解题经验，同时激发学生探究疑难问题的兴趣，培养其顽强的意志品质，提升其数学能力.

【关键词】试题;深入;研究;提升

在小学数学教学中有许多内涵丰富、思路复杂的习题，教师在教学中加强对此类疑难题目的教学，有利于学生思维能力的发展，同时对学生初、高中阶段的数学能力提升具有重要意义.利用列举和推理的方法对小学低年级学生进行等差数列基本知识教学，以及利用分数拆分的方法对小学高年级学生进行计算能力训练，是笔者积累的两个比较典型的案例，希望对大家有所启发.

一、低年级学生妙解“等差数列”一法

在对三年级学生进行小学数学奥数知识辅导时，遇到这样一题：

1  2  3  4

3  4  5  6

5  6  7  8

7  8  9  10

……

请问，第15行的第三个数是多少？

此题的基本结构是每一行都是四个连续的自然数，前一行的后两个数在下一行的前两个数的位置重复出现，同时，每一列都是由连续奇数（偶数）构成的.

要知道第15行的第三个数，就应该先知道该行的第一个数，而要得到第15行的第一个数，对低年级学生来说，常用的方法只有推理，但这种方法只适合项数较少的数列.如果要求出第50行、第100行甚至更多行上的数时，别说小学生，对成人而言，也绝不是个简单的问题.此时，找到符合三年级学生理解能力和知识水平的規律，才是最好的办法.

笔者边鼓励学生自主探索，边仔细观察.原来本题可以分成四个单一的等差数列：（1）1，3，5，7…… （2）2，4，6，8…… （3）3，5，7，9…… （4）4，6，8，10……每个数列前后两个数之间都差2，但第一个数不同.

笔者想，既然这四个数列的前后两个数之间都差2，它们的每一位上的数肯定也与2有关.第一个数列中，第一个数是1，比2少1，第二个数比4少1，第三个数比6少1……而2，4，6，8，…，每个数都正好是2的倍数.

原来，在这个数列中，每两个相邻项之间都相差2，用表示第一个数的位数1乘差数2再减1，便是第一个数1，用表示第二个数的位数2乘差数2再减1，就得到了第二个数3.

依次类推，即可得到相应位置上的数5，7，9……同理，用表示第15位的15乘差数2再减1，就可以得到第十五个数29.笔者按上述思路引导学生观察并详细讲解后，多数学生都能迅速理解.之后笔者又随机加以深化：请你算出第一列的第50个数是多少？不到30秒，全班78位同学几乎全都得出了正确答案50×2-1=99.接下来，这一列的任意一项，学生都能通过计算快速求得了.

意外的收获让笔者十分高兴，既然能根据规律求出第一个数列中的每一项，那么第二列、第三列、第四列中的每一个数一定也能通过计算求得.于是，笔者激励学生继续探索，同学们的兴趣很高，一会儿工夫便“大功告成”，大家都踊跃汇报学习成果：第二列的每一个数直接用位数乘差数2即可，这一列的第15个数是15×2=30;第三列的每一个数是用位数乘差数2再加1，依次为1×2+1=3，2×2+1=3，3×2+1=7……这一列的第15个数是15×2+1=31;而第四列中的每一个数分别为位数乘差数2再加2，依次为4，6，8，10……这一列的第15个数是15×2+2=32.这样，例题中第15行的四个数依次为29，30，31，32，完全符合题意.

根据这一规律，我们可以轻松求出每一列中的任意一个数.如：第一列的第99个数是99×2-1=197，第二列的第99个数是99×2=198，第三列的第99个数是99×2+1=199，第四列的第99个数是99×2+2=200，真是妙不可言啊！

笔者意犹未尽，借着刚才的兴致继续思考，用位数乘2再加几（或减几）的方法能解决差数为2的等差数列问题，那么其他数列是否也能用这一方法呢？笔者立即构建了一个差数为6的数列：0，6，12，18，（  ），（  ）……通过尝试，笔者发现第二个数6等于位数2乘差数6再减6，第四个数就应该是位数4乘差数6再减6等于18，没问题，那么第五个数肯定是5×6-6=24，第六个数等于6×6-6=30.也就是说，在这个数列中，每个数都等于位数乘差数6再减6，第100个数是100×6-6=594，第1000个数是1000×6-6=5994.

为了验证上述结论的正确性，笔者又构建了一个差数为8的数列：5，13，21，29，（  ），（  ），（  ）……根据已知条件，笔者很快找到方法：用位数乘差数8再减3，所以括号内的数依次是5×8-3=37，6×8-3=45，7×8-3=53，这一数列的第999个数是999×8-3=7989.通过反复验证，这一方法对于每一个等差数列都适用.

笔者由此得出结论：要求等差数列中的某一个数，可先根据已知条件求出该数列的差数（公差），再尝试用要求数的位数乘差数再加几（或减几）的方法找到该题的构造规律，然后便可轻松求出任何一位上的数.即：差数×位数±几=该位上的数.

在之后的教学中，笔者将这一方法专门介绍给学生，效果非常好.三年级同学对任何一组等差数列都能快速找出规律并轻松解答.这一方法对没有“专业经验”的中小学生解决等差数列问题具有很大的应用价值，对丰富学生的数学方法和提高学生的数学素养也有很好的作用，在此和大家分享.

二、运用“拆分”思想探索一道竞赛题的解法