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深度研读教材策略之三:丰富数学知识的表现形式①

2021-08-06刘娜顾利娟

云南教育·小学教师 2021年5期
关键词:属相巢里平均分

刘娜 顾利娟

【导读】

“鸽巢问题”的教学内容是人教版小学数学六年级下册的“数学广角”的内容,让学生初步感受“鸽巢原理”(也叫“抽屉原理”)。对于六年级学生而言,理解“鸽巢原理”的难度还是挺大的。对教师来说,上好“鸽巢问题”这一课是具有挑战性的任务。

在本案例中,来自昆明市盘龙区昆明重工中学的刘娜老师引导学生经历“鸽巢问题”的完整学习过程,在丰富的情境变换中逐步揭开“鸽巢问题”的神秘面纱,取得了良好的教学效果。

【案例】

课堂实录:

一、引入

师:同学们玩过抢凳子的游戏吗?

……

师:这类问题在生活中有许多应用,我们接着往下看。

二、新课探究

(一)感性认知

师:思考以上问题,同学们认为,总有一个鸽巢里至少要飞进几只鸽子?

生1:2只。

……

师:要回答这个问题,我们用数的分解的方法来分一分,4只鸽子飞进3个鸽巢,有哪些情况?请同学们在作业单上写一写。

学生作品代表:

师:我们按照一定顺序分解,有以下4种情况。

师:只有这4种情况吗?

生:只有这4种情况,因为分成1、1、2和分成2、1、1是同一种情况。

师:分完之后,我们来思考,什么叫“总有”?

生1:其中有一个。

生2:只要保证有,就叫总有。

师追问:“总有”是要求所有鸽巢里都要满足条件吗?

生:不是。只要有一个鸽巢满足条件就可以了。

师:按第一种情况来看,总有一个鸽巢里至少有4只鸽子,对不对呢?

生(齐):不对。

师追问:为什么?

……

师:那么,总有一个鸽巢里至少有3只鸽子,对不对呢?

……

师(追问):为什么?

生1:总有一个鸽巢里至少有2只鸽子,至少两只包含了所有情况。

生2:至少有2只的意思是可能有2只,也可能比2只多。

师:为什么不是至少1只?

……

师:要解决总有一个鸽巢里至少飞进几只鸽子,鸽子要怎么飞,就是至少数2只了?

生1:飞的分散一点。

生2:把鸽子平均分进鸽巢。

师:照同学们所说,把4只鸽子平均分到三个鸽巢,先每个鸽巢分进一只鸽子。

师:那就是总有一个鸽巢里至少有1只鸽子呀?

生:还有1只鸽子飞在外面,还要加1。

师:加1加在哪里呢?

生:无论加在哪一个鸽巢里都可以。

师:这个平均分的过程,能列式表达吗?

生(作业单上列式):4÷3=1(只)……1(只)1+1=2(只)

……

(二)加深理解

师:现在,又飞来了一只鸽子,一共5只鸽子,飞进3个鸽巢。总有一个鸽巢里至少飞进几只鸽子呢?请在作业单上列式。

学生作品:

师:哪种算法正确呢?为什么?

生1:第一种对。不能加2。也许这两只鸽子不飞到同一个鸽巢,而是各飞各的。

生2:剩下的两只鸽子,我们还要进行平均分。

师:平均分已经使鸽巢里的鸽子尽量少了,只要这种情况符合要求,另外的情况肯定符合要求。

(三)归纳建模

师:像这样的数学问题,我们把它叫做“鸽巢问题”,里面蕴含的这种数学原理叫做“鸽巢原理”。

(课件介绍德国数学家狄里克雷与“鸽巢原理”)

(四)回归生活

1.回顾“抢凳子”游戏中,参与游戏的人,在坐凳子的时候,总是不约而同地尽量“平均”。

2.每13个人总有至少两个人是同一属相。

三、解决生活中的问题

1.超市有7个等待收银通道,有30个人等待付款,总有一个收银通道至少有几个人?

2.有4个医生坐诊,有31个病人等待看病,总有一个医生至少有几个病人?

师:做题之前,先思考,什么相当于“鸽巢”,什么相当于“鸽子”?

(做完题之后,课件展示答案)

四、小结

你能说一说,生活中还有哪些鸽巢问题呢?(生回答略)

【思考】

“鸽巢问题”编排在小学六年级,从编排的顺序上就体现了它的“分量”。怎样引导学生从生活中的“鸽巢问题”现象逐步深入到问题的本质?这确实是一个让人头疼的问题。

本案例中,刘娜老师创设丰富的教学情境,不断丰富“鸽巢问题”的表现形式,最终带领学生艰难地突破了认知瓶颈。特别是以下四个方面表现得尤为突出:

1.数形结合,降低难度。“鸽巢问题”之所以难以理解,是它纷繁的表象让人眼花缭乱。假设有4只鸽子飞进3个鸽巢,以具体形象思维为主的小学生往往更关注4只鸽子的外表——黑、白、花、灰,还可能会关注每一个笼子的具体情况——左、中、右。每一只鸽子都可能飞进任意一个笼子,每一只鸽子都有可能和其他鸽子结伴共同进入一个笼子。这样,4只鸽子飞进3个笼子的情况就比较复杂了。但是,如果我们4只鸽子用数字“4”来代替,把数字“4”拆分为三个数,列举出可能存在的情况,“4只鸽子飞进3个笼子”的结果就大大简化了。

2.數据离散,找出“总有”。为什么大部分学生之所以觉得“鸽巢问题”难以理解?数学语言与生活语言的差别是一大障碍。一些学生会认为:当3只鸽子都飞进了第一个笼子,最后一只鸽子飞进第三个笼子的时候。第二个笼子和第三个笼子都没有达到“至少有两只鸽子”的要求,怎么能说“总有”呢?通过动画演示、画图实验、数字拆分等途径,学生终于明白了“总有”指的是“4只鸽子飞进3个笼子”这个场景的整体,而不是指某一个局部。通过对比数据的离散情况,“4只鸽子”这组数据的整体离散度越大,每个局部就越不均衡,就越可能出现“总有”的极端情况。

3.逐步分解,理解“至少”。基于数据的“离散度”(教学中老师并没有出现这样的专业名词)观察、比较,学生们发现了4只鸽子进入笼子越不“平均”,就越容易出现极端情况,就越有机会达成“总有一个笼子至少飞进两只鸽子”的目标。如果要很好地做到“至少”,那就得让这些鸽子进入笼子的情况尽量“平均”。在“平均”的基础上出现了“余数”——落单的那只鸽子,它总得进入其中一个笼子,无论这只鸽子进入了哪个笼子,这个笼子就变成了“总有”的那一个,而且是“总有”当中的“最少”情况。

4.回归生活,升华应用。在学生经历百转千回的“艰辛”之后,终于对“鸽巢问题”的本质有了深入理解。学生真的懂了吗?需要我们回归生活,在解决问题中加以检验。为什么要平均分呢?——再次回顾“抢凳子”的游戏,只有“傻子”才会去跟已经坐了凳子的人抢,大家总是不约而同地奔着空凳子去,所以抢凳子的人在坐凳子的时候总是尽量“平均”。“每13个人总有至少有两人是同一属相”的问题就有些抽象了。有些学生囿于定式思维,会觉得这个问题好奇怪——我们班的13个人都是同龄人,肯定属相相同啊,有必要提这样的问题吗?一时之间,学生的思维水平又回到了“最有利”情况中了。经过老师的引导,学生跳出定式思维的影响,联想到了13个人可能男女老少都有。从“最不利”的角度出发,这13个人的属相可能各不相同,但是前面12人把所有属相都占据了,第13个人的属相总要和前面的一个人重复。

本课例中,刘老师并没有归纳出计算的公式,而是抽丝剥茧般地耐心引导学生逐步深入探究“鸽巢问题”的本质,体会平均分的策略价值——从“最不利”角度出发,反向证明“鸽巢问题”的正确性。

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