对一道阿基米德三角形作业题的研究性学习

李 宁

(海南省海南中学 571158)

一、问题再现

在2020年“停课不停学”期间，笔者通过网络平台给学生布置的作业中有这样一道题目：

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点，△ABQ为阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为( ).

二、从通性通法角度解答

学生未必都能了解阿基米德三角形的性质，比如参考答案直接说∠Q为直角，就显得莫名其妙.可以着眼于求三角形面积最值的通性通法去思考.

与抛物线方程联立，得y2-2y0y-p2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=2y0，y1y2=-p2.

解法2 (根据陈英昊、姚正宇等同学的解答整理)

与抛物线方程联立，得y2-2pmy-p2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1+y2=2pm，y1y2=-p2.

三、研究性质用性质

对于抛物线y2=2px(p>0)，弦AB过焦点F，弦AB中点为M，此时的△ABQ为阿基米德焦点三角形.下面研究相关性质.

性质1 阿基米德焦点三角形的顶点Q在抛物线的准线上.

性质2 阿基米德焦点三角形底边AB上的中线与抛物线的对称轴平行或重合.

由性质2可以把解法2后半部分做一点改进：

性质3 在阿基米德焦点三角形QAB中，QA⊥QB，QF⊥AB.

由性质1和性质3，可以从几何上思考这道作业题.

图1

解法4 (根据潘逸声同学的解答整理)过点A,B分别向准线引垂线，垂足为点D,E.由点B向AD引垂线，垂足为点C，准线与x轴交点为点G.

在Rt△ADQ和Rt△AFQ中，AQ为公共斜边，|AD|=|AF|，从而|DQ|=|QF|.

同理，|EQ|=|QF|.

点评如果熟悉性质，解决这道作业题还是挺轻松的，如解法3.但是如果是解答题，还是需要严格论证，掌握通性通法.

四、相关练习

练习1 已知抛物线C:y2=4x，圆M:(x-a)2+(y-2)2=4，若圆M上总存在点P，使得过点P的抛物线C的两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是____.

练习2 已知抛物线C:x2=4y，点M是C的准线l上的动点，过点M作C的两条切线，切点分别为P,Q，若O为坐标原点，则O到直线PQ的距离的最大值为____.

练习3 过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作直线l交抛物线于A,B两点，抛物线在A,B两点的切线交于点Q.若|AB|=8p，则S△QAB=____.

参考答案：1.[-3,1](轨迹思想，切线相互垂直则切线交点在准线上，只需⊙M与抛物线准线有公共点即可)；

2.1(定点意识，直线PQ过焦点)；