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深度研读教材策略之三:丰富数学知识的表现形式

2021-08-06徐娜周佳泉

云南教育·小学教师 2021年5期
关键词:梯形长方形平行四边形

徐娜 周佳泉

【导读】

复习课是小学数学课堂教学常见的课型之一。上好复习课,能有效帮助学生梳理已学的知识,形成系统的知识网络,加深知识间的纵向和横向联系,有助于提高学生自主构建知识框架的能力。丰富知识的表现形式,给学过的数学知识穿上新的“外衣”,不但能给学生带来新奇感,激发学生的学习兴趣,更有助于学生对数学知识本质的深入理解。

本案例中,来自昆明市盘龙区盘龙小学的徐娜老师以“平面图形面积的整理和复习”为例,生动诠释了在数学复习课中丰富数学知识表现形式的教学策略,收到了良好的教学效果。希望能与各位同仁互相切磋,共同提高。

【案例】

课堂实录:

一、谈话导入

师:子曰:温故而知新……

生:(齐背)可以为师矣。

……

(板书课题:平面图形面积的整理和复习)

二、温故知新

(一)面积和面积单位

师:什么是面积呢?

生:物体的表面或封闭图形的大小叫做面积。

师:说得非常准确!你知道哪些关于面积的知识点?

……

师:我们是怎样测量平面图形的面积的呢?

……

(二)复习面积公式

……

师:你还想到了哪种平面图形的面积推导过程?

(学生纷纷回忆)

生1:用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形,其中一个三角形的面积就是平行四边形面积的一半,所以三角形的面积=底×高÷2。

生2:用两个完全相同的梯形拼在一起变成一个平行四边形,其中一个梯形的面积就是平行四边形面积的一半,所以梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。

生3:将圆分成若干个扇形,拼成的图形接近于长方形,近似长方形的长相当于圆周长的一半(2πr÷2也就是πr),长方形的宽相当于半径(r),长方形的面积=长×宽,即2πr×r=2πr2。

……

师:这些平面图形的面积还有其他推导方式吗?(停顿几秒,学生疑惑)老师这里还有两种关于三角形面积的推导过程想介绍给大家。

(出示三角形面积公式的另类推导一)

……

生:将三角形转化成长方形,面积不变,三角形的底就是长方形的长,长方形的宽等于三角形的高除以2,长方形面积等于长乘宽,也就等于底乘高的一半,S=a(h÷2)。它和S=ah÷2计算结果完全相同。

(出示三角形面积公式的另类推导二)

……

师:谁能具体说一说自己的想法?

生:将三角形转化成长方形过程中,两个图形面积不变,三角形的高就是长方形的宽,长方形的长是三角形底的一半,长乘宽就是底的一半乘高,S=a÷2×h。它和S=ah÷2計算结果完全相同。

师:梯形面积公式的推导过程方法可就更多了。

……

生:原来梯形的上下底之和转换成了平行四边形的底,平行四边形的高是梯形高的一半,平行四边形面积等于底(梯形上下底之和)乘高(梯形高除以2),所以梯形的面积就是S=(a+b)×(h÷2)。它和S=(a+b)×h÷2计算结果完全相同。

……

生:转化成长方形,长方形的长是原来梯形的上下底之和除以2,高(宽)不变,长方形面积就是上下底之和的一半乘高,所以梯形的面积就是S=(a+b)÷2×h。它和S=(a+b)×h÷2计算结果完全相同。

……

生:拼成一个大三角形,原来梯形的上下底之和转换成了三角形的底,高不变,三角形面积就是上下底之和乘高再除以2,刚好就是梯形面积的计算公式S=(a+b)×h÷2。

三、平面图形面积公式的本质

师:表达清楚完整,通过以上这些平面图形面积公式的推导过程,你有什么想法?

……

生1:都是将未知图形转化成已经学过的图形进行面积公式的推导。

生2:我发现三角形、梯形面积公式的另类推导其实还是几个平面图形的相互转换。

……

师:因此,它们的面积公式其实源于?

生:长乘宽。

……

三、巩固拓展

1.师:圆的面积公式的推导除了转化成平行四边形或长方形,想一想能不能转化成其他图形呢?

……

2.把一个底为8 cm的平行四边形沿高剪开拼成一个长方形后,现在长方形的周长是24 cm。原来平行四边形的面积是多少?

3.把一个底为8 cm的平行四边形沿高剪开拼成一个长方形后,现在长方形的周长是24 cm。原来平行四边形的周长最少是多少?(取整厘米数)

四、小结

这节复习课带给你哪些启发?

【思考】

本节课,徐娜老师巧妙构思,精心设计,给旧知识穿上了新的“外衣”,打破传统数学复习课上简单、重复、枯燥的复习方式,既有效激发了学生的学习兴趣,又给学生的思维发展带来了新的挑战。具体体现在以下方面:

1.多种推导,深入本质。长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积计算公式,绝大部分学生都已经倒背如流。但是他们真的理解这些公式的来源吗?未必。本节课中,徐娜老师通过对三角形和梯形面积计算公式的多种推导方法,打破了学生的定式思维,让他们感觉眼前一亮。在教师引导下,大家发现在变化的形态下面有着不变的本质——都是要弄清楚这个图形内部包含多少个面积单位——变形的目的无非是让它内部的面积单位排列更整齐一些,便于计算而已。这样的教学,既能激发学生浓厚的学习兴趣,又加深了学生对面积计算公式本质的理解——公式就是面积单位累加过程当中的简便方法,仅此而已。

2.数形结合,殊途同归。在期末考试阅卷中,我们经常会对这些算式发生争执:(1)“求上底为7厘米、下底为8厘米、高16厘米的梯形面积。”学生列式为“(7+8)×(16÷2)”,究竟对不对?(2)同样的题目学生计算过程为“(7+8)×16÷2=15×8=120(cm2)”,是否存在运算顺序错误?通过徐娜老师这节课上多种面积计算公式的推导方式,我们不难发现:以上两个问题,学生的列式或计算过程其实都是对的。甚至还可以这样计算“(7+8)÷2×16”,这不就是初中学习的“梯形面积=中位线×高”吗?像这样在复习几何知识的过程当中,顺便把代数知识也给复习了。真可谓一举两得,何乐而不为呢?“数形结合”是小学阶段重要的数学思想,我们对数学思想的渗透就应该这样润物无声,不着痕迹。

3.知识“变脸”,寻觅“真身”。面积公式的推导过程,其价值不仅限于得到“公式”本身,更是促进学生思维发展的良机。平时教学中,常见某些教师非常严格地要求学生“复述”(甚至背诵)面积公式的“推导过程”,却忽视了推导过程中所蕴含的重要数学思想。在巩固练习部分,徐娜老师巧妙设计的第2道习题是一块很好的“试金石”——看似不着边际的“神题”,其实只要想通了平行四边形变形前后的对应关系——面积不变、长与底相等、宽与高相等,再通过长方形的周长求出长方形的宽,就轻易地解决了这个问题——“当今”长方形的面积,就是“过去”平行四边形的面积。如果我们在平时教学中多一些这样的问题设计,必将促进学生对数学知识本质的深入理解更加深刻、透彻。

4.逆向思维,跳出圈外。数学知识的显性应用对学生来说并不难,但是隐性应用形态对一部分学生来说就感到比较陌生了。徐娜老师设计的第3道巩固练习题就取得了这样的良好效果。乍一看,这道题似乎太难了。但仔细分析,它还是考查学生对平行四边形变形前后的对应关系的理解程度——面积不变、底与长相等、高与宽相等,通过长方形的周长求出长方形的宽,再加上一个旧知识——平行四边形的斜边总比它的高要长一些(从直线外一点到直线上的所有连线中,垂线段最短),取整数就求出了原来平行四边形的最短周长。

我们常常感觉复习课难上,学生不感兴趣。其实,只要我们“挖空心思”,丰富数学知识的表现形式,给旧知识穿上新“外衣”,就能把复习课上得既生动有趣又有思维深度。

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