一道自主招生试题的解法探究与变式

贺凤梅

(新疆伊犁巩留县高级中学 835400)

近期，在高三复习课过程中,笔者多次见到与2017年清华大学能力测试第12题同类型的试题，呈现形式多以选择题或填空题为主.我尝试着用此题训练所教的学生，效果极不理想，很多同学几乎没有任何头绪.这种现象引起了笔者的关注，并由此展开了对此题解法的探究，以期达到抛砖引玉的效果.

一、题目呈现

题目(2017年清华大学能力测试第12题)已知实数x,y满足5x2-y2-4xy=5，则2x2+y2的最小值为( ).

二、总体分析

这道题条件看似简单，在二元二次的条件下求二次目标函数的最值，但从学生实际解答来看，想要得出正确的结果并不容易.很多同学由于不得要领，一头雾水，不知从何处着手解答此题.事实上,此题解答的方法有很多种.例如采用配方法，借助三角换元来解决，这是最常规的方法；仔细分析此题，发现等式的左边可以进行因式分解，而且可以分解成两个一次因式的积的形式，也可以以此作为解题的突破口；对于这类题，判别式法也是一个常见方法.下面我们从不同的视角来探究此题.

三、解法探究

视角1 依托配方法和三角换元作答.

整理,得(25z+33)t2+40t+50-25z=0.

评注通过以上求解过程不难看出，运算过程相当繁琐，计算量大.分析此题发现，将已知条件左边进行配方可得平方差关系，这种形式对于一般学生，三角换元不易实现(超出了课程标准，本质是不作要求的同角三角函数平方关系)，而且计算过程相当繁琐.因此，我们需要另辟蹊径，以期达到简便运算，快速正确求解的效果.

视角2 通过普通换元，借助基本不等式作答.

解法2 将5x2-y2-4xy=5的左边进行因式分解，得(5x+y)(x-y)=5.

设5x+y=a,x-y=b,则有ab=5(a≠0,b≠0).

①

将①②③代入2x2+y2中，

评注解法2通过因式分解后换元，将整理好的式子代入目标函数，消元得到关于a的分式函数，借助于均值不等式得出结果，本解法消元很巧妙.

针对解法2中a,b的关系，可以进一步作消元处理：

将④⑤代入2x2+y2中，化简整理，得

下同解法2.

视角3 利用导数作答.

解法4 结合解法2，化简整理,得

由g′(a)=0，解得a2=15.

当a2∈(0,15)时，g′(a)<0 ,

当a2∈(15,+∞)时，g′(a)>0 ,

评注利用导数求函数的最值问题是非常实用和重要的方法.大家在平常的教学中，遇到求最值的问题，不妨利用导数求解试试看，一般都能得解.充分展现导数求解最值问题的魅力.

视角4 利用三角换元，借助基本不等式作答.

代入2x2+y2，整理并求解,得

由基本不等式,得

评注本解法中定值absinαcosα=5，提示我们向基本不等式方向寻找突破口，这是一种解题能力.

代入2x2+y2中，整理并求解,得

下同解法5.

下同解法5.

评注解法5,6,7本质上是相通的，我们期望这些训练让学生的知识融会贯通，在比较中发现知识间的联系.

视角5 巧用三角换元，借助辅助角公式作答.

评注辅助角公式在三角函数求最值时也经常出现，当然更多的时候是以配凑特殊的角的形式呈现.教学中，我们一定要给学生讲清其本质.只要学生理解了公式的内涵，才能达到灵活应用的目的.

视角6直接用极坐标换元，借助于判别式作答.

进一步换元，令2x2+y2=z，tanθ=t，化简,得

(5+z)t2+4zt+(10-5z)=0.

由Δ=(4z)2-4(5+z)(10-5z)≥0，

得9z2+15z-50≥0，(3z-5)(3z+10)≥0.

评注此解法以所要求解的结论为出发点，借助三角换元和二次函数的判别式来解决，解法相对比较新颖，可以在教学中适当展示，拓宽学生的视野和解题思路.

四、追根溯源

此题与2011年全国Ⅱ卷理科第16题有很大的相关性.

求解展示从略，有兴趣的读者可以自行查阅.

本题无论从一般换元法，还是从三角换元法入手，甚或导数法、极坐标换元法等，均可以顺利解答，只是求解过程或简单或繁琐.当然本文所研究试题的一个显著特点在于已知条件的左边可以进行因式分解，所以解决起来更加便捷.

五、变式训练

变式1 若正数a,b,c满足(a+c)(b+c)=2，则a+2b+3c的最小值是____.(答案：4)

说明本道题的已知条件呈现的是两个一次因式的乘积，并且是定值，明显降低了难度，利用三角换元或极坐标换元均可以顺利解决.

说明此题可以尝试直接利用极坐标换元法；如果大家可以进行适当配凑(x+1)(y+2)=6，就可以利用变式1的解法求解得出结果.

变式3正数x,y满足x2+2xy+4y2=6，求x2+4y2的取值范围.(答案:[4,12])

说明本题不能进行因式分解，因此要考虑采用配凑法，利用三角换元解决；或直接利用极坐标换元来求解.

六、教学反思

对于一道典型题，哪怕是一道小题,我们也不能小觑.这道题可以说是小题虽小,却能以小见大,内涵丰富.因此我们一定要弄清题目本质，还要根据不同的形式进行适当地变式训练，通过分析选择合适的解题方法.以期达到做一题，通一类，会一片的目的.同时，高中数学课程要以发展学生为本，启发学生思考，引导学生把握数学知识的本质.因此，我们不能就题讲题,停留在浅层次，而是要深入探讨，而且还要善于总结同类问题的共性，找到此类问题的解决策略，将所学知识进行系统化.