残差T2控制图中多元自相关过程模型研究

杨茜婷

（燕山大学 理学院，河北 秦皇岛 066004）

一、引言

自相关过程在各行业领域随处可见，如工业生产、公共医疗保健、畜牧生产体系和分析实验室等。传统控制图要求序列彼此独立，自相关性的存在使得常规控制图监控效果不准确，导致漏报虚报的现象发生。此外，产品功能的多样化使得需要监控的质量不唯一，同时监控多个质量是统计质量控制的必然趋势，因此，从多元自相关序列出发，将自相关过程转换为独立的残差，设计合理的残差控制图具有重要的现实意义。

目前看，国内外学者已对残差控制图进行了大量研究。在国外，Layth和Harry首次提出了残差控制图[1]。Lu和Reynolds对比了残差均值和方差取不同偏移量时在Shewhart、CUSUM、EWMA三种控制图下的异同点[2][3]。对于整合应用控制图，Lin和Adams提议联合使用残差控制图和EWMA控制图[4]。国内对该领域的研究起步较晚，孙静、徐立广和杨穆尔是最先研究该领域的学者。他们在国内首先提出残差控制图，并引进适用于生产过程自相关的调整均值控制图理论[5]；对于残差T2控制图，从二元自相关过程发展到多元自相关过程[6][7]。朱慧明和赵锐借助贝叶斯统计质量控制模型获得残差，并用残差控制图进行监控[8]。孙秋霞和高齐圣研究序列相关性对残差控制图性能的影响，发现残差控制图在负相关过程中性能更好[9]。

以上对自相关残差控制图的研究，无论数据呈几阶自相关，学者们大多采用一阶自回归模型拟合数据。对于单变量自相关情形，肖艳和李亚平等人已通过实验对这种做法的合理性进行了验证[10]。本文针对多元自相关过程，通过蒙特卡洛方法对基于残差T2控制图的多元自相关模型进行研究，比较VAR（1）与VAR（p）预测下残差控制图的性能，并分析导致性能差异的原因。

二、拟合模型与方法

由p（p≥2）阶多元自回归模型产出的自相关数据，均可以用一阶VAR（1）和同阶 VAR（p）模型进行拟合，计算数据的真实值与拟合后的预测值之差即得到残差向量，计算得到对应的T2统计量，通过残差T2控制图监控多元自相关过程。

（一）高阶多元自相关拟合模型的构建

1.VAR（p）拟合模型

在多元自相关过程中，VAR（p）模型的表达式为

其中μ为受控的过程均值；Φ1，…，Φp为自回归系数矩阵，Φp≠0；εt为误差向量，服从正态分布，E（ε）t=0，cov（εt，ε）t=∑，∑为一个常值协方差矩阵，对于E（εtεTt+）k当k=0时等于∑，k≠0时等于0；E（Xsε）t=0，s

2.VAR（1）拟合模型

在多元自相关过程中，VAR（1）模型的表达式为：

（二）残差T2控制图

监控残差T2统计量的控制图即为残差T2控制图。残差T2控制图的下控制限LCL=0，上控制限取F分布控制限：

设残差T2控制图失控的概率为P，则ARL与多元自相关过程中的偏移量δ满足如下关系：

这里定义的残差统计量服从卡方分布，代入（7）式可直接计算ARL作为比较残差T2控制图性能的依据。

三、基于模型阶数的残差T2控制图性能对比

（一）前期准备

为不失一般性，设多变量自相关过程的维数为2，规定质量特性的受控均值 μ0=（0，0）T，则符合条件的二维VAR（p）模型满足：

下面定义VAR模型的自相关度γ，以p=2为例，计算公式如下：

（二）随机模拟生成ARL

为了直观比较 VAR（1）与同阶 VAR（p）（p≥2）预测下的残差T2控制图的性能，并验证结论的普适性，取p=2，3进行仿真实验。下面以二阶自相关数据为例介绍随机模拟过程。

对于定义的模型（8），取p=2，并给定符合要求的Φ1和Φ2，通过蒙特卡洛方法生成一组二阶自相关数据。然后，运用最小二乘法估计得到二阶自相关数据的VAR（1）模型和VAR（2）模型预测值。设犯第一类错误的概率α=0.005，则受控状态下预期的平均运行链长为200。以delta为依据，选取δ并代入式（7）中，分别计算在模型VAR（1）和模型VAR（2）预测下的残差序列在残差T2控制图中受控和失控的ARL。具体的取值方案如下：

由于VAR模型的自相关度只由Φ1和Φ2的对角元素决定，所以可保证非对角元素不变，其中c12=0.1，c21=0.2，通过调整其对角元素改变求和后对角元素的值，进一步改变模型的自相关度。以delta值取2.5作为偏移量大小的分界点，将δ的取值分为如下三种情形：受控时取[0，0]；较小偏移时取[0.5，0]，[0.5，0.5]，[0.5，1]，[1，2]；较大偏移时取 [2，2]，[2，2.5]，[2.5，2.5]，[3，3]。比较两种模型预测下的平均链长在不同偏移程度delta下的优劣。实验结果见表1、表2。

表1 VAR（2）和 VAR（1）预测下残差 T2控制图的 ARL（delta≤2.5）

表2 VAR（2）和 VAR（1）预测下残差 T2控制图的 ARL（delta>2.5）

（三）残差T2控制图性能分析

肖艳和李亚平等人发现用VAR（1）模型拟合的残差序列具有负自相关性[10]。所以对于多元自相关过程，残差向量可以用如下多元线性模型进行拟合，满足：

其中k为大于0的常数，b为常数向量，ε为误差项随机向量。所以对于（t-1）时刻的T2统计量T2（t-1）=e（t-1）T∑（0）-1e（t-1），将式（10）代入，转化后得到：

其中k、b为常数，ε是误差项随机变量。VAR（1）模型拟合的残差T2统计量序列满足正自相关关系，使残差T2控制图性能更好。

此外，肖艳和李亚平等人通过实验发现在自相关程度下降时，一阶自回归模型预测下的残差序列负自相关的程度会减弱，导致公式（10）中的 k→0，从而式（11）中的k2→0。因此在多变量自相关过程中，自相关程度的减弱会导致VAR（1）拟合下的残差T2统计量的正自相关性减弱，使残差T2控制图探测异常变得灵敏。

对于三阶多元自相关数据，同样用上述随机模拟方法，得出的结论一致，即VAR（1）下的残差T2控制图优于VAR（3）。同时，影响残差T2控制图性能的因素也与二阶的情形相同。验证了上述结论的普适性。

四、结语

本文主要对基于残差T2控制图的多元自相关过程模型进行研究。通过随机模拟实验，对比分析两种模型下的ARL，发现通过VAR（1）预测的残差T2控制图的性能优于VAR（p）拟合模型，这一发现可以使对残差T2控制图的后续研究减少定阶过程，以节约定阶所需的时间和成本。这一发现也与肖艳、李亚平等人对单变量情形的研究结论基本一致。◆