数学教学的第三要务：精心组织课堂教学

2021-08-09李树臣

中学数学杂志(初中版) 2021年3期

【摘要】数学教学的主阵地在课堂，学习的主体在学生.在数学课堂上，教师应充分调动学生的积极性，引导学生在亲身参与数学活动的过程中达到掌握数学知识，应用知识解决问题的目的.课堂上学生的活动主要包括数学阅读理解活动、数学思考与探索活动、问题解决活动以及数学建模活动.

【关键词】阅读理解;思考探索;问题解决;数学建模

笔者在贵刊2019（6）和2020（2）发表了研读教材和设计教学方案的两篇文章，教师充分研读了教材，并且做好了课时教学方案的设计，从教学“顺序”上看就该进入课堂“实战”了，这是数学教学的“落脚点”.

笔者经过长时间的思考与探索，认为在数学课堂教学中，教师应以课前精心设计的教学方案为主，引导学生积极参与下面的四个数学活动.

1 阅读理解活动

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）在“实施建议”中对阅读提出过多次具体要求，如“对于学有余力并对数学有兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能”[1].在数学教学中，引导学生开展数学阅读活动具有积极的教学价值[2]：

（1）拓展学生的知识面;

（2）澄清模糊观念;

（3）加强对知识之间相互联系的认识;

（4）培养学生的思维能力;

（5）提高学生的学习能力;

（6）提高学生解决实际问题的能力;

（7）帮助学生感悟数学思想方法;

（8）帮助学生掌握使用现代信息技术;

（9）对学生进行数学文化熏陶;

（10）形成学生良好的学习习惯等.

最近几年的中考中常见“阅读理解型”考题，学生只有通过阅读，真正理解了题目的“意义”，才能正确的进行解答.

案例1 （2020年山西中考题）你能作出直角吗？

阅读与思考：

下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务.

×年×月×日星期日

没有直角尺也能作出直角

今天，我在书店一本书上看到下面材料：

木工师傅有一块如图1①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？

办法一：如图1①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°.

办法二：如图1②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS=90°.

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？

……

任务：

（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是____________________________;

（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°;

（3）①尺規作图：请在图2的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）;

②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）

析解（1）由作图过程可知DC2+CE2=ED2，所以△DCE是直角三角形.答案是：勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）;

（2）证明：由作图的方法可知QR=QC，QS=QC，所以∠QCR=∠QRC，∠QCS=∠QSC，因为∠SRC+∠RCS+∠CSR=180°，所以∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°，所以2（∠QCR+∠QCS）=180°，所以∠QCR+∠QSC=90°，即∠RCS=90°.

（3）①以点C为圆心，任意长为半径画弧，与AB有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点P，连接PC即可（如图3），直线CP即为所求;

②答案不唯一，如：等腰三角形“三线合一”;SSS等.

点评《课标（2011年版）》）提出了九个基本事实，其中“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”[1]是第三个基本事实，这个“点”可以在已知直线外，也可以在直线上.本题考查的就是当这个点在直线上时的作法.阅读材料首先给出了两种作法，然后提出了让学生解答的三个具体“任务”.考查了学生对于直线垂直判定方法的理解以及尺规作图能力.学生通过认真阅读，“找出”两种作图过程“蕴涵”的条件是解决前两个“任务”的关键.第三个“任务”主要考查学生尺规作图的能力.学生通过解答本题，能进一步体会到阅读的重要性.

随着科学技术的快速发展，信息量成倍的增长，这就迫切要求学生具有较强的阅读理解能力，这种能力是数学核心素养的重要构成因素之一，培养和发展学生的阅读理解能力是提高学生数学核心素养的途径之一，是提高国民数学素养的一个重要举措.

2 数学思考与探索活动

在数学学习中“思考”与“探索”是两个使用频率非常高的动词，《课标（2011年版）》共提及“思考”82次，“探索”91次[1].

数学思考，就是在遇到各种各样的问题情境时，能够运用数学的知识、方法、思想和观念去分析、探究，从而发现其中存在的数学现象和数学规律，并运用数学的知识和方法加以解决的过程[3].

探索是指独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识[1].

《课标（2011年版）》在课程“总目标”中提出了三条具体要求，如“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[1].这个目标的“核心”是培养学生的数学能力，数学能力是在学生独立思考与自主探索的过程中，逐步形成和发展起来的[4].

案例2 小狗的活动范围问题.

在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.

（1）如图4，若BC=4m，则S=__________________m2.

（2）如图5，现考虑在（1）中的矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其它条件不变.则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边长BC的长为________________________m.

点评解答本题的困难在于正确的确定出小狗分别在A，B，C处可以活动的范围，虽然小狗在这三个地方能活动的区域都是圆形，但由于题目中有限制条件（小狗不能进入矩形ABCD小屋活动），所以小狗实际的活动范围就由圆形缩小为扇形，正确的探索到“小狗在不能进入矩形ABCD小屋内活动的条件下，其可以活动的区域应为三个扇形之和”是解题的关键.本题表面看是考查学生的代数计算能力，实质上通过思考、探索得到活动范围是由三个扇形构成的区域并正确的列出每个扇形的面积才是考查的重点.

学生在解答时只有根据题意结合图4（图5），经过数学思考与探索活动，把小狗的活动范围抽象得到图6（图7）界定的“范围”，即准确判断出小狗的活动范围才是解决问题的关键.

在计算一些不规则图形或由一些规则图形拼接而成的图形面积（周长）时，正确找出是“哪些”图形模型的面积（周长）是学生感到困难的地方.对于这样的问题，可以在阅读的基础上准确把握题意，画出简图，借助于图形的直观特点，通过思考、探索得出计算的式子.

在课堂教学前，要结合学习内容精心设计问题系列，在课堂上以此引导学生积极思考、大胆探索，在积极思考与探索的过程中，经历知识的形成过程以及知识的应用过程.

3 问题解决活动

问题解决是《课标（2011年版）》提出的课程目标，也是一种数学能力，还是学生探索与发现的过程.在数学学习中，结合具体的学习内容，引导学生开展问题解决活动是落实《课标（2011年版）》提出的目标要求，培养学生数学能力，提高数学素养的重要任务之一.

案例3 （2020年天津市中考题）你能求出小亮离开宿舍的时间吗？

在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象（图8）设计了一个问题情境.

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km.周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂;在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆;在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍.给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系.

请根据相关信息，解答下列问题：

（1）填表：

（2）填空：

①食堂到图书馆的距离为_______________km;

②小亮从食堂到图书馆的速度为_______________km/min;

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为_______________km/min;

④當小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为_______________min.

（3）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式.

析解（1）根据图象可知，小亮从宿舍到食堂的路程是0.7km，匀速走了7/min，所以平均速度是0.7÷7=0.1（km/min），所以当离开宿舍的时间为5min时，行驶的路程即离宿舍的距离为0.1×5=0.5（km）;由图象可知，当时间是23min，离宿舍的距离是0.7km;当时间是30min，离宿舍的距离是1km.

（2）①食堂到图书馆的距离是1-0.7=0.3（km）;

②小亮从食堂到图书馆的速度为0.3÷5=0.06（km/min）;

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为1÷10=0.1（km/min）;

④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，分两种情况：一是他从宿舍到食堂的过程中离宿舍0.6km，此时他离开宿舍的时间为0.6÷0.1=6（min）;二是他从图书馆回宿舍的过程中离宿舍0.6km，此时他离开宿舍的时间为68-6=62（min）.

（3）当0≤x≤28时，观察图象发现，y关于x的函数解析式分为三种情况：

点评本题属于常见的一次函数应用题，主要考查学生利用一次函数的有关知识解决实际问题的能力.题目以小亮从“宿舍”出发经“食堂吃饭”到“图书馆借书”，然后返回宿舍为背景，直接给出了“宿舍—食堂—图书馆”三者相互之间的距离，并且给出了从“宿舍→食堂→图书馆”用的时间以及从图书馆回到宿舍用的时间.在此基础上给出了三个问题，其中前两个问题根据题目中的信息，可以解决.在解决第二个问题中的第④小题时，应分两种情况考虑，这是学生容易出错的地方.在计算第二种情况时，除了前面的解法外，也可以这样计算：（7+16+5+30）+0.4÷0.1=62（min）.在解决第三个问题，求y关于x的函数解析式时，通过观察图8发现，函数解析式对应的图象分三段，第一、三两段属于线段，对应的函数是“一次函数”，利用待定系数法不难求出，中间段函数值是定值（恒为0.7），函数为y=0.7，在写函数解析式，应注明自变量x的取值范围，这也是学生容易出错的地方.

这样的题目有助于学生数学应用意识的形成与发展.教师在设计教学方案时，应根据学习内容结合学生的实际接受能力，尽量设计一些能利用所学知识解答的实际问题，以培养和提高学生解决数学问题的能力，逐步培养学生的应用意识和创新意识.4 数学建模活动

当人们面对一个实际问题时，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻画实际问题，得到的一个数学结构，就是数学模型[5].数学教学的本质就是建立一个一个的数学模型，应用数学知识解决问题的第一步是建立数学模型[6].

数学课堂教学中，我们要结合具体的学习内容，精心设计一些能通过建立数学模型解决的问题，这对于提高学生的数学能力，进而提高数学素养具有重要的教学价值.

案例4 （2020年连云港中考题）购买方案有几种？

甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元.下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

（1）甲、乙两公司各有多少人？

（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A，B两种防疫物资，A种防疫物资每箱15000元，B种防疫物资每箱12000元.若购买B种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A，B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）.

本题考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用以及根据整数解确定方案问题，在学生学习了相应知识后，可以让学生在课堂上进行解答，以培养学生通过建立数学模型解决问题的能力.

我们结合具体案例论述了课堂上学生应积极参与的四个主要活动，具体到一节课，我们不一定要求学生同时开展这些活动，但在课堂上只要能让学生长久的“动”起来，就一定能提高课堂教学的实效.

参考文献

[1]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京师范大学出版社，2012.

[2]李树臣.培养学生数学阅读能力的一般方法[J].中国数学教育，2011（4）.