高中数学解题中分类讨论思想的有效应用

2021-08-19翟阳琴

数理化解题研究 2021年13期

翟阳琴

(江苏省南通市海门第一中学 226100)

基于数学视角来看，有些问题结论不是唯一确定的，或者在解题中不能以统一的形式来研究，或者部分已知量是字母形式，字母取值不同所得结果也不同.这时应根据题目的特点和要求分成若干类，转化成若干个小问题来解决，即为分类讨论思想的应用.在高中数学解题教学中，教师需依据题目情况指引学生有效应用分类讨论思想，提高他们的解题效率.

一、分类讨论思想有效应用于集合解题

集合作为高中数学教学中的入门级内容，也是高中生最先接触的数学知识，虽然学习起来难度不是特别大，运算过程也不是过于繁琐，不过在平常考试与高考中都属于必考类题型，占据着一定的分值比例，解决好集合类的题目能显著增强他们学习数学的自信.在高中数学集合解题教学中，教师需引领学生对集合与集合及集合与元素间的关系作分类处理，部分集合问题则存在参数，他们均需准确分类后计算，从而得出正确答案，以免遗漏或多余.

例1同时满足(1)集合M⊆{1，2，3，4，5}；(2)如果a∈M，则(6-a)∈M的非空集合M有多少个？且写出这些集合.

解析本道题需按照集合M中元素个数进行分类讨论，①当M中只有1个元素时，如果3∈M，则6-a=6-3=3∈M，所以M={3}；②当M中有2个元素时，满足条件的M有2个，分别为M={1，5}，M={2，4}；③当M中有3个元素时，满足条件的M有2个，即为M={1，3，5}，M={2，3，4}；④当M中有4个元素时，满足条件的M只有1个，M={1，2，4，5}；⑤当M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个，M={1，2，3，4，5}，综合起来适合条件的集合M一共有7个.

随后教师可设计一些同类题目展开变式训练，让学生继续运用分类讨论思想解题.

该题结合集合运算主要考查分类讨论思想的应用，学生需把握好分类的依据是集合的性质，即无序性、互异性与确定性，他们无需计算，只需确保思维完整即可.

二、分类讨论思想有效应用于函数解题

函数不仅是高中数学知识体系中的重点，也是难点与常考点，属于数学考试中常见的一类题目，也是学生感到异常头疼的数学问题，他们在解题中经常出现错误，难以准确把握各种情况，容易导致答案不完整，或范围过大.因此，在高中数学函数解题教学中，教师需指导学生科学合理地应用分类讨论思想，使其认真阅读题干信息，观察是否存在变量或特殊要求，根据实际情况展开分类讨论.

例2已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2+2a+5，有最大值2，求实数a的的值.

上述案例，教师指导学生应用分类讨论思想解答函数类题目时，不仅需对函数自身进行分类，还要讨论相应的参数，使其顺利找到题目的本质，提升正确率的同时加快解题速度.

三、分类讨论思想有效应用于几何解题

在整个高中数学知识体系中，几何也占据着较为重要的地位，虽然学生对平面几何有所了解，但是高中阶段以研究立体几何为主，涉及到的知识点还较多，相应的题目难度系数也更高，他们很难顺畅解题.高中数学教师在立体几何解题教学中，可以引导学生有效应用分类讨论思想，先依据题干信息确定题目类型，再根据关键信息展开深入分析，探讨每一种可能性的存在，最后逐个列举出来，以免遗漏掉任何一种情况，从而让他们得出完整答案.

例3已知线段AB和平面α平行，平面α的斜线A1A，B1B和平面α所对的角分别是30°与60°，且∠A1AB=∠B1BA=90°，AB=a，A1B1=b(b>a)，求线段AB和平面α的距离.

针对上述案例，在解决立体几何类的题目中，点、线、面是组成几何图形的三个基本要素，当这三者的位置关系不确定时，就要对每种情况进行分类讨论求解，防止漏解.

四、分类讨论思想有效应用于数列解题

高中数学教学中涉及到的数列都是有一定规律的数列，即为等差数列和等比数列，数列类的题目虽然难度一般，但是通常涉及到变量和未知量，要想解决数列难题，分类讨论思想同样适用.在高中数学数列解题教学中，应用分类讨论思想可解决数量关系、周期性等问题，具有降低题目难度系数的效果，当学生处理数列问题时，教师应当指引他们有效应用分类讨论思想，结合题干信息仔细分类与讨论，由此简化解题过程，使其提高解题速度.

例4已知数列1，2x，3x2，4x3…，求它的前n项和.

解析由于题目中没有明确指出该数列的类型，所以教师应当提醒学生分类讨论，提醒他们考虑到x=0这一特殊情况.

先设Sn=1+2x+3x2+4x3…+nxn-1，再分类讨论:

(1)当x=0时，a1=1，a2=2x=0，a3=3x2=0，…，an=nxn-1=0，所以Sn=1+0+0+…+0=1；