初中数学课堂练习的开展程式及指导策略

潘超 张垂权

【摘 要】 提升数学课堂练习成效不仅要着力于学生的“练”，还要着力于教师的“导”.教师对课堂练习的“导”体现在课堂练习开展的“五步”程式中，即“习题呈现与审题”“自主练习与交流”“解题展示与剖析”“方法归纳与点评”“拓展训练与反思”;教师对学生的解题方法的指导上要采用“五化”策略，即“通法”要强化、“巧法”要淡化、“笨法”要简化、“偏法”要弱化、“错法”要点化.

【关键词】 初中数学;课堂练习;程式;指导策略

数学课堂练习是数学课的重要学习活动之一，是学生习得知识、掌握技能、感悟思想、积累经验必须经历的生命历程[1]，具有深化认知、拓展新知、诊断反馈、强化技能、积累经验、感悟思想等多样功能[2].数学课堂练习的设计或开展过程中，教师一般要考虑“什么时候练习？”“练习什么？”“练习多少？”“怎么练习？”“练习得怎么样？”等系列問题，从而关注练习时机的精准性、练习内容的针对性[3]、练习量度的适当性、练习过程的层次性[3]、练习反馈的及时性等，这些关注点都聚焦于学生的“练”，着力点主要在学生身上，这是提升课堂练习成效的根本.除此之外，教师还要考虑自身的指导作用，关注点同样不能忽略教师的“导”，即提升数学课堂练习成效还应着力于教师的“导”，这是提升课堂练习成效的要素.如果教师在课堂上很好地发挥“导”的作用，就有助于实现课堂练习的功能.笔者以九年级“相似三角形的性质”为例，在该课的课堂练习环节设计上重点思考了教师如何引导学生进行课堂练习的问题，设计了“习题呈现与审题”“自主练习与交流”“解题展示与剖析”“方法归纳与点评”“拓展训练与反思”五步程式.按照这个程式，张老师在班级中进行了教学尝试，对不同的练习题灵活地使用了“五步”程式进行了引导，体现了不同的侧重点和策略，取得了很好的教学效果.课后，笔者根据课堂实录进一步对课堂练习题的解题进行了整理，并针对“方法归纳与点评”环节提出了引导解法的“五化”指导策略.限于篇幅，仅选取该课中一道练习题为例来说明开展课堂练习的“五步”程式和解题方法引导的“五化”策略.

1 课堂练习开展的“五步”程式

组织学生开展课堂练习可以基于整节课，即形成完整的习题课，也可以针对课堂的某一练习环节.对于练习环节而言，组织开展课堂练习一般可以采用如下“五步”程式：“习题呈现与审题”“自主练习与交流”“解题展示与剖析”“方法归纳与点评”“拓展训练与反思”.

程式一 习题呈现与审题

“习题呈现与审题”是引导课堂练习的第一个程式，是依据教学内容的安排，为强化知识和技能在恰当的时机引入练习题目，并引导学生开展审题的过程.

人教版九年级（下）第58页第11题：如图1，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？

本题是一道经典的课本问题，设计的目的在于检验学生综合运用三角形相似知识解决实际问题的能力，对所学知识、方法进行拓展.在习题展示后，张老师引导学生进行了读题、审题，找出了本题的已知条件、求解问题，并在图中标识了数据和字母.张老师特别强调了正方形EGHF与△ABC的位置关系.

程式二 自主练习与交流

“自主练习与交流”是基于“习题呈现与审题”后的第二程式，这是课堂练习的重要步骤.本程式强调学生独立地尝试，体验思考和动笔操作的过程.期间，教师可以根据学生实际情况给予必要的思路引导.在自主练习的过程中或练习后，教师设定短暂的时间进行交流，起到相互了解、相互启发的作用，为后续程式开展做准备.交流的方式可以选用生生交流或师生交流，自由交流或分组交流等.在该程式中，张老师首先组织同学们进行自主练习，要求先独立思考，并规范写出解题过程.然后，张老师巡视课堂，关注学生解题情况，并对个别学生给予指导.

程式三 解题展示与剖析

“解题展示与剖析”是由主动举手的学生、小组代表或教师抽点的学生按照某种方式展示，并解说解题方法、解题思路、解题步骤等内容的过程.学生展示解题的方式包括上台演算、口述、展台展示、分组汇报等.在该程式中，张老师鼓励学生主动上台利用展示台展示了各种解法.在学生展示解题过程中，特别要求学生说出思路和解题方法的特点.这个过程中，学生给出了如下解法：

程式四 方法归纳与点评

“方法归纳与点评”是引导学生课堂练习的第四程式，是对“自主练习与交流”程式产生结果的整理和升华.本程式是学生知识、方法得以内化的关键环节，对学生系统掌握知识或技能起画龙点睛的作用.在该程式中，张老师引导学生对呈现的解题方法进行了归纳和点评.下面是教学片断.

师：刚才同学们展示了这道题的几种解法？

生：7种.

师：同学们真能干，想出这么多方法，说明同学们思维很活跃.这么多方法，我们可否对它们进行归类呢？又如何归类？

生：我认为这些方法都很好，各有特点，就可以分为7类.

师：7种方法之间有没有相同之处呢？

生：有相同之处，它们都列了方程.

师：对了，都列出了方程.用方程的思想解决应用题.从应用的方法方面来看呢？

生：解法3、解法4、解法6是用的面积法来解，而其余解法用的新学的方法.

师：看到了关键，其实，完全可以把这些方法归为2类.也就是解法1、2、5、7用的是刚刚学的三角形相似的性质来解，我们把它称为“相似法”吧，而另外的方法用的是以前学的面积法，并且解法3和解法6中的面积法还是比较巧妙的，用以前所学的三角形和图形的面积公式就可以解决问题，这里的“巧”是以面积易求为前提的，关键要找出“面积关系”，在一些复杂的图形关系中，找面积关系更加复杂，所以这些方法略有欠缺.进一步看，事实上，解法2也用到了面积，但是该方法是用的“面积比”的关系来计算，而其它面积法是用的“面积和”的关系来计算，它们是有区别的.

张老师一边讲一边开始板书（见图4）：

师：我们再看解法1和解法2，两种解法都用到了三角形相似的性质.解法1利用了“相似三角形对应线段比等于相似比”，而解法2利用了“相似三角形面积比等于相似比的平方”.这两种方法都要先找到两个相似三角形，然后才能运用其性质，即关键要找到“相似关系”.一般来讲，图中有直线平行的关系，如“A型”图，相似三角形还是容易找到，这种方法是比较通用的.

师：还有，解法5得到的答案也是48.但是解题时，我们能自己添加或改变条件而用于解题吗？不能，解法5添加了限定条件虽然仍符合题意（仍为锐角三角形），但变得更特殊，逻辑上不严谨了，这是错误的方法.

生：解决填空题或选择题还可以.

师：是的，但是这种“特殊值法”的猜想过程不严谨，可以帮我们提供思路，严格的话需要验证，不过，用动态的眼光看几何问题值得肯定.

师：另外，解法3比解法6显得更复杂，走了弯路，可以直接将△ABC的面积分解为解法6中的面积关系，因此，面积法中最好采用更简捷的解法6.最后一种解法7，本质上同解法1，这需要添加辅助线，且找相似关系的方法略显偏门，不太可取.

程式五 拓展训练与反思

“拓展训练与反思”是引导学生课堂练习的第五程式，既是充实内容、问题补救的延续，又是经验总结和解题反思的时机.该程式的安排比较灵活，主要根据学生表现、课堂时间、教学内容等因素来确定，并且可以安排在课内完成，也可以安排在课后完成.在本程式中，张老师以上题为原型，通过改变题目的条件、设问方式等，引导学生开展了变式练习，最后进行反思、总评.

2 练习题解法的“五化”指导策略

在练习题处理过程中，张老师在每一步中都扮演好了“导”的角色，学生在整个过程思维很开放、活跃，课堂参与积极性高涨，常有惊喜的表现，达到了课堂练习的目标.这样的练习活动和课堂指导，由题及类，解剖一题，带活一串，注意数学思想方法的渗透，这样的教学不仅深化了基础知识，提高了学习效率，而且有助于发展学生思维的发散性，培养学生思维的深刻性，提高学生思维的独创性，使学生形成良好的思维品质[4].从教师对数学解题方法的指导视角来看，有如下具体“五化”策略.

2.1 “通法”要强化

“通法”就是解决这一类问题的最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序[5].在数学课堂练习中，教师要引导学生强化通法的重要意义和作用，注重培养解决一类问题规律性的技能，防止一味地机械模仿、高技巧和高难度的训练.强化通法不仅有利于学生快速抓住数学知识的本质，形成有效解决问题的策略，而且有利于消除学生对数学学科的畏惧心理，增强学生学好数学的自信心.上题是与“三角形相似的性质”内容相匹配的习题，根据习题立意，应该将相似图形的性质运用的方法作为通法，因此，张老师在练习指导中着重强化解法1和解法2.解法1强化“相似三角形对应线段比等于相似比”的知识和方法，解法2强化“相似三角形面积比等于相似比的平方”.这正是本节课需要强化的新知内容.

2.2 “巧法”要淡化

“巧法”就是解决这一类问题的技巧性较强的方式方法，较之于“通法”具有独特性.在难度不太大的练习题中，“巧法”的体现不太明显，而对于较高难度的练习题，“巧法”体现出高度技巧性，问题解决的入口狭窄，思维的量度和缜密度要求高，教师对于这样的“巧法”要淡化，只需找准“巧”的关键，指出“巧”的内在机理即可，不能花费太大功夫.在本课堂练习中，虽然学生找出了很多解法，但张老师引导学生的关注点不是在“多”，也不是“巧”，而是在“精”，因此，面积法在解决该题时尽管很“巧”，但对于学生的思维价值不会太大，这种技巧就要淡化.

2.3 “笨法”要简化

数学是思维的体操，而思维的训练需要精致过程.课堂练习时，要减少学生的机械训练和枯燥重复.“多想少算”是数学解题的指导思路之一，教师在指导学生练习时要倡导“多想少算”.与之相反的，“少想多算”“多想多算”可能会导致解法的“走弯路”“走倒路”现象，趣称这种解法为“笨法”（非贬义）.如果学生出现解题“笨法”，说明理解题目的本质不够透彻，知识逻辑还不够通畅，或是方法运用不够熟练.此时，教师要将学生的“笨法”进行简化.本题的解法3中，学生能运用面积法解决问题，但过程复杂，计算量略大，这个方法就是“笨法”.张老师指明了该法应在哪里“简”以及如何“简”.当然，简化“笨法”并不是否定方法，而是提炼和精致的过程，回归数学思想方法的本质.

2.4 “偏法”要弱化

学生在练习过程中，会经常产生一些“偏法”，即不经常使用、处于非主流的方法，或者观察、思维视角比较狭隘的一些方法.这些“偏法”往往也能解决问题，具备一定的思维价值.比如，上题中解法7相对于该题的一般解法（解法1、2）就是偏法，具有一定的“奇异性”，对于这种解法，教师要肯定其正确性和创造性，但也不能大肆鼓励这种奇异性，关注点仍然应放在方法的本质上.反过来，教师若鼓励“偏法”的使用，就会忽视“通法”的重要性，思维的导向就会引向“大路不走走小路”的现象，甚至于出现一些学生为了追求“偏法”而专走“不平凡路”.总体说来，允许学生思维的开创性，方法的独特性，但注意“度”的把握问题.

2.5 “错法”要点化

学生在课堂练习中出现解法错误是不可避免的正常现象，某种程度上也是一种教学资源.教师在教学过程中要有效利用这种“错法”资源开展针对性的指导，引导学生发现错误原因，加深错法的深层认知，真正改正错误.在数学课堂练习中，学生的一些错法表现出典型的认知上的偏差，往往具有普遍性，可能是全班学生的共同错误.对于这些错误，教师应深入分析学生在错误中呈现的知识错误、思维错误以及习惯错误，引导学生梳理并建立起完备的知识体系，加强核心知识点与其他知识点在纵横经纬上的交织与关联，形成完善的知识网络.在构建知识体系时，教师可借助思维导图这一教学工具，加强知识联系的形象性，避免因数学知识抽象而导致知识体系形式化.此外，教师可根据错误的特点，调整部分题干或问题，设计与错题相似但解题切入点不同的变式练习[6].上题的解法5是错误的，张老师给予了明确的说明.同时，也指出了“错法”的可取之处，错中有“精彩”，维护了学生闪现的思维火光和课堂参与积极性.

以上数学课堂练习“五化”策略不仅是数学解题方法的指导策略，更是一种解题方法的意识导向.但是，课堂练习是基于现场的，有许多的不确定因素影响学生的课堂表现，教师要善于捕捉课堂反馈信息，因材施教、因势利导、因境而变、因课制宜[7].把探求适合学生的解法作为指导课堂练习的准则，而适合学生的解法要易于被学生接受、通过学习后能快速掌握并将其应用到类似问题的解决上[8].

参考文献

[1]徐国裕.数学课堂需要追求有效练习[J].教学与管理，2012（17）：28-30.

[2]吴立宝，王富英.数学教材习题“七功能”[J].教学与管理，2014（31）：66-68.

[3]陈瑞辉.数学课堂练习应关注五个方面[J].教学与管理，2019（32）：31-33.

[4]孙树德.从习题的挖掘与引申谈学生思维品质的培养[J].中国数学教育（初中版），2014（4）：34-37，48.

[5]卓斌.数学解题教学应让通解通法落地生根[J].数学通报，2018，57（2）：45-49.

[6]孟品超，姜志侠，尹伟石.科学利用学生数学错误的思考[J].教学与管理，2016（3）：97-99.

[7]潘超.基于高效教学的动力机制研究[J].中国教育学刊，2016（5）：66-70.

[8]郑学涛.寻找最适合的解法[J].中学数学杂志，2019（6）：61-62.

作者简介 潘超（1975—），男，教授，硕士生导师.研究方向：数学教育与教师教育.張垂权（1975—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学与研究.