如何研究一节课的数学教材？

深入开展一节课的教材研究

整本或整套教材主要由一节课一节课的教材组成，开展一节课的教材研究十分重要。浙江省特级教师、正高级教师朱乐平带领一课研究团队，对如何开展一节课的教材研究做了多年的探索。本期话题选择了朱老师及其团队的一组文章，这组文章阐述了一线教师如何研究一节课教材的方法以及多个研究的样例，以期让读者能够进一步关注教材研究，总结提炼研究方法，分享研究成果，促进研究的不断深入。

【摘   要】對一节课的数学教材研究可以做多套教材的比较研究，也可以做单一教材的研究。在比较研究中，可分纵向、横向比较研究。无论是做比较研究或单一教材的研究，都可以做纯文本研究，也可以对学生或教师进行测试或调查，做这一类实证研究。不难看出，不断提出问题和解决问题会让研究深入。

【关键词】小学数学;乘法分配律;教材研究

教材是重要的课程资源。教材研究不仅是教材编者的事，一线教师要上好一节课，同样需要研究教材。想要进行专题研究也可以选择一节课的教材展开。这里的“一节课的教材”是指为了教学新知识编写的新课部分和练习部分的教材。本文试图从一线教师的实际出发，阐述如何研究一节课的数学教材，以期与同行交流探讨。

一、多套教材的比较研究

（一）什么叫多套教材的比较研究

一节课的数学教材一般可以分成正文与练习（习题）两个部分，正文主要是指例题以及与例题相对应的引导与解答。多套教材的比较研究是指根据同一节课（或称同一个知识点的教学），至少选择两套教材，对其正文部分或练习部分进行比较研究。通过比较教材之间的相同点与不同点，也就是研究它们的异同，从而得到对教材编写或对教学活动的启示和建议。

（二）选择哪些维度对多套教材进行比较研究

要对教材进行比较研究，需要确定一些维度，这些比较的维度也称为比较研究的分析框架。已经有许多大学学者进行过小学数学教材的比较研究，发表过许多研究成果。这些成果中就有比较的维度，有如何进行小学数学教材比较的分析框架，这些成果一线教师可以直接借鉴。比如，宋运明等人[1]提出了以下从8个维度对教材例题进行比较研究的分析框架：知识领域、情境倾向、情境类型、有无插图、有无点拨、启发方法、思路方法、其他事项。张文宇等人[2]又在宋运明老师研究成果的基础上，提出了从“情境类型、表征形式、有无点拨及点拨类型、启发方法、解题方法的多样化、回答方式”6个方面来研究例题的编写特征。一线教师可以根据某一节课教材的特点并借鉴上述成果，建立自己的分析和研究框架。

在上述研究维度的基础上，一线教师还可以把“教材设计是不是方便课堂中师生的操作”作为一个研究维度（可以称为“操作性”维度）。比如，有一套教材[3]在编写四年级“乘法分配律”的教学内容时，提供了以下问题情境（如图1），让学生计算两扇屏风一共有多少块玻璃。教材编写的意图是：可以左右两扇屏风一扇一扇的计算玻璃块数，也可以两扇屏风一起算块数，这样就可以得到一个等式12×5+9×5=（12+9）×5，进而为观察、发现乘法分配律奠定基础。这样的教材设计思路不错，但当考虑到课堂中师生的操作时，就有了问题。根据图示，要列出正确算式的前提是学生必须正确数出一行有多少块玻璃，有多少行。由于是“实物图”，这个数数的过程学生极易发生错误。事实上，学生“很容易数错”并非只是我们的主观推测，调查结果也已经验证了这一点。虽然数的过程也有价值，但与让四年级学生观察得出算式相比，就不必在数数中设置障碍了。可见，从进入课堂操作的角度来说，这不是一个好的情境图。又如，“分数的认识”这样的内容，同样是让学生理解把一张纸平均分成若干份，表示这样的一份或几份，如果有一套教材要求学生动手操作，把一张长方形的纸平均分成8份，表示这样的3份。而另一套教材也要求学生动手操作，把一张长方形的纸平均分成7份，表示这样的3份。由于学生把纸等分成8份比等分成7份要方便，虽然等分成7份也有教学价值，但从课堂操作方便性的角度来说，前一套教材的设计更好。也就是说，在数学结构相同、要达成的目标也基本相同的前提下，教材在编写时要注意给师生提供较为方便的课堂操作内容。

（三）对多套教材进行比较研究有哪些类型

对多套教材进行比较研究可以分成纵向比较研究与横向比较研究两类。

1.纵向比较研究

教材的纵向比较研究是指比较研究同一节课不同历史时期教材的异同，在异同的比较中，得到启示或建议。小学数学的教学内容，虽然会随着历史的发展动态地发生变化，但有许多知识是相对不变的。比如，人民教育出版社（以下简称人教社）1959年出版的高级小学课本《算术》第一册（暂用本）中有乘法分配律这一内容，人教社2014年出版的《义务教育教科书数学（四年级下册）》中也有这一内容。这样我们就可以对乘法分配律这一节课的教材作纵向的比较研究。研究这节课在不同历史时期的教材中是如何编写的，各有什么特点，它们的异同对我们今天的教材编写与教学活动会有什么启示和建议。

2.横向比较研究

教材的横向比较研究是指对同一时期出版的不同版本的教材进行比较研究。在做横向比较研究时，可以只对多套教材中的正文部分进行比较，也可以只对多套教材中的练习部分进行比较。在练习的比较中，关于“习题难度比较研究”是一线教师比较容易做到的。在比较习题难度时，需要建立一个习题难度的分层次标准，也就是把我们平时所说的哪些习题比较容易或比较难，进行一个更为客观的描述，把不同难度的习题分成水平一、水平二等不同的水平等级。建立了各水平层次的衡量标准后，可以从数量和质量两个方面对教材中的习题进行分层次研究，最后得到启示与建议。这样的研究成果分享后，有利于教材编写者更好地编写教材，执教者更好地用教材教学。

无论是做纵向比较研究，还是做横向比较研究，都可以运用不同教材提供的文本，对学生、教师做一些测试、访谈或调查等实证研究。这样可以在原来凭经验、凭理论、凭思辨判断的基础上，增加用数据进行判断的维度，使得出的结论更科学，建议更具体。比如，乘法分配律这一内容，在人教社1989年和2014年出版的两版教材中，开头都是一个应用题（问题情境），1989年版的教材是求4套课桌椅的总价，2014年版的教材是求25个小组的总人数。在这两个问题情境中，哪一个情境图更有利于学生得出乘法分配律，或者说哪一个情境更好，可以凭经验或思辨进行判断，但如果再增加测查数据，就会使得出的结论更科学。要进行优劣判断，就要根据这个情境承担的功能，先建立“好的”标准：（1）能够独立正确解决这个应用题的学生数要多一些;（2）因为希望得到类似（10+5）×4=10×4+5×4这样的算式，而左右两边实际上是用两种不同的方法解决同一个问题得到的，所以能够用不同方法解决同一个问题的学生数要多一些;（3）学生与教师喜欢的程度要高一些。而后再选择两个无显著性水平差异的班级，让学生分别独立去解决上述两个问题，正确率如何？用两种不同方法解决同一个问题的学生数是多少？教师与学生更喜欢哪一个版本？理由是什么？这些问题都可以通过测试、问卷调查和访谈得到回答，进而可以更好地研究各版本教材的特点，甚至优劣。

众所周知，好教材有利于教师的教和学生的学。研究哪一个版本的教材学生的自学效果比较好，也是教材研究的一个维度。研究路径可以粗略地描述为：（1）前测，确定水平相当的两个班;（2）两个班的学生分别自学不同版本的教材;（3）后测，比较自学后的水平;（4）让学生写一写在自学中，觉得教材哪些地方不太看得懂，哪些地方有点难;（5）把两版教材提供给同一个班的学生，让他們选择更喜欢哪一版教材，并写一写理由。完成上述工作后，再对学生的自学效果与喜欢程度等做定量与定性的分析，写出研究结果并分享，能够给教材编写者与执教者以启示。

二、一套教材的分析研究

对一套教材中某一节课的分析与研究，通常有以下两种类型。

（一）在整体视角下，对一节课的数学教材进行分析研究

一节课的教材常常不是孤立存在的，它是整个单元或整套教材的一部分，从整体的视角出发研究一节课的教材，就会有“全局观”或“整体观”。所以在研究一节课的教材时，需要分析这一节课的教材在整个单元或整个教材体系中的地位与作用，看一看这节课教学的知识点的“来龙去脉”。比如，研究“乘法分配律”这节教材，它不但是“运算律”这个单元的一部分，而且这个知识点，在整套教材中都有渗透和应用。可以在整套教材的研究视角下，看“乘法分配律”的“前世今生”。通过梳理会发现，在没有学习乘法分配律以前，教材中已经有很多地方应用了乘法分配律。比如，有教材把乘法分配律的新课教学放在四年级，但在二、三年级学习一位数、两位数乘法时，已经多次应用乘法分配律来说明算理。这种多次“未学先用”的情况非常特殊，需要编者和执教教师引起足够的重视。通过这样的研究也进一步引出一个可以更深入研究的问题：是不是可以在二、三年级教学乘法分配律？我们的研究表明这是可行的。

在整体观念下，可以提出与这节课教材整体上相关的问题，并做更深入的研究。比如，学习了乘法分配律后，可以提出问题：学生学习了乘法对加法的分配律后，他们会自觉地迁移到乘法对减法的分配律吗？在整数范围内得出的乘法分配律，学生会迁移到小数和分数中吗？乘法对加法存在着分配律，有多少学生会认为除法也存在着分配律？对这些问题可以做进一步的深入研究。比如，关于“除法是不是有分配律”的教学，可以设计以下问卷（如图2）对学生进行测试和访谈。在测试与访谈的基础上，分析学生的认知水平。

（二）在局部视角下，对一节课的数学教材进行分析研究

在分析研究一节课的教材时，不但要有“整体观”，而且要有“局部观”。这里的局部观是指要对教材中的每一个部分进行仔细的研读，使得思考不断深入。对教材的“局部”可以从以下两个方面入手进行深入研究。

1.不断提出问题

要使自己的思考不断深入，可以采用提问的方法，即面对教材一个又一个的局部，不断地提出问题，也可以不断尝试凭经验或实证去解决问题，提出问题与解决问题的过程，会使思考深入。这样的研究无论对教材的编写，还是对教学的设计都将是十分有益的。比如，人教版教材在编写“乘法分配律”这一内容时呈现了“小学生植树”的问题情境图。在情境图下方，用“对话”的形式给出了两条信息：“一共有25个小组，每组里4人负责挖坑、种树，2人负责抬水、浇树。”“每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水。”在这两条信息的下面给出一个问句：“一共有多少名同学参加了这次活动？”面对这个局部，可以提出以下问题。

（1）学生看到这样的信息，能够由条件和问句组成数学问题吗？能够正确选择条件与问句进行匹配的学生数是多少？占全体学生的百分比是多少？

（2）有多少学生受到了“每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水”这一信息的干扰？这些学生组成的问题是怎么表达的？

（3）在回答“一共有多少名同学参加了这次植树活动”这个问题时，学生需要列式计算。有多少学生用分步式？比如，列式计算的过程是25×4=100，25×2=50，100+50=150。有多少学生能够列出综合算式？

（4）教师是希望学生列分步式，还是列出综合算式解决这个问题？如果题目中增加“要求列综合算式解决”是不是列综合算式的学生数会增加？如果会，会增加多少？增加的学生是能力比较强的，还是能力比较弱的？原因是什么？

（5）在解决这个问题时，可以用两种方法解决：方法一：25×（4+2）=150;方法二：25×4+25×2=150，用方法一、方法二的学生数各是多少？在实际教学中，当用方法一、方法二的学生数各占多少比例时比较理想？

（6）同时运用方法一和方法二，也就是运用了两种方法解决问题的学生数是多少？如果增加“要求用两种方法计算”这样一个要求，用两种方法解决问题的学生数是不是会增加？如果是，会增加多少比例？增加的学生是能力比较强的，还是比较弱的？

（7）能够正确列出算式的学生中，有多少知道算式中每一个数的含义？每一步计算解决了什么问题？不能正确列出算式（包括没有列出算式和列出错误算式）的学生的主要困难是什么？比如，有没有学生把“4人负责挖坑、种树”理解成“4个人挖坑，4个人种树”？

（8）有多少学生能够根据两个等式25×（4+2）=150，25×4+25×2=150，得出一个新的等式25×（4+2）=25×4+25×2？有多少学生能够用“因为……所以……”这样的表达方式陈述得到一个新等式的推理过程？

（9）让学生列出具有乘法分配律样子的等式：①25×（4+2）=25×4+25×2;②25×4+25×2=25×（4+2）时，有多少学生列的是①式？有多少学生列的是②式？

（10）让学生观察具有乘法分配律样子的等式时，是①式更容易发现规律，还是②式更容易？理由是什么？

（11）以上这些问题，教师是如何回答的？他们的回答与学生的实际情况“吻合”程度如何？

从理论上说，可以对教材的每一个局部内容提出类似于上面这样的问题，在这些问题中，有些是教材编写者特别要注意的，有些是执教者要特别关注的。有了这些问题，我们也就有机会选择自己感兴趣的部分问题做更为深入的研究。

2.通过测试、访谈或问卷调查解决问题

解决由教材提出的问题有多种途径，可以凭经验解决，可以找理论解决，也可以对学生、教师做测试、访谈或问卷调查，通过实证研究解决问题。比如，青岛出版社出版的《义务教育教科书数学（四年级下册）》在编写乘法分配律这一内容时，要求学生根据情境提出问题（如图3）。

这是教材的一部分，可以对这个局部进行深入研究。如可以研究：根据这个情境，学生会提出什么问题呢？提出的问题与乘法分配律有关吗？有多少比例的问题与乘法分配律相关？与乘法分配律相关的问题，学生有能力解决吗？等等。可以带着这些问题对学生做测试，并对测试的结果进行分析;还可以在教师中进行调查，让教师写一写学生可能会提出哪些问题，再对教师认为学生可能提出的问题进行分类，与学生实际提出的问题进行比较，看一看“吻合”程度。带着问题走向实证研究，在与学生和教师的交流中进一步发现问题，进一步去研究和解决问题，这就是“教学研究在深入”。

应该说，凭经验、凭理论、凭思辨解决问题都很重要，但仅有这些远远不够，如果可能，还需要对学生和教师进行测试、访谈或问卷调查，做这样的实证研究后，我们对教材的研究就会更加客观深入。

综上所述，在对一节课的教材进行比较研究时，需要建立研究的分析框架，根据分析框架对教材做纵向或横向比较研究。对一套教材进行研究时，可以从整体视角出发弄清这节课的地位与作用，梳理知识线索，从而获得启示与建议。提出问题会让思考更深入，带着问题对学生或教师做一些测试分析，做问卷调查或访谈研究，在与学生和教师交流的过程中，又可能发现新的问题。这种实证研究的方法更加尊重事实，强调精确，推崇理性和逻辑，也会进一步提升教师的经验与理论水平。

参考文献：

[1]宋运明，李明振，李鹏，等.小学数学教材例题编写特点研究[J].课程·教材·教法，2014，34（2）.

[2]张文宇，张守波.海峡两岸小学数学教材分数内容例题的比较研究[J].数学教育学报，2015，24（3）.

[3]趙杏梅.义务教育教科书数学四年级下册[M].石家庄：河北教育出版社，2012.

（浙江省杭州市上城区教育学院   310003）