过程哲学视域下初中数学拓展性课程的开发与设计

斯海霞，叶立军

为促进不同特质学生的个性化发展，以满足当前创新型社会对多样化人才的培养需求，拓展性课程逐渐成为中小学校课程的重要组成部分[1][2]。该类课程为学校自主开发、开设，具有选择性、层次性等特征，是开展适应性教学，促进学生个性化发展的重要载体[3]。但目前国内拓展性课程开发及实施水平仍有待提高，特别是知识类拓展性课程，易异化为基础课程教学内容的巩固与加深，忽视了该类课程应具有的选择性、层次性、创造性等特征[1][4][5][6]。因此，有必要从课程建设理论基础出发，厘清拓展性课程开发与设计的基本问题。

课程的哲学基础是推动课程改革实践发展的重要议题，过程哲学所蕴含的过程性、关系性、创造性、整合性思维，为我国深化课程改革提供了新的思维与视角[7]。过程哲学视域下课程设计的方向是整合，课程目标需凸显学科伦理价值——善，课程内容设计注重课程的过程思维与关系思维，课程实施本质上需引导学生经历再创造，以避免产生“具体性误置的谬误”[8]。过程哲学的开创者怀特海不仅是哲学家，更是一位数学家，将其过程哲学视域下的数学观、数学教育观、课程观应用至初中数学拓展性课程的开发与设计中，突出课程设计的整合性、过程性、创造性及学科伦理价值，对数学拓展性课程建设具有一定的理论意义和实践意义，具体课程开发与设计如下。

一、践行数学学科育人功能，坚持课程育人目标

过程哲学的核心是“过程”，即事物在过程中存在、变化和发展[9]，其开创者——英国数学家、哲学家怀特海认为数学的本质是对模式的抽象过程进行研究。数学教育既要学生熟悉抽象的思想、概念，同时也应认识到如何将抽象运用到具体情境中，培养学生积极进取的意志、理性的精神、严密的逻辑思维以及对完美、简约境界的追求，即体现数学伦理价值——善[10][11][12]。

过程哲学视域下的数学拓展性课程注重以“全人教育”唤醒课程所蕴含的数学伦理价值，强调个体多样性，尊重不同个体间以及个体自我与内心世界的合作与联结[9][13]。即以基础性课程为基础，强调借助数学特有的符号系统为学生提供差异性、层次性的数学活动实践机会，并注重引导学生在多元化的数学活动实践中，有选择地进行拓展性学习，体会数学学科专业人士在学科探索过程中所经历、积累的隐形价值取向、思维方式及理性精神[14]，从而个性化地发展学生潜能，形成数学素养，践行学科育人功能[3][15]。

二、凸显课程关系思维，以主题为单位整体架构课程

（一）转变课程设计主体，明确课程设计原则

过程哲学视域下数学拓展性课程开发与设计的主体是学校、教师、学科教育研究者等。为实现上述课程目标，学校、一线教学名师、高校学科教育研究者协同组成课程开发团队（以下简称课题组）。课题组遵循基础性课程与拓展性课程相融合，课程整体统一编排与内容难度分层设计相结合，课程主题多样性与学生选择自主性相契合等原则，设计具有选择性、层次性的主题化课程内容供学生选择，以满足学生多样化学习需求，打造基础性课程与拓展性课程一体化育人的局面。

（二）整合学科内外，开发六类主题架构课程

数学拓展性课程是其基础性课程内容的拓展、延伸与整合。课题组在充分研读初中数学基础性课程教材的基础上，对基础性课程教材中的“阅读材料”、“主题学习”及“探究活动”等内容进行统整与拓展；同时，遴选具有探究价值，且与基础性课程内容联系紧密的现实素材作为数学拓展性课程素材。经反复探索与实践检验，最终研制出涵盖趣味数学与游戏、数学史话与欣赏、数学实验与探究、生活数学与应用、数学思想与方法、知识延伸与拓展的六类数学拓展主题，供师生选择。

其中“趣味数学与游戏”类主题旨在以游戏教学为手段，提高学生求知欲，激发学生数学学习兴趣，在游戏中潜移默化地巩固数学知识、培养学生的数学思维。“数学史话与欣赏”类主题旨在通过引入数学史料，丰富数学教育内涵，提高学生民族自豪感，产生文化共鸣。“数学实验与探究”类主题以问题为起点，以获得数学结果为目标，引导学生通过自主探究、合作交流，经历数学实验过程，以提升其探究能力。“生活数学与应用”类主题将日常生活中蕴含的数学知识内化为拓展性教材内容，以培养学生数学建模思想及问题解决意识与能力。“数学思想与方法”类主题将充分挖掘基础性课程教材中蕴含的数学思想方法，在帮助学生厘清数学知识发生发展过程的同时，培养学生逻辑思维能力。“知识延伸与拓展”类主题对基础性课程内容进行了适度拓展延伸，以开阔学生数学视野，提升学生数学能力[15]。这六类数学拓展性课程主题活动充分体现了各类数学学科活动特征，是教师设计适应性教学，激发学生学习兴趣，引导学生进行数学探究、发展数学素养的主要载体。

（三）融合基础性课程章节，组织课程主题单元

为更好地融合基础性课程与拓展性课程教学，课题组根据浙教版七至九年级初中数学教材章节内容及顺序，对上述六类数学拓展性课程主题活动进行章节编排。同时依据基础性课程内容在不同年级的章节量，设置了七、八、九年级拓展性课程主题数量比约为5 ∶5 ∶3.8，并将基础性课程教材中的章名称作为数学拓展性课程内容各章名称。例如七年级上册的内容章名称“有理数”、“有理数的运算”、“实数”与浙教版七年级上册基础性课程数学教材章名称及顺序一致。

三、突出课程过程思维，围绕问题探究设计课程内容

（一）设计双标题主题名称，揭示活动特征

根据主题内容特征及学生学习需求，课题组设计了139 个数学拓展活动主题，其类型分布情况如表1 所示，其中“生活数学与应用”、“数学思想与方法”、“知识延伸与拓展”类活动占比较高，均为20%以上，其余依次为“数学实验与探究”、“趣味数学与游戏”与“数学史话与欣赏”。每个活动主题节名均采用双标题设计，如“数学思想与方法”类主题活动“有序思考：有多少种可能”。提炼数学研究或问题解决的思想方法——“有序思考”作为前标题，以强化问题解决与素养导向，设计富含趣味的学习任务——“有多少种可能”作为后标题，以激发学生参与数学活动的学习兴趣。

表1 各数学拓展性课程教学主题设计分布情况

（二）增设拓展学习导引，明确主题活动起止点

虽然学校是拓展性课程建设的行为主体，但对于多数普通学校而言，主要任务是选择已有的相对成熟的拓展性课程进行“开设”[10]。因此，为方便学校及教师根据学生不同需求选择相应课程内容开展适应性教学，并使其拓展性课程教学更具可操作性。每个拓展性主题内容皆设计了学习导引，写明该主题学习与基础性课程教学相匹配的学习进度及学习目标，明晰主题活动的起止点。如表2 中“读史启智：丰富多彩的古代记数制”，明确该主题的学习起点是学生学完浙教版七年级数学教材第一章有理数的第一节之后；拓展主题的学习旨在引导学生了解古代计数方法，感受古人的智慧与创造力，提高数学学习兴趣。

表2 七年级上册前三章拓展性课程内容设计示例

（三）围绕问题探究，设计主题学习路径

怀特海认为教育应由“浪漫阶段”（最初的理解阶段）、“精准阶段”（对知识系统结构的准确性把握）、“归纳阶段”[16]18-24这三个阶段构成，每一节课都应成为一个承上启下的循环周期，该循环的学习逻辑指向寻找问题解决的本质。不同于基础性课程教学有明确的知识技能学习要求，需引导学生经历知识的形成过程，过程哲学视域下的拓展性课程可围绕问题解决设计各主题活动，并引导学生在数学问题解决过程中，经历数学再创造。因此，结合上述课程设计中涉及的各主题活动学习目标与进度，研究以“导引——问题——思考——解决——归纳——拓展”为学习路径设计每个主题活动内容。

具体设计如图1 所示，即首先在导引部分通过课题引言，引导学生从数学视角出发对现有的数学实践与经验提出问题，并明确与基础性课程相融合的学习进度及学习目标。随后聚焦具体问题，以问题为载体，带领学习者经历“思考、问题解决、归纳”三个过程；教学中可引导学习者在阅读“问题解决”的内容之前先尝试自己探索解决问题的方法，当觉得自己独立解决有困难时，可按照“思考”中提供的思路再试一试；在问题解决以后，引导学习者先尝试自己归纳解决这类问题的思路和所用到的知识、方法等，再看“归纳”内容。

图1 数学拓展性课程内容栏目设计

此后，通过设计例习题巩固、拓展阅读，提供进一步思考和拓展数学视野的资源。教师在引导学生围绕问题解决，主动思、自主学，拓宽学生发展空间与合作探究机会的同时，亦可根据学生学习基础，适时决定问题解决的程度及配套例习题。

四、避免“具体性误置谬误”，以数学化为路径设计课程实施

为避免产生“具体性误置的谬误”，即“以抽象的概念或理论去解释具体的事态，或把抽象的概念看作是具体的真实”[17]80-83，数学拓展性课程实施需注意引导学生在具体情境中经历数学抽象的过程，从而感悟严密的逻辑思维，体现数学伦理价值。上述拓展主题内容设计指向寻找问题解决本质，即引导学生以问题为基础，通过逐步数学化解决问题[18]。该过程不仅包括从学生的数学现实出发，逐步经历数学化直至形式化，以发展学生数学思维，也包括由形式化数学向现实的“复归”[19]。因此，根据已有学者提出的数学化四层次[20]及斯托利亚尔提出的数学活动三阶段，将问题解决的数学化过程分为情境层次、指涉层次、普遍层次、形式层次及应用层次。

在数学拓展性课程实施中，教师可根据六类主题特征，一方面，引导学生经历相应的数学化过程，实现数学再创造。如在“生活数学与应用”类主题教学中，引导学生经历数学化全过程；而“数学思想与方法”类主题教学则从指涉层次开始经历数学化过程；“数学史话与欣赏”则根据问题情境特征决定数学化的起点与终点层次。另一方面，鼓励学生在上述数学化活动中通过质疑、分析、解决、检验、反思评价等方式，进行独立思考及集体性学习，即开展拓展性学习，以提高学生对数学学习的兴趣，个性化地发展其潜能、形成数学素养[3][15]。

同时，为避免仅凭考试分数评价学生，需构建数学拓展性课程教学多元评价体系。建议将学生学习方式、学习态度、问题解决过程等纳入评价，以评促学，并综合学生自评、同学互评、教师评价对学生的课堂表现进行评价，设计权重比，实现评价主体的多元化。

五、结语

课题组基于数学学科特征与拓展性课程属性，运用过程哲学视域下的过程性思维与关系性思维，对初中数学拓展性课程从课程目标、课程体系、课程内容及实施等方面进行顶层设计。在具体实践中，课题组通过问卷调查发现[21]，浙江省内开设初中数学拓展性课程的学校教师中，约有30%的教师选择了课题组开发的课程内容设计教学。但相较于数学基础性课程教学有概念课、命题课、技能课等教学模式可用于帮助教师有效设计教学，教师对于如何有效开展各类拓展性课程课堂教学，发展学生数学核心素养仍有困惑。课题组后续将加强名师拓展性课程课堂教学观摩与研讨活动，强化数学拓展性课程课例研究，形成优秀教学案例，以帮助教师能根据学生需求，切实有效地开展数学拓展性课程教学。