解题中的“比”

【摘   要】解题是数学教与学的重要内容和活动。解题教学中经常采用的思路是从未知找已知、从已知算未知，这样的思路将“算”视为解题的核心活动。事实上，解题过程是复杂的思维过程，如果将“关系”的眼光融入解题教学，可以生成更多并且更加简捷的解题方法。同时，可以让学生经历看、想和做的过程。

【关键词】关系;解题;比;比例;正比例;反比例

数学课程内容中的“比（Ratio）”至少有两种意义，一种是“计算”的理解，把比视为除的运算;另一种是“关系”的理解，把比视为数或量之间的关系。[1]解题过程中，两种理解会导致不同的解题思路和方法。

一、“解题”的理解

“解题”是数学教学中最为普遍的教学和学习的内容，也是学习数学过程中最为常见的活动。解题活动体现于课堂教学、家庭作业以及各种考试中，解题的成败往往成为评判数学学习水平的依据。

解题教学中一般会将问题中的元素分为“已知（Given）”和“未知（Unknown）”，对问题进行分析与理解，普遍采用的模式是“从未知找已知”，这样的过程也称为“分析法”。比如一个行程问题所要求的未知量是速度，由于“速度等于路程除以时间”，因此就需要在已知条件中寻找路程和时间，如图1所示。

该方法遵循的逻辑是“如果已知路程和时间，那么就可以求出速度”。解题则是反过来计算的过程，也就是“从已知算未知”的过程。如果在问题表述中寻找到对应的已知，则将已知数据代入相应公式进行计算得到未知。行程问题中，如果未知是速度，已知条件中已经明确给出相应的路程和时间，这时就可以套用公式“路程[÷]时间”计算出答案（见图2）。

这种对解题的理解，是将“公式”视为解题的工具，将“计算”视为解题的方法，将计算结果的“正确”视为解题质量的标准。用这种“计算的眼光”解题，一旦“从未知找已知”失败，那么“从已知算未知”就会出现困难，甚至无法实施。下面运用一个实例加以说明。

二、计算的眼光

马克斯·韦特海默（Max Wertheimer，1880 —1943）是德国著名心理学家，格式塔心理学的创始人之一，生前与著名物理学家爱因斯坦为好友。他在与爱因斯坦的通信中，曾经提出过一个问题。

问题：一辆老旧汽车，行驶2英里路程，前半程1英里是上坡，后半程1英里是下坡。如果前半程1英里上坡速度不超过每小时15英里，那么后半程1英里下坡行驶多快，才能使得全程平均速度达到每小时30英里？[2]

爱因斯坦在回信中没有给出问题的解决过程，只是给出结论，并且称这个问题确实迷惑了自己，戏称“我们是多么愚蠢”。为了行文方便，下面的讨论把问题叙述为问题1的形式。

问题1：某人驾车从甲地到乙地办事，计划用平均每小时60千米的速度，可以按时到达。行驶到全程距离的一半时，发现前半程平均速度只有每小时30千米。为了按照原计划时间到达乙地办事，后半程需要加速行驶。那么后半程速度增加到每小时多少千米，才能按照原计划时间到达？

如果把速度理解为路程与时间相除的运算结果（商），那么用计算的眼光看，求速度就需要先知道后半程的行驶路程和所用时间。而这两个量在问题表述中都没有出现，因此出现了条件不足的情况，也就是“从未知找已知”出现困难。此时可以采用的策略是通过“设数”补足条件，比如假设全程距离为“240千米”，这样就把问题1改变为问题2。

问题2：某人驾车从甲地到乙地办事，全程距离为240千米。计划用平均每小时60千米的速度，可以按时到达。行驶到全程距离的一半时，发现前半程平均速度只有每小时30千米。为了按照原计划时间到达乙地办事，后半程需要加速行驶。那么后半程速度增加到每小时多少千米，才能按照原计划时间到达？

这样就可以直接套用公式“路程[÷]时间”，从已知算未知。

第一步：从甲地到乙地原计划所用时间

240[÷]60=4（小时）

第二步：行驶到半程实际所用时间

（240[÷]2）[÷]30=4（小时）

第三步：后半程实际剩余时间

4-4=0（小时）

由于原计划中的全程时间在前半程已经用尽，因此后半程无论怎样加速，都无法按时赶到目的地。这个解题过程是将着眼点放在计算上，其特点是参与运算的数据必须齐全，有了足够的数据，按照一定的程序逐步操作并完成。

类似于此，如果有了分数计算的经验，还可以将全程距离设为“1”，那么到达半程行驶距离就是[12]。因此行驶全程计划所用时间为：[1÷60=160]，行驶到半程实际所用时间为：[12][÷]30=[160]。由于行驶到半程所用时间与计划行驶全程时间相同，因此后半程无论如何提速也无法按时到达。

以上做法遵循的思维方式是利用公式进行运算，是一种程序化的操作过程。行程问题中三个基本量分别为路程、时间和速度，其关系表现为如下的公式：

这些公式均显示出行程问题三量之间的关系，这样的关系可以实现“知二求一”的需要，即：

“知二求一”是一种“如果—那么”的因果推理，也就是“如果知二，那么求一”，其中“知二”是條件，“求一”是结果，具体可以表述为：

值得注意的是，“知二”是导致“求一”可能发生的条件，也叫作充分条件，但未必是必不可少的必要条件，“如果已知路程和时间，那么可以求出速度”，并不意味着“如果不知路程和时间，那么不能求出速度”。“知二求一”中的“知二”是“求一”的条件，但未必是唯一必要的条件。

导致某事发生的条件，其“充分性（Sufficient）”指的是“有之则必然，无之仍可然”，“必要性（Necessary）”指的是“有之未必然，无之必不然”。“知二”具有“求一”的充分性，但不具有必要性。因此求速度，除了已知路程和时间，还可能存在其他方法。

三、关系的眼光

对于行程问题中的路程、时间和速度，仅视为是知二求一的运算关系是不够的，三者实质是依赖与制约的协变关系（Covariation）。当其中一个量确定不变时，另外两个量之间分别表现为正比例或反比例关系。所谓正比例关系，指的是两个变量存在“此升彼涨”或“此降彼落”的关系，一个量增加或减少，另外一个量也随之增加或减少，而且增加或减少的倍数相同;所谓反比例关系，则是指两个变量存在“此起彼落”或“此落彼起”的关系，一个量增加或减少，另一个量随之减少或增加，增加或减少的倍数相同。

用关系的眼光看，前面的问题1不需要“从未知找已知”的分析过程，也不需要“从已知算未知”的计算过程，而是要着眼于事件的变化过程，从整体把握量的变化与协变规律。

前半程的计划速度是每小时60千米，实际速度是每小时30千米。这句话描述的是前半程速度从计划到实际的变化，从计划速度改变为实际速度，两个速度的关系可以用同类量之间的比，描述为实际速度与计划速度的比“30∶60”。

这个比意味着前半程速度降低为计划速度的一半（[12]），对于前半程这个确定的距离来说，运用速度与时间的反比例关系，实际所用时间就要加倍，即成为计划时间的2倍，也就是前半程实际所用时间已经是计划所用时间的2倍了，意味着行驶全程的一半所用时间，已经是计划到达目的地的时间了，因此后半程无论如何加速，也不可能按时到达了。

这样的思维过程不同于前面计算的眼光，是从实际速度与计划速度之间的关系（比），利用速度与时间的反比例关系，想到实际时间与计划时间的关系（比），进而通过这个时间的关系得到问题的结论。像这样从比与比的关系获得判断的思维过程，也叫“比例推理（Proportional Reasoning）”。

从前面的分析过程和结论可以发现，前半程速度降低为计划速度的一半或[12]，是无法按时到达的临界点，前半程实际速度小于或等于每小时30千米，都无法按时到达。如果前半程实际速度大于每小时30千米，那么应当通过后半程的加速，可以实现按时到达。比如将前面问题1中前半程速度“30千米/小时”改变为“40千米/小时”，得到问题3。

问题3：某人驾车从甲地到乙地办事，计划用平均每小时60千米的速度，可以按时到达。行驶到全程距离的一半时，发现前半程平均速度只有每小时40千米。为了按照原计划时间到达乙地办事，后半程需要加速行驶。那么后半程速度增加到每小时多少千米，才能按照原计划时间到达？

同样运用从比到比的关系眼光，此时前半程速度为每小时40千米，前半程实际速度与计划速度的比为“40∶60”，也可以用分数表示为比值[23]，那么前半程所用时间与计划时间的比为“3∶2”，也就是前半程实际所用时间是计划时间的[32]。全程确定不变的时间是2，那么后半程还有2-[32]=[12]的时间，因此后半程可用时间减少为计划的一半。为了按时到达，速度就需要提高为计划速度的2倍，也就是将计划速度的每小时60千米加倍，变为每小时120千米。

这样的解题过程并没有使用路程、时间和速度三量之间“知二求一”的运算，其中的“[4060=23]”是前半程实际速度与计划速度之间的关系;“[2-32=12]”是把全程时间视为2，进而求出后半程剩余时间为计划时间的一半;“[60×2=120]”是对后半程计划速度加倍。

整个解题的思维过程依据的是在全程和半程距离确定不变的前提下，运用“速度与时间成反比例”的关系，从前半程实际速度与计划速度之间的比，推理出前半程时间与计划时间之间的比;進而得到后半程计划时间与实际时间的比，最后推理出后半程实际速度与计划速度的比。

因此可以说，整个解题的思维是从关系到关系的推理过程，而不是“知二求一”的计算过程。事实上，解题过程蕴含着复杂的思维活动。这样的思维活动不可能用“从未知找已知”和“从已知算未知”概括。从教学的角度看，对关系的认知重在比较的思维活动，偏向于质性的推理，而运算侧重于程序化的操作，更强调规则的执行。

数学教学的终极目的是数学教育，教育的目的是人的发展。综上可以看出，作为数学课程内容中的“比”，不同于像“分数”或“三角形”这样的概念，代表某类对象的名称。“比”的实质是人对数或量及其关系的看法、想法和做法，因此数学教学应当让学生亲身经历这种看、想和做的过程。

参考文献：

[1]郜舒竹. 释“比”[J]. 教学月刊·小学版（数学），2021（6）：1-5.

[2]LUCHINS A S， LUCHINS E H. The einstein-wertheimer correspondence on geometric proofs and mathematical puzzles[J]. Mathematical Intelligencer， 1990，12（2）：40-41.

（首都师范大学初等教育学院   100048）