例说定点与定直线的最短路径问题解决策略
2021-08-11魏春玮
魏春玮
最短路径问题是初中数学中非常重要的知识,很多同学们在学习和应用时经常会遇到困难。求定点与定直线的最短路径,主要是利用两点之间线段最短,轴对称的性质等知识来解决,特别是要用轴对称进行转换。这里充分体现了数学建模、几何直观、逻辑推理等数学核心素养的考察。我们知道,“一个图形沿一条直线折叠,它能够与另一个图形重叠,就说这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点叫做对称点;对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线,即对称点到对称轴上的任意一点距离都相等。”这是解决这类最短路径问题的关键。下面分别对几种定点与定直线的最短路径问题进行举例说明。
一、两定点与一条定直线中的最短路径
例1.如图1,已知直径a和直线a外两A、B,A、B在直线a两侧,在直线a上求作一点P,使PA +PB最短。
分析:两定点A、B在直线a两侧,过两定点A、B的直线一定与直线a相交,根据两点之间线段最短,知交点到两定点A、B的距离的和最短。
作法:连接A,B交直线L于点P,则点P就是要求作的点。
例2.要在河边修一个水泵站,分别向在河同一侧的张村和李庄送水,水泵站修在河边的什么地方,可使所用的水管最短?并说明理由。
已知:在直线a及其同侧的两点A、B,求作点C,使点C在直线a上,并且AC +BC最短。
分析:A、B两点在直线a同侧,能不能把它转换成例1的问题来解决呢?我们知道对称点到对称轴上的任意一点距离都相等,作点A关于直线a的对称点A',即将点A转移到直线a的另一侧A'点,并不影响它到直线A上的任意一点距离。因此,作点A关于直线a的地称点A',就把A、B两点转换成在直线a两侧的两点A'、B,变成例1问题就解决了。
作法:①作点A关于直线a的对称点A',
②连接A'B交直线a于点C,则点C为求作的点。
理由:在直线a上另外任取一点C',连接AC、AC'、A'C'、BC'
直线a是线段AA'的对称轴,点C和C'在直线a上
AC=A'C,AC'=A'C'(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等)。