运用分类整合思想 提升数学素养品质

山东 杨长智

分类与整合思想是指面对比较复杂问题时，无法通过统一或者整体研究解决，需要把研究对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决.其实就是把问题“分而治之、各个击破、综合归纳”.

分类与整合思想解题的一般步骤:(1)根据研究需要确定分类标准；各类之间要做到“不重不漏”；(2)逐类逐级进行讨论；(3)综合概括、归纳得出最后结论.本文以2020年高考题为例，剖析在高考中如何考查分类与整合思想，在教学过程中如何分析，提升学生核心素养.

例1:(2020·全国卷Ⅰ文·16)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16项和为540，则a1=________.

教师用PPT展示题目，并让学生回答.

学生1:需要对n进行讨论，分n是奇数和偶数两种情况.

教师:令S16=S奇+S偶=(a1+a3+a5+…+a15)+(a2+a4+a6+…+a16).

学生1:当n为偶数时，S偶=(a2+a4)+(a6+a8)+(a10+a12)+(a14+a16)，恰好是n取2，6，10，14的情况；当n为奇数时，需要累加分别把a3，a5，…，a15,用a1来表示.

教师:好，根据这种思路我们就得到解题方法一(展示PPT).

解法一:分类讨论，逐项突破

当n为奇数时，

a3-a1=2,a5-a3=8,a7-a5=14,a9-a7=20,a11-a9=26,a13-a11=32,a15-a13=38,

分别累加得

a3-a1=2,a5-a1=10,a7-a1=24,a9-a1=44,a11-a1=70,a13-a1=102,a15-a1=140，

即a3=a1+2,a5=a1+10,a7=a1+24,a9=a1+44,a11=a1+70,a13=a1+102,a15=a1+140，

上面各项相加得

a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=7a1+392，

所以S奇=8a1+392,

而S偶=(a4+a2)+(a8+a6)+(a12+a10)+(a16+a14)=5+17+29+41=92，

S16=S奇+S偶=8a1+392+92=8a1+484=540.

所以a1=7.

教师:对于项数不太多时，我们可以把每一个奇数项用a1表示，但项数较多时，这种方法就不可取了，那我们还有没有其他思路呢？

学生2:我们对n为奇、偶数进行分类讨论，看能不能得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和.

教师:很好，根据这种思路，我们求出奇数项时a2k+1与a1的关系(展示PPT).

解法二:分类讨论，递推突破

an+2+(-1)nan=3n-1，

当n为奇数时，an+2-an=3n-1，即

a3-a1=3×1-1，a5-a3=3×3-1，a7-a5=3×5-1，a2k+1-a2k-1=3×(2k-1)-1，

各式相加，得

a2k+1-a1=3×(1+3+5+…+2k-1)-k

=3k2-k，

所以a2k+1=a1+(3k2-k)(k∈N*).

当n为偶数时，an+2+an=3n-1，则

a4+a2=3×2-1=5，a8+a6=3×6-1=17，

a12+a10=3×10-1=29，a16+a14=3×14-1=41.

设数列{an}的前n项和为Sn，

解得a1=7.

评析:题干中展示的是an+2,an的关系，即数列中间隔项之间的关系，也就是奇数项，偶数项之间的关系；(-1)n的出现提示当n分别为奇数和偶数时有不同的规律，需分类讨论；在平常的数列问题中，数列中的奇数项和偶数项分别呈现不同的规律，研究的方法一般是分类讨论再综合处理.本题给的做题线索和思路比较明显，但计算稍显烦琐，学生如果能够耐心，解决此问题就会比较容易.本题考查逻辑推理、数学抽象、数学运算核心素养.

( )

教师:此题f(x)是分段函数，g(x)是f(x)与绝对值函数的组合，如何确定分类标准？

学生3:分段函数的分类标准是x=0，绝对值的分类标准是如何去掉绝对值符号.

教师:绝对值符号如何去掉？

教师:很好，根据学生3的描述，我们可以把g(x)的表达式表示出来，首先是对k进行讨论.这样我们就得到了第一种解题思路.

解法一:利用零点的定义，考查必备知识

当x<0时，g(x)=x，无零点；

所以当k=0时，g(x)只有两个零点，不符合题意；

所以当k<0时，g(x)有四个零点，

x3+kx2-2x=0,即x(x2+kx-2)=0.

教师:第一种思路是利用零点的定义解决问题，同学们还有没有其他思路？

学生4:令h(x)=|kx2-2x|，若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点，只需y1=f(x),y2=h(x)图象有四个交点.

教师:很好，根据这种思路，我们就把零点问题转化成两个函数图象的交点问题，这里用到了化归与转化、数形结合的思想.

解法二:对零点的考查，转化为两个函数图象交点个数

①当k=0时，h(x)=2|x|，

从图1中可以看出，当x<0时，无交点；当x≥0时，有两个交点，

所以当k=0时，g(x)有两个零点.

图1

②当k<0时，

由图2可知当x≤0时，y1=f(x),y2=h(x)有三个交点，

图2

图3

③当k>0时，如图4，

图4

当x<0时，y1=-x,y2=kx2-2x，由-x=kx2-2x，得kx=1矛盾；

教师:除了上面的思路，同学们还有没有更简便的方法呢？

解法三:利用特殊点，将题目进行化归转化

图5

图6

③当k>0时，

当x>0时，如图7，当y=kx-2与y=x2相切时，联立方程得x2-kx+2=0，

图7

评析:本题考查函数与方程的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，由方法一得出g(x)的解析式，分类讨论，由满足g(x)有四个零点，求出相应参数的取值范围，解题过程中用到零点存在性定理；方法二、三将零点问题转化为两个函数图象交点个数问题，入手较易，但第三种方法等式两边同时除以|x|很巧妙，需要有很高的数学素养，后两种方法利用数形结合的思想方法，使得分类更加直观.

例3:(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(Ⅰ)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(Ⅱ)若f(x)≥1，求a的取值范围.

解法一:分类讨论，寻求零点

教师:第一问我们不再研究，重点看第二问，如何用分类整合的思想去解决此题，应如何思考？

学生6:利用导数研究，若f(x)≥1，只须f(x)min≥1.

教师:如何去求f(x)min？

学生6:对函数f(x)进行求导，得出f′(x)并判断其单调性.

教师:因为f(x)=aex-1-lnx+lna,

即f′(x)在(0,+∞)上单调递增.

教师:至此我们得出了f′(x)在(0,+∞)上单调递增，但是怎样的趋势看不出来，下面需要对a再进行分析.

学生7:我发现f′(1)=a-1，故当a=1时，f′(1)=0,

从而当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，+∞)时，f′(x)>0，

即f(x)在(0,1)上为减函数，在(1，+∞)上为增函数，

f(x)min=f(1)=1,所以f(x)≥1成立.

教师:很好，有了a=1的情况，我们就有了分类标准.

学生8:当a>1时，当x→0时，f′(x)→-∞;当x→+∞时，f′(x)→+∞，根据零点存在性定理，∃x0>0，使得f′(x0)=0.

教师:利用极限的思想为我们提供了解题的思路，但不严密，我们能否找到两个值m,n，使得f′(m)f′(n)<0呢？

教师:很好，到此我们找到一个零点x0，满足f′(x)=0，

因此f(x)min=f(x0)

=aex0-1-lnx0+lna

=2lna+1>1，

f(x)>1,所以f(x)≥1恒成立.

教师:当0

学生10:当0

所以f(1)<1,f(x)≥1不是恒成立.

教师:很好，综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).

教师:在a>1时，我们通过零点存在性定理，得出f(x)在(0,+∞)存在最小值f(x)min=f(x0)，我们现在继续观察题目中的f(x)=aex-1-lnx+lna，通过放缩法，你能得出什么样的结论.

学生11:因为a>1,f(x)=aex-1-lnx+lna中含a的项，可以进行放缩，得出f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx，然后再借助两个重要不等式进一步放缩，ex-1≥x-1+1=x,lnx≤x-1.

教师:好，下面按此思路，同学们完成解答过程，可以看出ex≥x+1及其变形在处理导数问题时的重要性.

解法二:放缩变形，分类讨论

当0

所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.又因为f′(1)=0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)min=f(1)=1,f(x)≥1成立.

当a>1时，易证ex≥x+1，从而可以得出ex-1≥x,lnx≤x-1，所以f(x)=aex-1-lnx+lna>ex-1-lnx≥[(x-1)+1]+(-x+1)=1.

综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).

评析:函数导数问题中的不等式恒成立问题一直是教学的重点，因为其中既含有参数又含有变量，能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力.教学过程中要让学生展示其思维过程，让学生获得学习的成就感，在最近发展区域内，让学生通过深入思考，总结出解决导数问题分类讨论的方法，通过分类与整合提升学生对问题的认知，提升其核心素养.