问题教学的实践与思考

许凌燕

虽然数学知识是数学学习的基石，但是数学思维、数学思想和解决数学问题的能力更能反映一个学生的数学核心素养。而数学问题是激发学生学习兴趣，开启学生数学思维，培植学生数学思想方法的平台和载体，在一个个精心设计的问题教学中，学生的数学思维和数学能力才能不断提升和优化。下面笔者以苏科版数学教材八年级下册“矩形、菱形、正方形”第一课时为例，阐述问题教学在数学课堂上的应用。

一、教学实录与分析

1.基于情境引入的问题教学。

师：前几节课学习了平行四边形，哪位同学说说我们是从哪些角度来研究平行四边形的？

生1：平行四边形的概念、性质、判定、应用。

师：请同学们拿出事先准备好的 Rt[△ABC]纸片（[∠B]=90[°]）、图钉和白纸，在白纸上描出Rt[△ABC]的形状，再绕斜边AC的中点O旋转180[°]后描下旋转后三角形的形状。以小组为单位讨论并回答下列问题：

问题1 前后图形拼成的形状是平行四边形吗？

问题2 如果是，它与我们之前所学的平行四边形有什么不同的地方？

生2：请大家看图1，我们由[∠BAC]=[∠DCA]，[∠BCA]=[∠DAC]（或AB=CD，AD=CB）可证得这个四边形是平行四边形。

生3：它与我们之前所学的平行四边形不同的地方是一个内角为直角，其他三个内角也为直角，可以利用平行四边形的性质证明。

问题3 通过刚才的分析，你能用一句话描述一下这个图形吗？

生4：有一个角是直角的平行四边形。

（教师板书矩形定义：有一個角是直角的平行四边形叫作矩形。矩形通常也叫长方形。）

【设计意图】笔者设计的操作活动，让学生回顾了平行四边形的相关知识，认识到平行四边形和矩形的联系，进而得到矩形的定义。学生通过操作活动，体验从旧知到新知的过程，让新知生长在已有知识点之上。

2.基于知识类比的问题教学。

师：从定义可以看出，矩形是特殊的平行四边形，其肯定具有平行四边形的性质。那么我们研究平行四边形的性质时，是从哪些方面研究的呢？具体是什么呢？

生：边、角、对角线、对称性……

师：通过类比思想，我们也可以从对边、对角、对角线、对称性来研究矩形。请同学来分析一下。

生5：对边——平行且相等，角——相等且全都是90[°]，对角线——互相平分且相等。

师：为什么对角线相等？

生5：只要证[△ABC]≌[△DCB]，即可得AC=BD。

生6：对称性——中心对称、轴对称性。矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形中心对称的性质。同时，我们沿着上下对边的中点连线所在直线折叠，发现左右两边重合，说明矩形是轴对称图形，而且有两条对称轴。

师：我们一起来归纳提炼。

【设计意图】通过类比思想，学生明确研究方向，从而对矩形的性质有了更深层次的理解和认知。同时，这样的数学问题教学为学生研究数学提供了途径和方法，促进了学生数学知识的有效内化。

3.基于例题深化的问题教学。

教材上本课时内容只有一个例题，如何用好此例题是关键。为此，笔者设计了问题串，旨在激发学生的课堂思维，发展学生自主探究的能力。

例 如图2，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O。

问题4 在此题设条件下，[△AOB]是等腰三角形吗？

生7：由矩形对角线互相平分可得AO=[12]AC，BO=[12]BD，且AC=BD，则AO=BO，所以[△AOB]是等腰三角形。

问题5 增加条件AC=2AB，则[△AOB]是什么三角形？（此问源于教材。）

生8：[∵]AC=2AB，[∴]AB=[12]AC。[∵]AO=[12]AC，BO=[12]BD，AC=BD，[∴]AO=BO=AB，[∴][△ABC]是等边三角形。

问题6 图中被对角线分割而成的三角形中还有等腰三角形吗？

生9：只要将上面的证明调整一下，由矩形可得AO=CO=BO=DO=[12]AC=[12]BD。因此，[△AOB]、[△DOC]、[△AOD]、[△BOC]都是等腰三角形。

问题7 对图中被对角线分割的三角形，你还有什么认识吗？

生10：我们通过边角边可以证得[△ABC?][△DCB][?][△BAD?][△CDA]，且每个三角形面积为矩形的一半，即[S△ABC]=[S△DCB]=[S△BAD]=[S△CDA]=[12][S矩形ABCD]。

生11： [∵]AO为[△ABD]的中线，[∴][S△ABO]=[S△ADO]=[12][S△ABD]=[14][S矩形ABCD]，[∴][S△AOB]=[S△COD]=[S△AOD]=[S△BOC]=[14][S矩形ABCD]。

师：哪位同学能将刚才的知识总结一下？

生12：每条对角线将矩形分成两个直角三角形，共计4个直角三角形，它们全等，每个直角三角形的面积为矩形面积的二分之一;两条对角线把矩形分成4个等腰三角形，且每个三角形面积相等，都是矩形面积的四分之一。

问题8 通过刚才的研究，请同学们观察等式AO=CO=BO=DO=[12]AC=[12]BD，还能发现什么？

生13：从这个等式中首尾两项得AO=[12]BD，背景是在矩形中，各个内角都是直角，所以可得直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半。

【设计意图】本环节设计的教学问题都是围绕着教材例题展开的，旨在引导学生明确研究的方向，分析在一定条件下，问题发生、发展和变化的规律，探索解决数学问题的规律，体会数学思想方法。围绕例题深化的数学问题按照一定顺序揭示规律，逐步推进深入，使得学生能够在主动构建数学知识的同时优化数学思维，归纳数学思想方法。

4.基于新知运用的问题教学。

问题9 再看图2，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，请增加一个条件，使得[△AOB]是等边三角形。

……

师：同学们回答得都很好，现将同学们提出的这些条件整理为“角”“边”两类。

（教师板书。角： [∠ABO]=60[°]，[∠BOC]=120[°]，[∠BCA]=30[°]。

边：AB=[12]AC，AB=OA，AB=OB;CD=[12]BD，CD=OD，CD=OC。）

师：我们找其中一个条件如[∠BCA]=30[°]，請一名同学加以证明。

生14：由上可知[△AOB]是等腰三角形，又[∵] [∠BCA]=30[°]， [∴][∠BAC]=60[°]，[∴][△AOB]是等边三角形。

师：由[∠BCA]=30[°]可得[△AOB]是等边三角形，所以AB=AO=[12]AC，这是我们学过的什么知识呢？

生15：直角三角形中30[°]角所对的直角边是斜边的一半。

问题10 再看图2，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若[∠AOD]=120[°]，AB=4cm，求矩形对角线的长。

生16：由刚才的结论[△AOB]为等边三角形，[∴]AB=AO=[12]AC=4，[∴]AC=8。

生17：由[∠AOD]=120[°]，得到[∠ACB]=30[°]，直角三角形中30[°]角所对的直角边是斜边的一半，[∴]AC=2AB=8。

【设计意图】新知运用的问题教学有助于学生更加深刻地理解新知，认识数学的本质。学生通过这两个问题，对图中[△AOB]是等边三角形有了本质的认识，并且通过一个开放性的问题收集素材，顺利实现了对已有知识“直角三角形中30[°] 角所对的直角边是斜边的一半”的再认识，同时也对相关问题的解决明确了思路和方向。

二、基于问题教学的思考

课堂教学中的问题设计和教学设计是问题教学的前提和基础。因此，数学的问题教学需要教师对教材内容进行深刻解读，明确本节课的教学目标。教师应以数学知识的形成过程、内涵特点等方面为问题教学的切入点，精心设计一些具有一定目的性、层次性，符合学生已有基础知识、学习水平和已有探索经验的问题，让问题教学成为学生数学知识、数学思想和数学能力不断增长的根基。以数学知识的本质、数学思维的启发、数学经验的增长为基础的高质量问题，一定能激发学生深度的参与兴趣。

数学思想是数学问题教学的根，问题教学实现“知识构建”到“思想引领”的转变。问题是问题教学的心脏，是学生思维活动的发源地。基于数学思想的问题教学，将知识、方法问题化，通过问题教学唤醒学生的探究意识，引发思考，将学生从知识学习引入方法积累并走向思想升华，以此领悟知识构建的本质。

教师将数学知识、数学思想进行问题化教学，能将需要教授的内容连续化、变式化为有实质意义的数学问题，引发学生持续地辨析、思考，激发学生内在的学习动力，引导学生从多维度理解数学知识，培养学生学习的兴趣，将学生引入深度学习，培养数学学科精神，为后续的数学学习提供可持续的学习力。

（作者单位：江苏省张家港市梁丰初级中学）