深度研读教材策略之三：丰富数学知识的表现形式

徐娜 周佳泉

【导读】

复习课是小学数学课堂教学常见的课型之一。上好复习课，能有效帮助学生梳理已学的知识，形成系统的知识网络，加深知识间的纵向和横向联系，有助于提高学生自主构建知识框架的能力。丰富知识的表现形式，给学过的数学知识穿上新的“外衣”，不但能给学生带来新奇感，激发学生的学习兴趣，更有助于学生对数学知识本质的深入理解。

本案例中，来自昆明市盘龙区盘龙小学的徐娜老师以“平面图形面积的整理和复习”为例，生动诠释了在数学复习课中丰富数学知识表现形式的教学策略，收到了良好的教学效果。希望能与各位同仁互相切磋，共同提高。

【案例】

课堂实录：

一、谈话导入

师：子曰：温故而知新……

生：（齐背）可以为师矣。

……

（板书课题：平面图形面积的整理和复习）

二、温故知新

（一）面积和面积单位

师：什么是面积呢？

生：物体的表面或封闭图形的大小叫做面积。

师：说得非常准确！你知道哪些关于面积的知识点？

……

师：我们是怎样测量平面图形的面积的呢？

……

（二）复习面积公式

……

师：你还想到了哪种平面图形的面积推导过程？

（学生纷纷回忆）

生1：用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，其中一个三角形的面积就是平行四边形面积的一半，所以三角形的面积=底×高÷2。

生2：用两个完全相同的梯形拼在一起变成一个平行四边形，其中一个梯形的面积就是平行四边形面积的一半，所以梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。

生3：将圆分成若干个扇形，拼成的图形接近于长方形，近似长方形的长相当于圆周长的一半（2πr÷2也就是πr），长方形的宽相当于半径（r），长方形的面积=长×宽，即2πr×r=2πr2。

……

师：这些平面图形的面积还有其他推导方式吗？（停顿几秒，学生疑惑）老师这里还有两种关于三角形面积的推导过程想介绍给大家。

（出示三角形面积公式的另类推导一）

……

生：将三角形转化成长方形，面积不变，三角形的底就是长方形的长，长方形的宽等于三角形的高除以2，长方形面积等于长乘宽，也就等于底乘高的一半，S=a（h÷2）。它和S=ah÷2计算结果完全相同。

（出示三角形面积公式的另类推导二）

……

师：谁能具体说一说自己的想法？

生：将三角形转化成长方形过程中，两个图形面积不变，三角形的高就是长方形的宽，长方形的长是三角形底的一半，长乘宽就是底的一半乘高，S=a÷2×h。它和S=ah÷2計算结果完全相同。

师：梯形面积公式的推导过程方法可就更多了。

……

生：原来梯形的上下底之和转换成了平行四边形的底，平行四边形的高是梯形高的一半，平行四边形面积等于底（梯形上下底之和）乘高（梯形高除以2），所以梯形的面积就是S=（a+b）×（h÷2）。它和S=（a+b）×h÷2计算结果完全相同。

……

生：转化成长方形，长方形的长是原来梯形的上下底之和除以2，高（宽）不变，长方形面积就是上下底之和的一半乘高，所以梯形的面积就是S=（a+b）÷2×h。它和S=（a+b）×h÷2计算结果完全相同。

……

生：拼成一个大三角形，原来梯形的上下底之和转换成了三角形的底，高不变，三角形面积就是上下底之和乘高再除以2，刚好就是梯形面积的计算公式S=（a+b）×h÷2。

三、平面图形面积公式的本质

师：表达清楚完整，通过以上这些平面图形面积公式的推导过程，你有什么想法？

……

生1：都是将未知图形转化成已经学过的图形进行面积公式的推导。

生2：我发现三角形、梯形面积公式的另类推导其实还是几个平面图形的相互转换。

……

师：因此，它们的面积公式其实源于？

生：长乘宽。

……

三、巩固拓展

1.师：圆的面积公式的推导除了转化成平行四边形或长方形，想一想能不能转化成其他图形呢？

……

2.把一个底为8 cm的平行四边形沿高剪开拼成一个长方形后，现在长方形的周长是24 cm。原来平行四边形的面积是多少？

3.把一个底为8 cm的平行四边形沿高剪开拼成一个长方形后，现在长方形的周长是24 cm。原来平行四边形的周长最少是多少？（取整厘米数）

四、小结

这节复习课带给你哪些启发？

【思考】

本节课，徐娜老师巧妙构思，精心设计，给旧知识穿上了新的“外衣”，打破传统数学复习课上简单、重复、枯燥的复习方式，既有效激发了学生的学习兴趣，又给学生的思维发展带来了新的挑战。具体体现在以下方面：

1.多种推导，深入本质。长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积计算公式，绝大部分学生都已经倒背如流。但是他们真的理解这些公式的来源吗？未必。本节课中，徐娜老师通过对三角形和梯形面积计算公式的多种推导方法，打破了学生的定式思维，让他们感觉眼前一亮。在教师引导下，大家发现在变化的形态下面有着不变的本质——都是要弄清楚这个图形内部包含多少个面积单位——变形的目的无非是让它内部的面积单位排列更整齐一些，便于计算而已。这样的教学，既能激发学生浓厚的学习兴趣，又加深了学生对面积计算公式本质的理解——公式就是面积单位累加过程当中的简便方法，仅此而已。

2.数形结合，殊途同归。在期末考试阅卷中，我们经常会对这些算式发生争执：（1）“求上底为7厘米、下底为8厘米、高16厘米的梯形面积。”学生列式为“（7+8）×（16÷2）”，究竟对不对？（2）同样的题目学生计算过程为“（7+8）×16÷2=15×8=120（cm2）”，是否存在运算顺序错误？通过徐娜老师这节课上多种面积计算公式的推导方式，我们不难发现：以上两个问题，学生的列式或计算过程其实都是对的。甚至还可以这样计算“（7+8）÷2×16”，这不就是初中学习的“梯形面积=中位线×高”吗？像这样在复习几何知识的过程当中，顺便把代数知识也给复习了。真可谓一举两得，何乐而不为呢？“数形结合”是小学阶段重要的数学思想，我们对数学思想的渗透就应该这样润物无声，不着痕迹。

3.知识“变脸”，寻觅“真身”。面积公式的推导过程，其价值不仅限于得到“公式”本身，更是促进学生思维发展的良机。平时教学中，常见某些教师非常严格地要求学生“复述”（甚至背诵）面积公式的“推导过程”，却忽视了推导过程中所蕴含的重要数学思想。在巩固练习部分，徐娜老师巧妙设计的第2道习题是一块很好的“试金石”——看似不着边际的“神题”，其实只要想通了平行四边形变形前后的对应关系——面积不变、长与底相等、宽与高相等，再通过长方形的周长求出长方形的宽，就轻易地解决了这个问题——“当今”长方形的面积，就是“过去”平行四边形的面积。如果我们在平时教学中多一些这样的问题设计，必将促进学生对数学知识本质的深入理解更加深刻、透彻。

4.逆向思维，跳出圈外。数学知识的显性应用对学生来说并不难，但是隐性应用形态对一部分学生来说就感到比较陌生了。徐娜老师设计的第3道巩固练习题就取得了这样的良好效果。乍一看，这道题似乎太难了。但仔细分析，它还是考查学生对平行四边形变形前后的对应关系的理解程度——面积不变、底与长相等、高与宽相等，通过长方形的周长求出长方形的宽，再加上一个旧知识——平行四边形的斜边总比它的高要长一些（从直线外一点到直线上的所有连线中，垂线段最短），取整数就求出了原来平行四边形的最短周长。

我们常常感觉复习课难上，学生不感兴趣。其实，只要我们“挖空心思”，丰富数学知识的表现形式，给旧知识穿上新“外衣”，就能把复习课上得既生动有趣又有思维深度。