数学抽象素养的内涵与培养策略

马探军 野德胜

摘要：随着高考的不断改革，高中数学的授课渐渐转变为以培养学生的数学核心素养为目标，同时重视学生的成绩的提升。作为高中数学教师，应当不断加强自身能力的修养，改变传统的教学方法，将授课与培养学生的核心素养结合起来，促进学生发展核心素养并逐步形成适应未来发展的必备品格、关键能力和正确的价值观念。采取何种有效策略落实核心素养的培养，能否有效整合课内外数学活动，全方位落实核心素养是一线教师正在深入研究的方向。高中数学学科六大核心素养之首是数学抽象素养，其具有极大的价值意义，也是提升学生数学综合素养的关键。故而，本文将对数学抽象的内涵、水平划分和培养策略展开进一步的研究。

关键词：数学;核心素养;发展水平

中图分类号：G633.6  文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）08-007

一、数学抽象素养的内涵

抽象是不能脱离具体而独立存在的行动或过程，其主要目的是为降低事物的复杂度。具体来说，抽象是指将复杂事物的某几个特性抽出，只关注其某些特征的行动或过程;或指将不同事物的共同特征形象地抽取出来独立进行考虑的行动或过程;或指从具体被研究对象中抽出与研究相关的内容，抛弃非相关内容，从而形成基于研究问题的正确认识，抽象是研究员从事科研的常用思维，所谓的数学抽象是指某一事物在无法计量时，通过空间和数量将其用抽象的形式表象出来的一种方，与此同时，这也是高中数学的核心素养之一。[1]它主要有以下两部分构成：第一部分是数量与数量关系、图形与图像关系中，通过合理的科学论证所抽象出来的数学概念及概念之间的关系;第二部分从某一事物出发，从它的具体背景的诸因素中抽象出的规律和事物所具有的本质结构特征，通过运用数学的思维方式将其表现出来。

二、数学抽象素养的水平划分

数学抽象素养培养过程是阶梯式的，能力要求也是逐步提升的，不同阶梯的培养过程对能力培养要求也不同。高中数学课程标准将高中数学学科数学抽象素养水平大致分为三层，主要在不同情景、数学命题、解决问题、数学概念、数学语言、数学思想和应用能力等方面提出了具体要求，笔者细化整理如下：

三、数学抽象素养的培养策略

1.在实际情景中数学抽象的培养

情境是培养学生数学抽象素养的关键素材之一，通过引导学生对不同实际情境问题进行多维度分析，能够较好培养学生从实际情景中抽象出数学问题、数学概念和数学规则的能力。在情景内容方面，课堂教学上基于学生情况可先从简单情景入手，逐步过渡到综合复杂情景。在教学方法方面，起初可强化教师引导作用，帮助学生从熟悉情景中抽象出数学问题、概念和规则的一般方法，逐步过渡到学生独立自主分析实际情景问题。在作业布置方面，渗透数学抽象素养，问题内容重视以生活实际情景为背景，帮助学生提升从实际情景中抽象数学问题的能力，同时使得学生能够应用数学知识解决生活实际问题。

例如：小明同学想让父母可以随时在家查阅各种网络资源，准备将自己家中的计算机接入因特网。现有两家因特网服务提供商可供选择，公司A是连续上网小时共收费1.5x元，公司B是连续上网小时共收费x（35-x）20元。

（1）A公司上网费用和上网时间之间存在什么关系？B公司上网费用和上网时间之间存在什么关系？

（2）那么在保证A公司的上网费用小于B公司的费用下，需要上网多长时间？

通过实际情景分析，学生能够逐步将实际问题抽象成数学问题，通过求解数学问题从而解决此实际情境问题，在解题过程中学生还可体会函数与不等式的关系。

2.在数学概念中数学抽象的培养

在高中数学中，一般思维形式的判断与推理，都需要我们用以定理、定义、公式的方式表现出来，这其中数学的思维方式和相关的数学概念则是必不可少的内容，数学概念则是构成它们的基础。掌握数学知识的前提是能够理解运用数学知识。高中数学的概念都是比较抽象的，并且具有高度的概括性，在教学过程中结合数学概念，有利于培养学生的抽象思维能力。例如：在立体几何中讲解“三类角”（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角）和“距离”（重点距离是：异面直线间距离、点到平面的距离、直线与平面间的距离、平面与平面间的距离）的概念时，应该从基础的高中几何知识开始学起来，逐渐从初中的平面学习向高中的空间几何过渡，距离是借助平面几何三角形中的高（即点到直线的距离）以及平行直线的公垂线段长明确了立体几何中关于对应的角或距离的严格定义，同时通过具体的模型演示帮助学生直观形象的认识形成角度和距离的大小。

在教学实践中，教师要善于引导学生对概念、规则进行抽象，让学生经历完整的数学结论获得过程，而不是只注重数学活动的结果。教师要引导学生追溯数学概念的原型、抽象的过程以及运用的过程，帮助学生深入了解数学概念的原理。

3.培养数学抽象思维能力应当从具体的问题入手

解决问题的初步是分析与抽象，严谨的分析、合理的抽象往往能够化繁为简，将复杂问题变得更加简明具体，其过程是培养学生数学抽象素养的重要途径。问题往往存在于实际情景或者数学情景中，内容涉及多种数量关系、图形关系或空间形式，暗含着某种规律和结构，而探究发现、总结归纳规律和结构的过程就是一种抽象。在抽象过程中先要抛弃无关量，注重挖掘核心问题、关键因素，将抽象结果与数学知识建立相互联系，逐步用数学知识与概念解决抽象后具体、单一的问题。在过程中，教师要注重提升学生的专注力和参与度，学生高频率的深度参与，才能深刻体验抽象过程，提升抽象能力。例如：小李家里有个长60m宽40m的矩形羊圈，假期小李在家帮助父亲放羊，羊越来越大，越来越多，羊圈装不下羊了。小李建议父亲扩大羊圈，可小李父亲觉得多加栅栏又需要花销一笔费用，因此父亲希望小李自己想辦法。（1）正处于高中年级的小李聪明地把羊圈改成了正方形，问题得到了暂时解决，尝试从数学的角度做出相应的解释？故事中所蕴含了哪些相等关系和不等关系？（2）若过了一段时间，小李修改的正方形羊圈依旧不够用了，在不增加栅栏情况下，你能给小李出出主意，并从数学角度分析你的理由吗？（羊圈栅栏周长为200m）。（3）由长方形围栏改装成正方形，再对正方形围栏进行改装，如何从数学角度阐述这一过程性原理呢？由此类比分析，你能解释为什么多数水果都是球形而非正方体、长方体或者其他多面体？

通过上述问题的解决，学生在解决数学问题的方法上从模仿、选择逐步过渡到创造，这是一种能力的提升。学生能够感悟解决相似问题中的通性通法，在已得结论的基础上通过类比分析形成新命题，并用新命题解释自然现象。

4.在交流过程中数学抽象的培养

在交流过程中，将实际情景和数学概念相结合解释具体现象、自然现象和社会现象是能力的重要体现。在解释过程中，自然语言过渡到数学符号语言本身就是抽象的，数学语言的理解和精准表达是关键环节。教师在日常教学过程中依据学生情况注重引导学生应用数学语言阐述数学问题、表达数学概念和规则。立体几何知识模块中，平行关系、垂直关系、空间形式都需要数学语言精准刻画，涉及自然语言、图形语言、数学语言之间频繁互相转化。

在课堂教学中，教师注重从类比和联想的角度去引导学生在已得数学结论的基础上进一步探究，有助于学生不断积累抽象经验，形成高度概括的能力，有助于提升学生分析综合复杂问题的能力。

综上所述，在数学教学过程中，在培养数学抽象思维方式的同时，也培养了学生对于数学问题解题的能力，同时也为学生更好地积累了学习方法和学习经验，通过这些学习方法和经验的积累，能使学生养成独立自主探究探索问题的习惯，从而抓住事物的本质，以便在以后能够得到更好的发展。

参考文献：

[1]常磊，鲍建生.情境视角下的数学核心素养[J].数学教育学报，2017（2）.

[2]喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报，2017（2）.

[3]桂德怀.中学生代数素养内涵与评价研究[D].上海：华东师范大学，2011.

（作者单位：西安市第六十六中学，陕西 西安 710016）