函数图像的绘制方法与技巧

何圣姿

【摘要】“数缺形时少直观，形少数时难入微”.函数是数学的基础，它贯串数学学习的始终.如果能作出函数的图像，就能利用图像的直观性快速了解函数的形态特征.本文给出了几种绘制函数图像的方法与技巧，为研究函数的性质提供指导.

【关键词】函数图像;初等函数;变换;导数

随着现代信息技术的发展，借助Matlab，Mathematica，GeoGebra，Excel等软件可以方便地绘制各种函数的图像.但如何指出图像上的关键点，选择作图的范畴，从而进行人工处理，仍需要我们能够手工绘制函数的简图.所谓简图即指图像的基本样式是正确的，但细微之处可以不太深究.下面给出几种手工绘制函数简图的方法，并以实例呈现其使用技巧.

一、基本初等函数

当函数是基本初等函数，如，常函数y=c（c为常数）、一次函数y=kx+b（k≠0）、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）、反比例函数y=kx（k≠0）、幂函数y=xa（a∈R）、指数函数y=ax（a>0且a≠1）、对数函数y=logax（a>0且a≠1），三角函数y=sin x，y=cos x，y=tan x，y=cot x，反三角函数y=arcsin x，y=arccos x，y=arctan x，y=arccot x等形式时可以直接快速绘制出其简图.

二、通过简单变换绘制函数图像

当所绘制的函数图像可以由基本初等函数y=f（x）的图像通过平移、对称、翻折、伸缩等变换而得到时，可以用以下方法绘制出其简图.

1.平移变换

y=f（x）a>0时，向左平移a个单位a<0时，向右平移a个单位y=f（x+a）;

y=f（x）a>0时，向上平移a个单位a<0时，向下平移a个单位y=f（x）+a.

2.对称变换

y=f（x）关于y轴对称y=f（-x）;

y=f（x）关于x轴对称y=-f（x）;

y=f（x）关于直线y=x对称y=f-1（x）;y=f（x）关于原点对称y=-f（-x）.

3.翻折变换

y=f（x）保留y轴右侧图像并作其关于y轴对称的图像再删除在y轴左侧的原图y=f（x）;

y=f（x）保留x轴上方的图像[]把x轴下方的图像翻折到x轴上方y=f（x）.

4.伸缩变换

y=f（x）a>1时，横坐标缩短为原来的1[]a00）;

y=f（x）a>1时，纵坐标伸长为原来的a倍00）.

例如，将函数y=2x的图像沿x轴向右平移1个单位得到函数y=2x-1的图像;将函数y=2x的图像沿y轴向上平移1个单位得到函数y=2x+1的图像;作函数y=2x的图像关于x轴对称的图像可以得到函数y=-2x的图像;作函数y=2x的图像关于y轴对称的图像可以得到函数y=2-x的图像;保留函数y=2x在y轴右侧的图像并作其关于y轴对称的图像，刪除在y轴左侧的原图得到函数y=2x的图像.

例1 如何绘制函数y=31-x的图像？

解：保留函数y=3x在y轴右侧的图像并作其关于y轴对称的图像，删除在y轴左侧的原图可得到函数y=3x的图像，再将函数y=3x的图像沿x轴向右平移1个单位得到函数y=3x-1的图像，亦即函数y=31-x的图像.

三、利用导数绘制函数的图像

数学研究的函数一般为基本初等函数或为由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算所构成的函数，通过基本初等函数的图像变换可以快速画出简单函数的图像.另外，我们还可以利用导数绘制一般形式的初等函数的图像，下面介绍一下利用导数描绘函数y=f（x）图像的一般步骤.

1.确定函数y=f（x）的定义域，讨论函数的奇偶性、周期性等，并求出f ′（x）和f″（x）;

2.求出f ′（x）=0和f″（x）=0在函数定义域内的全部实根，并求出使函数y=f（x）无意义的点及f ′（x）和f″（x）不存在的点，用这些点把函数的定义域划分成几个子区间;

3.确定在这些子区间内f ′（x）和f″（x）的符号，并由此确定函数图像的单调性和凹凸性、极值点和拐点.若在（a，b）内，f ′（x）>0，则函数f（x）在（a，b）上单调递增，否则函数f（x）在（a，b）上单调递减;若驻点或一阶导不存在的点两端一阶导数符号相异，则该点为极值点;如果在（a，b）内，f″（x）>0，那么函数f（x）在（a，b）上是凹的，否则函数f（x）在（a，b）上是凸的;f″（x）=0的点或f″（x）不存在的点两端二阶导数符号相异，则该点为拐点.

4.确定函数图像的水平、铅直、斜渐近线.若limx→∞f（x）=c，则称直线y=c为曲线y=f（x）的水平渐近线;若曲线y=f（x）在点x0间断，且limx→x0f（x）=∞，则称直线x=x0为曲线y=f（x）的铅直渐近线;若limx→∞yx=k，limx→∞[f（x）-kx]=b，则称直线y=kx+b为曲线y=f（x）的斜渐近线.

5.求出f ′（x）和f″（x）的零点以及不存在的点所对应的函数值，定出图像上相应的点;为了把图像描得准确些，有时还需要补充一些点，如函数与坐标轴的交点等;然后结合第3，4步中得到的结果，连接这些点画出函数y=f（x）的图像.

例2 画出函数y=12πe-x22的图像.

解：（1）其定义域为（-∞，+∞）.

∵f（x）=f（-x），∴f（x）是偶函数，

∴只需讨论[0，+∞）上该函数的图像，再作其关于y轴对称的图像即可.

（2）在[0，+∞）上，f ′（x）=0的点为x=0;f″（x）=0的点为x=1.用点x=1把[0，+∞）划分成两个区间[0，1）和[1，+∞）.

（3）列表讨论如下：

x[]0[]（0，1）[]1[]（1，+∞）

f ′（x）的值或符号[]0[]-[]-[]-

f″（x）的值或符号[]-[]-[]0[]+

函数的图像极大值凸、减拐点凹、减

（4）∵limx→+∞f（x）=0，∴y=f（x）有一条水平渐近线y=0.

（5）取函数y=f（x）图像上的一些点M10，12π，M21，12πe，M32，12πe2.

结合以上讨论，画出函数y=12πe-x22在[0，+∞）上的图像.

最后，利用图像的对称性便可得到函数在（-∞，+∞）上的图像.（如下图）

函数y=12πe-x22为“概率与数理统计”课程中标准正态分布的概率密度函数，通过其图像大家很容易理解并掌握概率密度函数的相关性质.

以上介绍的三种绘图方法，大家可以根据函数表达式的特征灵活选择.基本初等函数是学习函数的基础，大家应熟练掌握其表达式及其图像特征.用图像变换法作函数图像时，要确定以哪一种基本初等函数的图像为基础，进行怎样的变换，当涉及多种变换时，应注意变换的顺序;利用导数绘制函数的图像时，要综合分析函数y=f（x），y=f ′（x）及y=f ″（x）的关系，并考虑其定义域、奇偶性、对称性、周期性、连续性、单调性、凹凸性、极值、渐近线以及一些特殊点，特别是临界点的函数值等，虽然过程略显复杂，但其通用性较强.

【参考文献】

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[2]盛祥耀.高等数学第三版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]梁海滨.Excel和导数相结合描绘函数图形探讨[J].现代商贸工业，2016（22）：163-164.