数学直觉错误的来源分析及其蕴藏的教育价值

摘    要：数学直觉是人脑对数学问题及其本质属性的直接感悟，具有或然性特征. 如果直觉依靠的经验出现错误，或是其背后所蕴含的逻辑出现错误，都可能导致直觉出现错误.仔细研究错误产生的原因，比如概念运用不恰当、不完全归纳、已有经验局限性、模型运用不当、研究方法固化、负迁移、视觉图像模糊隐蔽等，再巧妙地利用数学历史发展进程中的直觉错误以及学生容易发生的直觉错误等资源创设情境，可以激发学生的学习积极性，使学生从经验性直觉向理性直觉转化，并学会用逻辑的方法来论证直觉.

关键词：数学直觉;直觉思维;直覺错误

一、数学直觉的内涵及“或然性”特征

数学直觉是人脑对数学问题及其本质属性的直接感悟.它以一定的知识经验为基础，不受固定逻辑规则约束，并以洞察、预见或者合情推理等直接推断形式，对各种思想组合进行敏锐的分析、鉴别并选择，从整体上把握数学事物的规律.

数学直觉思维一般表现为直念、灵感和想象这三种具体的形式.它不是有意识地按照周密确定的逻辑程序加以思考和判断，也不一定有可靠的依据，而是人脑基于数学对象的有限信息，以其高度省略、简化、浓缩的跳跃式方式，达到对数学问题的结构及其关系的某种突然的领悟和洞察.它是对数学问题中的未知量及其关系做出的一种似真判断，因而其结论往往不完善，具有经验性.如果直觉依靠的经验出现错误，或是其背后所蕴含的逻辑出现错误，都可能导致直觉出现错误.因为直觉思维倾向于把信息以图像形式进行编码，比较随意、灵活、多变，它不依赖于严格的证明，只依据事实链条中的少数几个环节，一旦视觉化出现偏离，就会导致错误的结果.法国著名数学家彭加勒曾凭直觉断言，不可能存在富克斯函数，结果证明他是错误的.因此，由直觉思维得出的结论具有或然性特征，不总是具有严格意义上的精确性，最终还需要逻辑或实践加以检验.

二、数学直觉出错的来源分析及其教育价值

数学教育应及时捕捉直觉错误背后的逻辑错误，研究其产生的原因，巧妙利用数学历史发展进程中的直觉错误以及学生容易发生的直觉错误等资源创设情境，激发学生的学习积极性，使学生从经验性直觉向理性直觉转化，用逻辑的方法来论证某些直觉是错误的.以下笔者从认知视角探讨数学直觉错误产生的原因及教育价值.

（一）概念运用不恰当引发的直觉错误

1.定义概念时未抓住事物的本质

有些概念的关键特征非常隐蔽，学生往往根据常见的一些事例，凭借直觉给出数学概念的定义，但经不起仔细推敲.而通过反例教学，可加深学生对基本概念的理解，发现并纠正学习中的错误，培养学生的创新能力和良好的思维品质.以棱柱的概念为例，教材中给出的棱柱概念包含三个要素：第一要素是“有两个面互相平行”，这是学生非常认可的一个条件;第二要素是“其余各面都是四边形”;第三要素是其余各面“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”.对于第二、第三要素，学生往往认为可以压缩成“其余各面都是平行四边形”即可.如何才能让学生明白“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体未必是棱柱”呢？这就需要设计出反例，来说明确实有满足这样条件的非棱柱的几何体.如图1，该几何体满足面[MPNQ][?]面M′P′N′Q′，其余各面都是平行四边形，但由这些面围成的几何体却不是棱柱[1].

2.概念准确但理解不到位

数学概念理解上出现的偏差，往往会导致在对事物的判断上产生直觉错误.学生只有准确把握数学概念的内涵，才能恰当地运用数学知识，科学地分析、解释大千世界中的数学现象.例如，连续5次掷一枚硬币，认为“如果前4次都正面朝上，那么第5次正面朝上的可能性不大”，就是对概念的理解不到位.事实上，概率刻画的是事件发生的可能性大小，而不是实际一定要发生什么，这个问题源于对概率概念的曲解.对于平均数问题，统计上常采用“掐头去尾平均数”，从而减少极端值对平均数结果的影响.统计学不只用算术平均数，还常用众数、中位数、方差、均方差、变异系数等指标进行测量.

（二）不完全归纳引发的直觉错误

对于操作性知识，人们基于已有的大量成功经验，总结出貌似成功、“放之四海而皆准”的程序步骤，而其直觉背后往往存在着瑕疵.教材也不例外.反例构造能够推动数学学科的发展，在数学教材的发展和完善中具有同等重要的作用.教师要能引领学生，敢于挑战教材权威，发现其纰漏，重建其科学性.例如，求函数零点近似解的一种计算方法——二分法，到底何时“终止计算”？从熟悉的大量事实出发，教材认为，当区间的两个端点按照给定的小数“所取的近似值相同”时，这个相同的近似值就是函数[y=f（x）]的近似零点，此时计算终止.笔者曾构造了一个反例，即“求函数[f（x）=][x3-0.45x2-0.45x-1.45]的一个正实数零点（要求零点精确到0.1）”，按照“所取的近似值相同”为结束运算的条件，但根本终止不了计算.可见“所取的近似值相同时计算终止”这种说法具有很大的局限性，不能保障每一个函数求近似零点都能取得成功.

（三）已有经验局限性引发的直觉错误

1.已有数学经验的局限性

直觉以已有的知识和经验为基础，往往认为反常规的结论是错的，因此相关知识与经验的局限性可能诱发错误直觉.直觉出错既能引起学生的好奇心，使学生全神贯注地投入到数学探究当中，也能让学生体会到数学家敢于挣脱既有观点的束缚、锲而不舍地追求真理并不断创新的精神.例如，古印度国王欣然同意国际象棋发明者的要求，在棋盘的第1～46个格子里依次放上[21～246]颗麦粒，经计算这些麦粒总颗数高达[264-1]，其金口玉言难以兑现.又如，把一张普通的纸对折30次，感觉其厚度不会超过喜马拉雅山的高度，是因为学生只有线性增长、二次函数增长等数学经验，而缺乏指数函数爆炸式增长的数学经验.再如，没有极限的思想，就会拒绝接受“0.9的循环小数等于1”，而拼命维护自己的“0.9的循环小数小于1”的错误直觉.

2.已有生活经验的局限性

人们的日常生活经验，往往使人产生潜在的假设，引发直觉的错误.与“重的物体下降速度快” 类似，“将两个圆的半径延长同一个数值，半径大的圆的周长增加量大”这样的结论也是错误的.这类违反生活常识的出乎意料的问题，恰好能够诱发学生的好奇心，激发其探究兴趣，成就逻辑的魅力，让学生从经验性直觉向理性直觉转化.运算和推理是数学的精髓，可以超越人的直觉和感觉经验，准确掌握事物，它能够辨别真伪，让人免受蒙骗.

例如，良乡塔始建于隋代，唐代重修，高44.5米.北京市房山区昊天学校就坐落在古老的良鄉塔下.该校学生对良乡塔早已司空见惯，而将其编成一道数学题，却可以引起学生强烈的反响：

设想地球是一个表面光滑的球，有一条很长的绳子，恰好绕良乡塔基座所在经线的地球一周.把这根绳子再接长400米，围成一个和上述圆共面且同心的大圆，问这个大圆是穿过良乡塔还是越过良乡塔的顶端（图略）？

想象往往是科学发现的“思想实验室”.在日常生活中，对于400米的长短，学生有着丰富的经验，因为这就是400米标准操场一圈的距离.凭直觉想象，只接长400米的绳子，其形成的圆与地球之间的空隙应该是极小的.可事实并非如此，“空隙”处容纳一座高44.5米的良乡塔绰绰有余.这超越了人的直觉经验，甚至是对人的直觉的反叛.学生眼望着良乡塔，第一时间的感触是“这怎么可能呢”？教师不妨让学生计算、验证.

逻辑是数学这座“高楼大厦”坚不可摧的可靠保证，是数学神奇力量的源泉.扎实的基础知识和基本技能是逻辑思维的前提，也是直觉判断的源泉.事实上，设地球半径、绳子接长后围成的圆的半径分别为[r]，[R]，则地球这个圆、绳子接长后围成的大圆周长分别为[2πr]，[2πR].设这两个圆的周长的差[2πR-2πr=l]，则[R-r=l2π].取[l=400]，则[R-r=4002π≈63.66>44.5]，可见绳子能够越过良乡塔的顶端.当然，还可以口算绳子恰好过塔尖时，绳子需增加的长度为[2πR-2πr=2π（R-r）=2π×44.5<2π×50=100π≈314<400]，可见绳子能够越过良乡塔的顶端.尽管无法实际操作验证，但通过推理，能够帮助人们突破感官、经验、常识的局限性.“总而言之在数学创新中，既需要逻辑思维，也需要直觉思维和灵感思维，而且只有三者有机地结合起来，才能引导出成功的数学发明.”[2]

（四）模型运用不当引发的直觉错误

对于可能性大小的问题，概率模型选择不当，可导致直觉预测不准确.教师要善于提出具有吸引力、挑战性的问题，在教给学生更传统、更正式的演绎和证明方式之前，培养他们对材料的直觉理解才是首要任务[3].通过实验，可使抽象的概念和复杂的计算形象化、具体化，引起学生的兴趣，颠覆学生的认识，引领学生选择正确的模型解决问题.例如，一年按365天来计，若某学校同年级同年出生的学生有366人，根据鸽笼原理，至少有两个人在同一天出生，这是一个确定性的必然事件.又如，若某班有50名学生，至少有2人生日相同的可能性很大，大到几乎是百分之百。学生直观上很难认同这一观点，因此课上可以当场做“生日实验”：按照1～12月出生的先后顺序分成12组，同一个月出生的学生自报出生具体日期.只要很短的时间，往往就可证实有两个及其以上学生生日相同.当然，也可以提前将学生出生的月日形成4位数，在课堂上用计算机按照升序或降序来排列，瞬间就可能发现有些学生的出生日期相同.本题不能用鸽笼原理这个模型解决问题，而应该用对立事件的概率模型进行计算.可以推出在[n]个人中，至少两人生日相同的概率计算公式为：[Pn=1-An365365n]，进而[P50≈0.97].

（五）研究方法固化引发的直觉错误

1.数学手段选用不当

命题人本着多想一点、少算一点等理念设计数学问题，对于“大数据”处理，主观上认为善于借助运算工具，可以使问题迎刃而解.但此想法往往存在隐患，极易诱发直觉上的错误.教师要引导学生，让他们明白既要“善假于物”，也要对所借助的工具进行审慎思考，知其个性，不盲目运用.例如：

根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与[MN]最接近的是（    ）（参考数据：lg3≈0.48）

[8.26×1092，MN-1073]= [33611080-1073]≈1.74·1092，则[1093-MN>MN-1073].该结论还可以通过严格推理论证而得（此处略），从中可以看出应选C而不是D.

为什么会出现选项上的歧义呢？问题出在题目所给的对数参考数据精度太低，导致对数值“失之毫厘”，还原成的真实值时“谬以千里”，这远远超出人们的直觉.对数实现了由乘、除、幂到加、减、乘的惊人转换，使人们从大量繁复的乘除幂运算中解放了出来，显示了数学文化的威力，但对数使用不当，也可能引来致命性的直觉上的错误.

2.机械地数学化生活问题

凸显数学的应用价值、解决经济生活中真实问题的数学问题，虽情境新颖别致，但稍有不慎，就有可能直觉出错，背离命题的初衷.“学习过程必须以学生为主体，让学习者‘在场，以学习者的现实生活为基础，通过体验真实，允许学习者自由畅想.”[4]可以把封闭问题按照开放性问题来处理.

例如，北京市某中学的一道基于真实情境的考题为：

某网店在2015年元旦开展庆新年网购促销活动，规定“全场6折（原价的百分之六十）”，在元旦当天购物还可以再享受“每张订单金额（6折后）满300元时可减免100元”.某单位在元旦当天欲购入原价48元（单价）的商品42件，为使花钱总数最少，他需要下的订单张数为（    ）

A.1  B.2  C.3  D.4

乍一看题目，推算方法无非是用有理数的加减乘除运算.提供的参考答案为C.猜测其思路如下：

打6折后的单价为[48×0.6=28.8]（元），10件打6折后花钱数为288元，11件打6折后的钱数为288+28.8=316.8（元）.因为此时已满300元，可减免100元，所以实际上花钱316.8-100=216.8（元）.因为[42=3×11+9]，故他需要下3张订单，这3张订单购买的件数分别为11，11，20，故选C，单位实际付费[48×0.6×42-3×100=1209.6-300=909.6]（元）.

然而在讲评该题时，却出现了很多意想不到的问题.有学生认为答案D也对，可以下4张订单，购买的件数分别为11，11，11，9.学生经过讨论，认为将“他需要下的订单张数”改为“他需要下的最少订单张数”，就能避免歧义问题的出现，唯一答案就是C了.但有一位“智者”学生认为，要是购入商品44件（比原计划多购入2件），这4张订单购买的件数都为[11]，事实上花费的钱数为[48×0.6×44-4×100=867.2]（元）.花钱少，还多得2件商品，此法需要下4张订单，答案就只能选D，就不是提供的答案C了.

教育家顾明远先生指出：“数学教学不是单纯地向学生传授数学的定理和公式，不是简单地让学生做题，而是传播人生观、世界观、价值观，传播中华优秀文化的重要途径.” [5]教师面对此种教学情境，要怎样实现这样的教学理念呢？这给了人无限的遐想！

（六）负迁移引发的直觉错误

1.类比产生负迁移

一些表面特征相似的问题也会导致错误的类比和范畴化，这时已有的知识经验就成为问题解决的障碍.如类比实数乘法对加法的分配律，将对数、三角运算也实施分配率，得到[sin（α+β）=sinα+sinβ]，[loga（M+N）=][logaM+]

[logaN].其“潜逻辑”是错误的，认为[sin]与[α+β]、[loga]与[M+N]中存在乘法关系.向量的运算与实数运算的相似性很强，类比实数运算的结论可能得出错误的向量结论.对此，教师可以通过特例检验法，来纠正学生的错误认识.

2.从具体到抽象负迁移

观察具体数学对象的关系结构特征，往往可以将其拓展升华为适用范围更广的一般结论，有时直觉上该结论似乎对，但经不起推敲.教师要引导学生认真辨析拓展后的结论是否成立，不能人云亦云.例如，将具体的方程求解问题的结论“方程[（x2-4）（x2-1）=0]的解集，可以从求方程[x2-4=0]的解集与方程[x2-1=0]的解集的并集而得到”，迁移到抽象的方程求解问题的结论，得到“若方程[f1（x）=0]与[f2（x）=0]的解集分别是[F1]、[F2]，[f（x）=f1（x）f2（x）]，方程[f（x）=0]的解集是[F]，那么[F=F1?F2]”.但这个结论是错的，举例为证：如[f1（x）=x2-1]，[f2（x）=lgx]，则[f（x）=（x2-1）lgx]，[F1=-1， 1]，[F2=1]，请注意[f（x）]的定义域为[（0， +∞）]，因此[F=1]，并没有得到[F=F1?F2].因而该直觉的结论是错误的.

（七）视觉图像模糊隐蔽引发的直觉错误

1.難以观察到的函数图象

利用高科技软件，作出来的函数图象似乎千真万确，但它们也可能欺骗人们的视觉，真相可能隐藏得非常深，稍不留神，就可能产生错误的结论.教师应该首先引领学生进行逻辑上的思考，然后做出大胆猜测，最后再借助软件观察结果，而不能以软件代替思考.例如，在几何画板中作出[y=2x]与[y=x10]的图象，容易发现它们共有两个交点A、C（如图2）.但事实上，在第一象限还有1个交点B，它在比较“遥远”处，几何画板都难以看到.通过Desmos软件，花费大量的时间后，可以找到这个交点B（如图3，注意为了能够表示出这个交点，图中横、纵坐标单位长是不一致的），可观察到B的横坐标接近60，纵坐标高约[5×1017].事实上，交点B的存在性是可以进行逻辑证明的（此处略）.

2.视觉难以辨认出来的细微区别

人们似乎认为，看到的东西应该是千真万确的.但这种直觉也可能是错误的，看到的东西未必为真，也可能被欺骗.教师要引导学生，既能直观感知数学对象的特征，还能进行深入的逻辑分析，辨别真伪，揭露出表相后面的真相.例如，图5的“长方形”是由图4的正方形剪、拼得到的，两者的面积应该相等，但是“长方形”的面积是65.比正方形多1.实际上，图5并不是长方形，拼得的“对角线”附近其实是“有缝”的，请看笔者从几何画板中按真实尺寸作出的图（见图6），其实中间的缝隙，是因为A、B、C三点在给定的3，5，8数据下不共线， M、N、P三点同样不共线.也就是说∠ABC是一个非常接近平角的钝角，∠PNM也是.对此，我们可以结合相似三角形的性质用反证法逻辑推理给出证明.

三、结语

数学直觉出现的错误并不可怕，深挖直觉错误背后的逻辑错误，反而能够调动学生的积极性，培养学生的创造性.而由于数学工具运用不当出现的偏差，恰好能启示学生，要准确运用已知的先进工具，并且要在已有工具的基础上，不断推陈出新.教师要不断挖掘数学直觉错误方面的典型案例，引领学生在直觉中发现和创造，在逻辑中形成严谨的思维习惯.[□][◢]

参考文献：

[1]王淑香，宋劲松，李春雷.一个“美轮美奂”的棱柱概念反例图[J].教学月刊·中学版（教学参考），2009（8）：50-51.

[2]佟健华.数学创新思维的魅力[J].数学教育学报，2000（3）：39.

[3]杰罗姆·布鲁纳.布鲁纳教育文化观[M].北京：首都师范大学出版社，2011：63.

[4]殷世东.课堂教学活动逻辑：诗性逻辑[J].教育研究，2017，38（10）：103.

[5]顾明远.数学很有趣[J].人民教育，2016（10）：73.