高中数学概念复习教学例习题设计研究以基本不等式求最值为例

李国强

摘  要：高中数学概念教学的新授课的目标侧重于“为什么”“是什么”“有什么用”，而高中数学概念复习教学侧重于知识的系统化，整体化，帮助学生在脑海中建立起一个完整的知识结构是高中数学概念教学复习的目标，同时通过例习题设计研究进一步掌握概念的内涵与外延。

关键词：概念的内涵与外延  ; 例习题设计 ; 基本不等式 ; 知识网络

高中数学概念的意义及内涵与外延，数学概念构成及相关概念之间关系，通过概念复习教学，体会概念中所蕴含的思想方法，后续公式的研究，并通过例习题的研究，如一题多变，一题多解，多题一解，总结提炼解题方法，加强知识之间的融合贯通，揭示概念之间的相互联系，从而提高学生的核心知识和核心素养。

一 高中数学概念的意义：

反映事物的本质属性和特征的思维形式叫做概念，客观世界的许许多多事物都有各种各样的性质，事物间存在各式各样的关系，各门学科都有它自己的研究对象，各门学科的概念总是反映事物某方面的本质属性，数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学的概念是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式。数学概念的产生与发展的几种不同的途径，（1）从现实模型直接反映得来的，（2）从事物排列的次序抽象概括得来的，（3）有的数学概念是经过人们的思维加工，把客观事物的属性理想化、纯粹化才得到的，（4）从数学内部的需要产生出来的等。

概念的外延和内涵，概念的外延和内涵是构成概念的两个重要方面，外延亦称外包，是指概念所反映的对象的总和，内涵亦称内包，是指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。概念的外延和内涵都是主观对客观的一种认识，它们分别与客观对象的特有属性、本质属性是有区别的，概念的内涵和外延具有反比关系，即一个概念的内涵越大，内涵就越小;反之，内涵越小，外延就越大。

数学概念之间的关系：根据概念外延之间的关系可以将数学概念分为全同关系、从属关系、交叉关系和全异关系，分别说明如下：

（1）概念的全同关系也叫做同一关系或重合关系，如果两个概念的外延完全重合，那么这两个概念具有全同关系，具有全同关系的两个概念，它们的外延虽然完全重合，但是他们的内涵可以不同，如等腰三角形底边上的高线、中线以及角平分线的外延都是同一条线段，而它们的内涵也各不相同。

（2）概念的从属关系，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念，如直四棱柱，正四棱柱，长方体，数学中为了对某一概念加深认识、或者为了用较一般的概念来说明特殊概念，往往采取逐步增加概念的内涵，使概念的外延缩小的方法，从而得到一系列从属关系的概念。例如，平行四边形增加一个内角为直角这个性质后，就成了矩形。

二 高中数学概念复习的价值：

复习是知识的在学习，它是学生巩固所学知识，构建科学的知识网络，提高问题解决能力的重腰手段，因此复习是学生学习过程中必不可少的一个环节，高中数学的复习主要是对基础知识，基本方法，基本技能的复习，而数学概念是基础知识的基础，脱离了概念，数学就成了无源之水，无本之木，所谓“合抱之木，始于毫木;九层之台，起于垒土”高中的很多数学概念内涵丰富、外延广泛，因此学生对数学概念的掌握很多情况下并不是一步到位的，需要有一个不断反复的过程，所以，复习概念时，教学设计的重点应放在提升学生对数学概念的内涵与外延的理解上，要在概念的内涵与外延上设计问题，比如，新课程重视基本不等式的教学，它是培养学生数学思想，渗透数学方法的一个很好的素材。

三 高中数学概念复习的策略：

概念复习教学应把各知识点按一定的规律与方法加以整理，形成知识体系，要熟悉教材并精通教材，注意提炼重要例题和习题所反映的相关数学知识本质属性以及蕴含的数学思维方法和思想精髓，并通过这类问题进行类比、引申、迁移、拓广，提出新问题并加以解决，要把握变中不变，切实贯彻变于教材，源于教材的原则，发挥教材的扩张效应。

四 高中数学概念复习的步骤

在概念教学过程注重知识的建构及知识的体系的生成，多角度审视问题，重视对数学本质的认识，华罗庚先生认为创造性的成果来源于具有创造发现思维的能力的人，因此，他特别强调在学校数学教学中重视对学生发现探索能力的培养，培养学生的发现探索能力，复习课是可以有所作为的，在进行教学设计时，把数学教学定位于学生的发展，特别是学生数学思维及探索能力的发展，引导学生多角度思考问题，以此来激活学生的思维，培养学生的创造性思维能力。

五、例习题研究

六、问设计的反思与总结

设计的理念：概念教学复习时可以充分地以课本中的例习题为素材，根据学情适当的变形，引申发散来建构知识模块，提炼通性通法，必要时引导学生一题多解和多题一解，以幫助学生对基础知识的融会贯通，基本技能和思想方法得到充分训练和培养

例习题设计理念：通过变式问题的设计，有助于学生深刻理解和认识概念，同时解决问题过程中探索与发现、猜想与验证、有助于学生养成不断回到概念中去，从基本概念出发思考问题解决为题的习惯，不断加强对概念本质的认识，提高知识的迁移能力，形成从基本概念联系中寻求解决问题的新思路，教材的例题习题也都是经过专家重重筛选的经典问题，无论是问题本身，还是解题方法与思想都具有一般性与典型性，即所谓通性通法。

七、巩固练习

巩固练习的设计是为了进一步使学生理解基本不等式的概念，掌握运用基本不等式求函数最值必须满足的三个条件，以及运用基本不等式求最值的常见题型和使用基本不等式前的常见的变形方法，从而培养学生运用基本式解决数学问题的能力。

参考文献

[1]高等教育出版社，中学数学教材教法总论，113—119。

[2]沈新权：高中数学复习课教学设计的探索与实践，中学数学教学参考上旬2012（8）23-33。

[3]展国培：核心概念后续教学的聚焦点：联系，方法，思想中学数学教学参考上旬 2016  11-14。

[4]王弟成：自主中沟通联系，转化中实现目标 中学数学教学参考上旬2013（9）42-45。