关注结构建立 促进思维生长

卞航萍

【摘   要】复习不是简单的重复学习，总复习更需要关注学生知识结构的建立，促进学生思维的生长。为此，教师需要对小学阶段相关内容的教材进行整体梳理，对学生的学情进行细致分析，进而有针对性地进行教学设计。围绕“立体图形体积”总复习，对教材进行重新组合，先帮助学生整体沟通直柱体体积之间的关系，再集中呈现图形的运动变化过程，以使学生形成知识结构，促进学生思维发展。

【关键词】立体图形体积;复习;沟通;图形变化

复习不是简单的重复学习，总复习更需要关注学生知识结构的建立，促进学生思维的生长。“立体图形的体积”是小学几何教学中的重要内容，围绕这一内容进行总复习需要在梳理教材、分析学情的基础上，有针对性地展开。

一、教材梳理

统观教材（见图1），“空间与图形”的相关知识点被有层次、有梯度地分配到各个学段。整体来讲，教材编写遵循由简单到复杂、先整体再细化的基本原则。

学生需要先整体认识各类图形，能够分辨各种图形的样子;然后逐步学习从特征的角度认识图形;接着理解点、线、面、体经过“运动变化”，可以产生丰富的图形变换;理解体体交于面、面面交于线、线线交于点，由此形成多姿多彩的世界，等等。对各学段相关内容进行梳理如下。

通过梳理，教师很容易理解教材编写的逻辑序。但学生的学习是散点式进行的，对于多数学生来讲，他们很难自发地将这些点状的知识联结起来，形成知识网。因此，总复习阶段需要做的最重要的事情不是将学过的知识进行简单的复习，而是要从联系的角度帮助学生进行知识梳理，搭建知识结构框架，让学生能够将散点式的知识点结成网，连成片。

二、学情分析

学生经过六年的学习，具有了将所学知识进行沟通联系的能力，能够深入理解图形与图形，图形内部各组成要素之间的关系。但实际教学中发现，很多学生的理解停留在形式化阶段，主要表现在以下两个方面。

（一）对计算公式形式化运用，没有真正理解

通过对学生问题解决过程的分析，可以了解学生对知识的理解程度。以“求图中长方体的体积”（如图2）这道题为例，对127名学生的解答情况进行了数据梳理（如表1）。

從表1呈现的数据中可以看出，只有不到一半的学生采用了“底面积乘高”的方法直接求出该立方体的体积。有20.47%的学生采用了更加“复杂”的方法。因为长方体的体积公式是“长×宽×高”，而题目给的数据中只有底面的“长和宽”，因此需要根据给出的一个侧面长方形的面积求出高，再根据公式进行解答。这是典型的“公式化”表现。表1中显示有22.05%的学生犯了“典型错误1”，出错的原因也是源于体积公式的束缚，未正确辨别24cm2是长方体右侧长方形的面积，这说明学生对直柱体体积通用公式为什么是“底面积×高”并没有深刻理解。

（二）对问题解决浅表性思考，缺少深入分析

通过分析学生问题解决的过程，可以部分看到学生思考的痕迹，了解学生的思维水平。同样以两道相关题目为例。

题1：高为5cm的圆柱，被横切成两个小圆柱后，表面积增加了20cm2，原来圆柱的体积是（    ）cm3。

题2：（见图3）一个圆柱被截去5cm，圆柱的表面积减少了31.4cm2。原来圆柱的体积是（     ）cm3。

测试中发现，127名学生中，能够明确找到解题关键并顺利解决问题的，题1有83人，占总人数的65.35%，题2有57人，占总人数的44.88%。通过对学生的错例进行分析，发现题1产生错误的原因主要是学生没有理解“表面积增加了20cm2”指的就是两个底面积;题2产生错误的原因则是学生没有理解“圆柱的表面积减少了31.4cm2 ”指的就是减少了高为5cm的那段圆柱的侧面积。这两道题的难度并不大，但学生解决问题时停留在浅表性思考上，对题目缺少深入分析。

以上分析提醒教师，学生在立体几何学习过程中积累的活动经验不足，空间观念薄弱，在解决问题的过程中更多的是单纯机械地套用公式。这种凭借套用公式解决问题的思维方式会对他们今后的数学学习产生严重的负面影响。

因此，教师需要思考如何在六年级的总复习时引导学生深入理解立体图形体积的概念，拓展概念外延，提升学生的空间观念，培养他们举一反三的能力，并围绕此展开教学实践。

三、教学实践

在审视学情、教材与课堂的基础上，笔者整合设计了“立体图形复习与整理”（共2课时）的教学架构并进行了教学尝试。

（一）设计思考

1.尊重认知思维

学生在之前的数学学习过程中积累了大量的立体图形学习与练习的经验，教学中练习的“量”应减少，“趣”应提高。教师可从“一张长方形纸”入手，借用一个核心问题，勾连起立体图形，以此作为学生复习的思维起点。

2.立足知识结构

立足长方体、正方体、圆柱、圆锥这四个基本立体图形知识的关联度，将学习内容进行重组、调整（见表2），让学生在“圆柱”的承接上，能多角度、多维度地进行深入复习。

（二）课堂教学

【课时1】整体沟通直柱体体积之间的关系

布鲁纳认为“学习者在一定的问题情境中，经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是对学习者最有价值的东西”。课时1的教学围绕“长方体、正方体和圆柱的再复习”，着眼于平面与立体的密切关系，挖掘知识的深度，通过“蜂巢”这一研究媒介，设计“导学单”，目的在于沟通直柱体体积之间的关系。

环节一：呈现核心问题，引导探秘“体积”

（1）计算感知：图形的侧面积相同，体积不同。

①教师引领学生复习正方体、长方体、圆柱的体积计算方法。

②通过核心问题“计算这些图形的体积，有什么相同之处”，引导学生主动将知识进行沟通，进而发现：正方体、长方体、圆柱体积的计算方法，可以统一为V=S底h。

（2）类比推理：计算新图形的体积，探究直柱体体积计算方式。

①教师引导：正方体、长方体、圆柱体积的计算方法都可以用底面积乘高计算，那么猜猜看，三角形体、六边形体、爱心形体（学生创造的叫法）等立体图形的体积怎么算呢？为什么这么算？

②学生分组交流、探索，沟通，发现正方体、长方体、圆柱与三角形体、六边形体、爱心形体等图形的特征联系，揭示“直柱体”定义及体积计算方法。

③请学生分组创造新的直柱体图形，并计算它们的体积。

（3）小結：计算直柱体体积时，如果底面积相同，高也相同，体积的大小一定相同。

环节二：拓展应用，计算蜂巢容积

（1）教师用课件介绍蜂巢结构（如图4）。

（2）学生合作计算蜂巢容积。

古语有云“学起于思，思起于疑”。学生不缺乏提问的启动力，只是缺乏正确的引导和空间的给予。课时1中，一句“计算这些图形的体积，有什么相同之处”，在课堂上瞬间泛起涟漪。在后继学习中，学生有问自创立体图形的体积是怎么计算的，有找体积最大的为何物的，也有找体积大小与什么因素有直接关系的。给学生提问的空间，有助于他们主动地从联系的角度思考相关知识。“猜猜看，三角形体、六边形体、爱心形体（学生创造的叫法）等立体图形的体积怎么算呢？为什么这么算？”该过程旨在让学生通过猜想、验证、体会、思辨、推理等活动，来体会V=Sh这个适用于所有直柱体体积计算的公式。这个过程无形地运用了类比推理，既巩固了图形特征，又培养了学生的空间观念。

【课时2】集中呈现图形运动变化的过程

认知科学告诉我们，知识只有在联系中才显示出意义;学习必须将问题定位在真实问题中，将点状知识联结起来。因此课时2的设计在求联不求全上下功夫，用卷、转、叠（平移）联结2D到3D的动态变化过程，用切、削、熔对3D图形进行改造。简单的素材通过6个动词的演绎，力求达到知识迁移、模型建立的目标。

环节一：结合运动变化，理解图形关系

（1）教师引导学生将一张长方形纸卷成一个立体图形，提问：“你们用的纸都是同样大小的，卷出的图形之间有什么相同和不同之处吗？

学生发现：它们的侧面积相同，但表面积和体积却不一定相同。教师引导学生思考原因，促进学生对表面积和体积概念的理解。

（2）教师为学生提供同样大小的长方形和三角形纸各一张，并引导学生思考：如果将纸张进行旋转，旋转后将成为什么图形？怎样旋转体积最大？

学生通过想象与操作会得出，长方体旋转后可能成为不同的圆柱，也可能成为由两个圆锥组成的组合体;三角形旋转后可能成为圆锥体。在此基础上，学生计算与比较得到的图形体积。

（3）教师引导学生想象将长方形、三角形等图形进行平移的过程，并提问：“通过平移的过程，你有什么发现？结合上节课的学习你想说些什么？”让学生进一步从平面图形平移运动形成直柱体图形的角度理解直柱体体积公式之间的关系。

环节二：通过切圆柱的过程促进沟通理解

（1）利用课件呈现一个圆柱体，引导学生想象切圆柱体的过程：如果将圆柱体横着切，切一刀增加2个圆形底面;如果竖着切，切一刀增加2个长方形;如果斜着切，切一刀也会增加2个长方形，切的角度不同，得到的长方形大小也不相同。学生进而通过对比沟通，发现将圆柱体切一刀以后，圆柱体的体积保持不变，表面积增加了。

（2）利用课件呈现一个圆柱体，引导学生想象削圆柱体的过程：在圆柱体内削出一个最大的圆锥，这个圆锥和原来圆柱体的体积之间有什么关系？通过对比沟通，发现关系。

在课时2的教学中要注意，如果教师在人教版六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》的“整理与复习”中就已经做得很充分了，那么总复习阶段，只需要学生使用“思维导图”将碎片知识连成体系即可。

“立体图形”的复习，虽具有其知识的特殊性，但对于其他内容的复习课，甚至是不同的课型，都具有共性。立足学生，深读教材，对有限的素材以真问题为统领，进行重组与调整，再配以精选习题组，课堂的推进效果可能会更好。“让学生源源不断地获得思维的增量”这一教育追求，才可能实现。

（浙江省安吉县高禹小学   313309）